第22章二次函数单元练习作业2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章二次函数单元练习作业人教版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列函数属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2 C．y＝x（x﹣1） D．y＝﹣2x+1 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 3．抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 4．将抛物线y＝3x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2+4 B．y＝3（x+2）2+4 C．y＝3（x﹣2）2+3 D．y＝3（x+2）2﹣4 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 6．已知二次函数y＝x2﹣3x+1，当1≤x≤3时，则y的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1≤y≤1 D． 7．已知二次函数y＝x2﹣2025x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则的值等于（　　） A．1 B．﹣2025 C．2025 D．﹣1 8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c≥0； ③； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．若函数y＝﹣（m+2）x|m|+x﹣1是二次函数，则m的值为　 　 ． 12．已知二次函数y＝x2+2026x+c图象上有两个不同点A（a，m），B（b，m），则a+b＝　 　 ． 13．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　 　 m． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c＝3的解为 　 　 ． 15．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　 　 米． 16．二次函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）当﹣2＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围． 18．利用描点法画二次函数y＝x2﹣2x﹣4的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 m ﹣5 ﹣4 n … （1）填空：表中m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 19．如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求△ABC的面积． 20．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 21．公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 22．若二次函数的图象记为C1，其顶点为A，二次函数的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上．点B在C1上，则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”． （1）写出二次函数y＝x2且过（3，9）的“共同体二次函数”； （2）设二次函数y＝x2﹣2x+3与y轴的交点为P，求以P为顶点的二次函数y＝x2﹣2x+3的“共同体二次函数”； （3）若二次函数y＝2x2﹣1与其“共同体二次函数”的顶点不重合，试求该“共同体二次函数”的二次项系数． 23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得△AMB的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 第22章二次函数单元练习作业人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B D A D C D C 一．选择题（共10小题） 1．下列函数属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x﹣2）2﹣x2 C．y＝x（x﹣1） D．y＝﹣2x+1 【分析】据二次函数的一般形式此对各选项的函数化简后进行判断即可． 【解答】解：A、函数是反比例函数，不符合二次函数的形式，故不是二次函数； B、函数y＝（x﹣2）2﹣x2化简为y＝﹣4x+4，是一次函数，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数； C、函数y＝x（x﹣1）化简为y＝x2﹣x，是二次函数； D、函数y＝﹣2x+1是一次函数，不符合二次函数的形式，故不是二次函数． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的函数是二次函数． 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（2，1） C．（2，5） D．（﹣1，5） 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（1，5）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 3．抛物线经过三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【解答】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线x＝1， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵（﹣2，y1），（0，y2），， 而1﹣（﹣2）＝3，1﹣0＝1，， ∴点（0，y2）离对称轴最近，点（﹣2，y1）离对称轴最远， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．将抛物线y＝3x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝3（x﹣2）2+4 B．y＝3（x+2）2+4 C．y＝3（x﹣2）2+3 D．y＝3（x+2）2﹣4 【分析】根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答． 【解答】解：将抛物线y＝3x2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为y＝3（x+2）2+1+3，即y＝3（x+2）2+4． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的根据． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线x，有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A错误， 抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误， x＝﹣1和x＝4时的函数值相等，则x＝4时，y＝﹣3＜0，故选项C错误， 方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间，故选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 6．已知二次函数y＝x2﹣3x+1，当1≤x≤3时，则y的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1≤y≤1 D． 【分析】先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【解答】解：∵， ∵a＝1＞0， ∴开口向上，对称轴为直线， ∵1≤x≤3，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵当x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝1， ∴当1≤x≤3时，． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．已知二次函数y＝x2﹣2025x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则的值等于（　　） A．1 B．﹣2025 C．2025 D．﹣1 【分析】根据题意得出，a，b为一元二次方程x2﹣2025x+2＝1的两个根，再根据一元二次方程的解的定义及结合根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝x2﹣2025x+2的图象上有两点A（a，1）和B（b，1）， 所以a，b为一元二次方程x2﹣2025x+2＝1即x2﹣2025x+1＝0的两个根， 则a2﹣2025a+1＝0，ab＝1， 所以原式＝2025a﹣1﹣2025a＝﹣1． 故选D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，能根据题意得出a，b为一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根是解题的关键． 8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确； D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 9．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 【分析】根据函数表达式，t＝1时，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：当t＝1时，h＝20t﹣5t2＝15， ∴小球飞行1s时飞行高度为15m． 故选项A不符合题意； 20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s， 故选项B不符合题意； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20， 故选项C不符合题意； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s， 故选项D不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c≥0； ③； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题干可得a＞0，b＝2a＞0，﹣3＜c＜﹣2，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为（﹣3，0），即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到﹣3＜﹣3a＜﹣2，即可判断③正确；结合抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝x+1与x轴得交点，即可判断④正确． 【解答】解：由图可知a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， ∴，a+b+c＝0， 则b＝2a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜c＜﹣2， 则abc＜0，故①错误； 设抛物线与x轴另一个交点（x，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， ∴1﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，解得x＝﹣3， 则9a﹣3b+c≥0，故②正确； ∵﹣3＜c＜﹣2，a+b+c＝0，b＝2a＞0， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，解得，故③正确； 根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和（﹣3，0），直线y＝x+1过点（﹣1，0）和（0，1），如图， 方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n满足﹣3＜m＜1＜n，故④正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 二．填空题（共6小题） 11．若函数y＝﹣（m+2）x|m|+x﹣1是二次函数，则m的值为　2　 ． 【分析】根据二次函数的定义解答即可，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数． 【解答】解：∵y＝﹣（m+2）x|m|+x﹣1是二次函数， ∴|m|＝2， ∴m＝±2， ∵﹣（m+2）≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，绝对值，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 12．已知二次函数y＝x2+2026x+c图象上有两个不同点A（a，m），B（b，m），则a+b＝　﹣2026　 ． 【分析】根据二次函数y＝x2+2026x+c图象上有两个不同点A（a，m），B（b，m），可得a和b是方程m＝x2+2026x+c的两个根，即可得a+b＝﹣2026． 【解答】解：由二次函数y＝x2+2026x+c图象上有两个不同点A（a，m），B（b，m）， 得a和b是方程m＝x2+2026x+c的两个根， 得a+b＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是正确应用数形结合思想的能力． 13．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 　45　 m． 【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论． 【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c＝3的解为 x1＝﹣2，x2＝3　 ． 【分析】直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【解答】解：∵A，B两点的横坐标为﹣2，3， ∴方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝﹣2，x2＝3， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝3． 【点评】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　　 米． 【分析】如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为（0，2），A（﹣2，0），B（2，0），求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 由题意得：C（0，2），A（﹣2，0），B（2，0）， 可设抛物线解析式为y＝ax2+2， ∴0＝22×a+2，即， ∴抛物线解析式为， 当水面宽度为米时，即当时，， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 16．二次函数y＝x2﹣2x﹣2的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数的图象上，则点C的坐标为 　（1，﹣3）或或　 ． 【分析】以AB为边的等边三角形，可求出该边上的高的长度，由于点C要落在二次函数的图象上，点C的纵坐标的绝对值即为AB边上的高的长度，从而可求出该点C的坐标． 【解答】解：设AB边上的高为h， ∵等边△ABC的边长为， ∴AB边上的高h＝3， 当C落在x轴下方， ∴点C的纵坐标为﹣3， 把y＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣2， ∴﹣3＝x2﹣2x﹣2， 解得：x＝1， ∴C的坐标为（1，﹣3）． 当C落在x轴上方， 点C的纵坐标为3， 把y＝3代入y＝x2﹣2x﹣2， ∴3＝x2﹣2x﹣2， 解得：或， ∴C的坐标为或． 故答案为：（1，﹣3）或或． 【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为﹣3或3． 三．解答题（共8小题） 17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3． （1）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）当﹣2＜x＜3时，直接写出函数y的取值范围． 【分析】（1）用完全平方差公式转化为顶点式，再由顶点式写出顶点坐标，由二次项系数得开口方向； （2）利用二次函数的增减性求出y的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上． （2）∵对称轴为直线x＝1，开口向上， ∴当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，当x＝﹣2时，y最大值＝5， ∴当﹣2＜x＜3时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜5． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． 18．利用描点法画二次函数y＝x2﹣2x﹣4的图象，列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 m ﹣5 ﹣4 n … （1）填空：表中m＝　﹣4　 ，n＝　﹣1　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【分析】（1）根据y＝x2﹣2x﹣4解析式，分别令x＝0和x＝3求出对应的y值即为m，n的值； （2）根据题意通过表格中点坐标画在平面直角坐标系中，光滑曲线连接即可． 【解答】解：（1）∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣4， ∴令x＝0，即y＝﹣4， ∴m＝﹣4， 令x＝3，即y＝32﹣2×3﹣4＝﹣1， ∴n＝﹣1， 故答案为：﹣4，﹣1； （2）点坐标分别为：（﹣1，﹣1），（0，﹣4），（1，﹣5），（2，﹣4），（3，﹣1）， 如图所示： 【点评】本题考查画二次函数图象，掌握描点法是解题的关键． 19．如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）先解方程x2﹣4x+3＝0得到点A、B的坐标，然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标； （2）直接利用三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3， ∴C（0，3）； （2）△ABC的面积（3﹣1）×3＝3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 20．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O（0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x（0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将x＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 21．公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论； （3）设利润为w，则w＝﹣10（y﹣55）2+6250，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 100（1+x）2＝144， （1+x）2＝1.44， 1+x＝±1.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， （y﹣30）[400﹣10（y﹣40）]＝6000， y2﹣110y+3000＝0， 解得：y1＝50，y2＝60， 要使顾客尽可能得到实惠，取y＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （3）设利润为w，则w＝（y﹣30）[400﹣10（y﹣40）]＝﹣10y2+1100y﹣24000＝﹣10（y﹣55）2+6250， ∵﹣10＜0，函数开口向下， ∴当y＝55时，w最大，最大利润为6250元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握一元二次方程是解题的关键． 22．若二次函数的图象记为C1，其顶点为A，二次函数的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上．点B在C1上，则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”． （1）写出二次函数y＝x2且过（3，9）的“共同体二次函数”； （2）设二次函数y＝x2﹣2x+3与y轴的交点为P，求以P为顶点的二次函数y＝x2﹣2x+3的“共同体二次函数”； （3）若二次函数y＝2x2﹣1与其“共同体二次函数”的顶点不重合，试求该“共同体二次函数”的二次项系数． 【分析】（1）根据解析式求得顶点坐标和经过的任意点的坐标，根据“共同体二次函数”定义，设关系式为y＝a（x﹣2）2+4，代入顶点坐标，即可求得系数a，可得答案； （2）令x＝0，则y＝x2﹣2x+3＝3，得到与y轴的交点坐标，然后求得顶点坐标，然后根据“共同体二次函数”的定义，可求解； （3）根据“共同体二次函数”的顶点在对方的图象上，列出关系式，进而得出ah2＝﹣2h2，可得a＝﹣2． 【解答】解：（1）∵y＝x2， ∴顶点坐标为（0，0）且经过点（3，9）． 设以（3，9）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣3）2+9， 将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣3）2+9， ∴a＝﹣1． ∴二次函数y＝x2的一个“共同体二次函数”为y＝﹣（x﹣3）2+9； （2）由题意，令x＝0，则y＝x2﹣2x+3＝3， ∴二次函数y＝x2﹣2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3）； ∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）． 设以（0，3）为顶点且经过（1，2）的抛物线的函数关系式为y＝ax2+3， 将x＝1，y＝2代入y＝ax2+3， ∴a＝﹣1． ∴以点P为顶点的二次函数y＝x2﹣2x+3的“共同体二次函数”为y＝﹣x2+3； （3）由题意，∵y＝2x2﹣1，其顶点为（0，﹣1），y＝a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）， ∵二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与其共同体二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的顶点不重合， ∴h≠0时k≠﹣1， 根据“共同体二次函数”定义可得﹣1＝ah2+k，k＝2h2﹣1， ∴ah2＝﹣2h2 ∴a＝﹣2， ∴该“共同体二次函数”的二次项系数为﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的性质，共同体二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键． 23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得△AMB的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接BC，交抛物线于点P，则此时PA+PC最小，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出AB长，设M（m，﹣m2+2m+3），由，得到，再解方程即可． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0）．将点B的坐标代入得： 0＝﹣9+3m+3， 解得：m＝2， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接BC交抛物线对称轴于点P，如图，则此时PA+PC的值最小， 已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 将x＝1代入得：y＝﹣1+3＝2， ∴P点坐标为（1，2）； （3）在抛物线上存在点M，使得△AMB的面积等于3；理由如下： 已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0）， ∵B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 设M（m，﹣m2+2m+3）， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上所述，在抛物线上存在点M，使得△AMB的面积等于3，点M的坐标为或或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值； （3）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN＝MC，且MC⊥MN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出MN＝OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【解答】解： （1）∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为（3，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+s， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3； （2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m， ∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3）， ∵P在线段OB上运动， ∴M点在N点上方， ∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2， ∴当m时，MN有最大值，MN的最大值为； （3）∵PM⊥x轴， ∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN， ∴M点纵坐标为3， ∴﹣m2+2m+3＝3，解得m＝0或m＝2， 当m＝0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴m＝2； （4）∵PM⊥x轴， ∴MN∥OC， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN， 当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根， 当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m， ∴m2﹣3m＝3，解得m或m， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出CM⊥MN是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC＝MN是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 10:12:39；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $