第21章一元二次方程单元练习作业2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程单元练习作业人教版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的为（　　） A． B．x2+xy+4＝0 C．ax2+2x+4＝0 D．x3﹣5＝x（x﹣3）2 2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 3．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D． 7．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 9．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 二．填空题（共6小题） 11．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 　 ． 12．下表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是　 　 ． x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …… ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 13．三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 　 　 ． 14．已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ． 15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　 队参加比赛． 16．如图，一块长方形绿地长10m，宽5m，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）（2x+1）2＝3（2x+1）； （3）x2﹣5x+1＝0； （4）（x﹣2）2﹣4＝0． 18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 20．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 21．如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为 　 　 m；x的取值范围是 　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由． 22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 　 　 件，每件商品，盈利 　 　 元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 第21章一元二次方程单元练习作业人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A D B A D A 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的为（　　） A． B．x2+xy+4＝0 C．ax2+2x+4＝0 D．x3﹣5＝x（x﹣3）2 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．，是分式方程，故此选项不符合题意； B．x2+xy+4＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．当a＝0时，ax2+2x+4＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．x3﹣5＝x（x﹣3）2整理可得6x2﹣9x﹣5＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【解答】解：（x﹣1）2＝6， x2﹣2x+1﹣6＝0， x2﹣2x﹣5＝0， 即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 3．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值． 【解答】解：∵x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，关键在于根据题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0即可． 4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 5．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则方程的另一个根是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】设该方程的另一个根为x＝t，则根据根与系数的关系得1+t＝﹣2，然后解一次方程即可． 【解答】解：设该方程的另一个根为x＝t， 根据根与系数的关系，得1+t＝﹣2， 解得t＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0， ∴k≠0， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0， 解得k， ∴k的取值范围是k且k≠0， 故选：D． 【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 7．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【分析】设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的人有10人． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，注意正确化简计算． 9．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【解答】解：二月份的产值为：50（1+x）， 三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2， 故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175． 故选：D． 【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 二．填空题（共6小题） 11．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　﹣2　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 12．下表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx＝6的根是x1＝﹣2，x2＝3　 ． x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …… ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【分析】观察表格，找出使方程ax2+bx＝6左右两边相等的x的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【解答】解：当x＝﹣2和3时，ax2+bx＝6， ∴方程的根是：x1＝﹣2，x2＝3， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 13．三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 　9　 ． 【分析】首先从方程x2﹣10x+24＝0中，确定第三边的边长为4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长． 【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得： 解得x＝4或x＝6， 当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4时，三角形的周长为2+4+3＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去． 14．已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　　 ． 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝5，x1x2＝2，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　10　 队参加比赛． 【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：45， 整理，得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 【点评】本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2． 16．如图，一块长方形绿地长10m，宽5m，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为 　（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%　 ． 【分析】根据题意找出题中的等量关系：长方形绿地的长减去2条道路的宽度后的长度×长方形绿地的宽减去1条道路的宽度后的宽度＝原长方形绿地的面积乘78%，即可列出方程． 【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得：（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%． 故答案为：（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，深入理解题意，找出其中的等量关系是解决问题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x+3＝0； （2）（2x+1）2＝3（2x+1）； （3）x2﹣5x+1＝0； （4）（x﹣2）2﹣4＝0． 【分析】（1）利用用因式分解法解方程； （2）利用用因式分解法解方程； （3）利用公式法解方程； （4）利用直接开方法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝3，x2＝1； （2）（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1﹣3）＝0， 2x+1＝0或2x+1﹣3＝0， 所以x1，x2＝1； （3）解：x2﹣5x+1＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21， ∴， ∴； （4）（x﹣2）2＝4， x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2， 所以x1＝4，x2＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了因式分解法解一元二次方程． 18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键． 20．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2＝4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利＝4月份盈利×（1+增长率）． 【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2＝3456， 解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）＝4147.2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147.2元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般． 21．如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为 　（60﹣2x）　 m；x的取值范围是 　17.5≤x＜30　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由． 【分析】（1）由AB+CD+BC＝60m，可求BC的长，即可求解； （2）根据矩形花园的面积为400m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可求解； （3）根据矩形花园的面积为500m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为500m2的矩形花园． 【解答】解：（1）∵AB＝xcm， ∴BC＝（60﹣2x）cm， ∵0＜BC≤25， ∴17.5≤x＜30， 故答案为：（60﹣2x）；17.5≤x＜30； （2）根据题意得x（60﹣2x）＝400， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝10（舍），x2＝20， 答：当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉的说法不正确； 理由：根据题意得x2﹣30x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园ABCD的面积不可以为500m2，即嘉嘉的说法不正确． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 　2x 件，每件商品，盈利 　（50﹣x）　 元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；（50﹣x）． （3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 11:47:13；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $