专题04 实际问题与二次函数重难点题型专训（1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 实际问题与二次函数重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 二次函数综合应用--面积问题 题型九 二次函数综合应用--线段周长问题 题型十 二次函数综合应用--角度问题 题型十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 题型十二 二次函数综合应用--特殊四边形 拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等） 拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题 知识点一：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】根据增加的面积新正方形的面积边长为4的正方形的面积，求出即可． 【详解】解：由题意得： ． 故与之间的函数表达式为． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长． 2．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知矩形周长为，设这个矩形的一边长为，面积为 (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的周长公式和面积公式列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形周长为，一边长为，则另一边长为， ∴， ∵， ∴； （2）当时，解得； 故的值为或． 1．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【详解】解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 设为x，窗框的采光面积为S，则，，根据矩形面积列出函数关系式，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】解：设为x，窗框的采光面积为S，则，， ∴窗框的采光面积， ∵， ∴当时，S取最大值为， 即当为时，窗框的采光面积最大． 故答案为： 3．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图1，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为 (1)请你用含x的代数式表示花圃面积S，并确定x的取值范围； (2)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料造了宽为的两个小门，此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽的长． 【答案】(1)，x的取值范围； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设花圃的宽为，则，根据矩形面积公式表示出S，再由墙的最大可用长度为，得，即可解决问题； （2）设花圃的宽为，则，根据此时花圃的面积刚好为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则， 由题意得：， 墙的最大可用长度为， ， 解得：， 的取值范围； （2）解：设花圃的宽为，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的宽的长为． 4．（25-26九年级上·山西·阶段练习）在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】本题考查了列代数式、长方体的展开图、二次函数解析式和求函数值： （1）根据及裁剪后的图形关系即可求解； （2）根据长方体的体积公式表示出y，再求值即可． 【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图： 由图可知，， 故． 故边的长为； （2）解：根据题意，可知无盖纸盒的长宽高分别为：， ∴， ∴当时，． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 【答案】当经过时，S取得最小值，最小值为． 【分析】根据等量关系“四边形的面积的面积的面积”列出函数关系求最小值即可． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ． ∵， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查动点问题与二次函数的最值问题，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之差列出等式，转化为二次函数最值问题是解题的关键． 1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 【点睛】 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与函数的图象在第一象限交点的横坐标为4，点在抛物线上，点在正比例函数的图象上，当时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据第一象限的交点求出a的值，再表示出，，列出关于t的二次函数，根据函数的性质即可求解． 【详解】把x=4代入得y=2 把x=4，y=2代入得 解得a= ∴ 当x=t时，，当x=t+1时， ∴当时，=== ∵＜0， ∴当t=2时，的最大值为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意列出关于t的二次函数进行求解． 3．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是______． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据运动路径和速度确定的取值范围，再分和两种情况，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的图象的画法即可得； （3）结合函数图象，找到两个临界位置，将点和代入求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为， 当时，则，， 此时的面积为； 当时，则，， ∴， 此时的面积为， 综上，与的函数关系式为． （2）解：在平面直角坐标系中，画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：如图，有两个临界位置： 将点代入得：， 解得， 将点代入得：， 解得， 所以若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度是时，求这时水面宽度． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数解析式的求解是解决本题的关键． 先根据点是图象上的点，求解出二次函数解析式，再根据的长度是，可求解点A与点B的坐标，由此可求解水面宽度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， ∵高度是时， 当时，， 解得：， ∴点，点， . 即当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为20． 1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴通过以上条件可设顶点式， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：B． 2．（25-26九年级上·福建·阶段练习）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，由题意可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设解析式为，求出解析式为，再由点的横坐标为，计算即可得解．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设解析式为， 由题意可得， 解得：， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点到的距离为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【答案】(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 4．（2025·陕西·模拟预测）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（24-25九年级上·四川泸州·期末）古蔺县某乡镇在乡村振兴实施过程中，帮助农户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元每个，投入市场销售时，如果按每个10元出售，那么每天可销售100个，经调查市场行情，发现该蜜柚销售单价每提高1元，其销售量相应减少10个．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】当每个蜜柚销售价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；设每个蜜柚的销售价应定为元，每天销售利润为元，则每个蜜柚的销售利润为元，每天的销售量为个，然后根据题意可得函数关系式为，进而根据二次函数的性质可进行求解 【详解】解：设每个蜜柚的销售价应定为元，每天销售利润为元，则每个蜜柚的销售利润为元，每天的销售量为个，依题意得： ， 整理得：， ∵， ∴当时，取得最大值360， 答：当每个蜜柚销售价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故选：A． 2．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ (3)若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； (3)当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意得到利润为，根据每天获得的利润3000元得到一元二次方程，解方程即可； （3）设利润为，根据题意可得，即，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为； 将代入得： 解得 y与x之间的函数关系式为； （2）由题意可得，利润为， 则， 解得 答：当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； （3）设利润为，则， 即 ，开口向下 对称轴为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴ 则把代入，得 当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元． 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案； ②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； ②设每件服装应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵，且降价金额不超过30元且不少于5元， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 【答案】1 秒或2 秒 【分析】本题为二次函数应用题，考查了二次函数与一元二次方程关系等知识．根据题意先得到函数关系式为，把代入，得到方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意当时，函数解析式为， 当时，可得方程， 解得，． 答：抛出小球后1 秒或2 秒时，小球能达到10米高． 1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小童此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当时，求x的值即可． 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为9米， 故答案为：9． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)他后撤的距离为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设篮球运行路线所在抛物线的解析式为，将点代入求出，即可得出答案； （2）当时，求出值，比较即可得出答案； （3）将代入求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得点， 设篮球运行路线所在抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， 篮球运行路线所在抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，得点坐标为， 当时，， 点不在篮球运行路线上，即运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心． （3）解：令，得． 解得：，舍去． ， 答：他后撤的距离为． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 【答案】(1) (2)石块不能飞越防御墙 (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意知， 设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， ∴拋物线的解析式为． （2）解：根据题意知， 在中，当时，， ， ∴石块不能飞越防御墙． （3）解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 由假山所在抛物线的函数解析式为，分别令，，求出对应的，即可判断选项A、B，由，即可判断选项C，根据与的图象可判断D选项． 【详解】解：由假山所在抛物线的函数解析式为， 当时，，故假山上的点B到水平地面的距离为； 当时，或（舍去），故水平方向上的长度为，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）某市为保障绿化带新植苗木的生长需求，利用洒水车给绿化带洒水，已知洒水车的喷水口A距离地面的高度为，从A口喷出的水流可近似看作抛物线的一部分，当喷出的水流距喷水口A水平距离为时，此时水流到地面的高度最大为．已知绿化带顶部B的平均高度为，从A口喷出的水流恰好落在绿化带顶部B处，如图，线段表示水平地面，以所在直线为x轴，垂直于且过点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求喷水口喷出的水流所在抛物线的函数表达式； (2)已知该绿化带的宽度为（轴），为使整个绿化带能得到充分浇灌，需对洒水车进行改装，将喷水口调整为上下移动式，假设洒水车喷出的水流的形状、方向均不变，要使改动后水流能落在绿化带外侧点C处，求喷水口移动的距离． 【答案】(1)； (2)喷水口移动的距离为． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得点A坐标和顶点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，进而得到点C坐标，设出移动后的抛物线解析式，再把点C坐标代入求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得， 喷水口喷出的水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，水流所在抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得（舍去）或， 点的横坐标为2， 绿化带宽度为， 点的坐标为， 设平移后的函数表达式为， 将点代入上式，得，解得， 喷水口移动的距离为． 4．（2025·河南信阳·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到测量数据如下： 根据以上数据，完成下列问题． (1)测量数据中，哪一组是错误的？（      ） A．　　　　 B．        C．　      D．       E． (2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点重新标出，并用平滑的曲线画出函数图象； 求图象所在抛物线的函数表达式． (3)若测得此圆形草坪的直径为，试通过计算说明草坪边缘处是否能恰好喷洒到水．若不能，则可以在不改变抛物线顶点位置的情况下，将喷水口向上调整多高来实现？ 【答案】(1)D； (2)见解析；； (3)将喷水口向上调整． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． 根据抛物线的对称性可知点是最高点，所以可知测量数据中点是错误的； 根据表中的数据，列表、描点、连线画出函数图象即可；设函数表达式为，把点代入解析式中求出值即可； 当时，可以得到喷洒的水最远可以到达的位置，可知草坪最边缘处不能喷洒到水，设喷出的水流最上层所在抛物线的表达式为，把点代入解析式求出的值，即可得到抛物线的解析式是，求出当时，，所以喷水口应向上调整． 【详解】（1）解：由表中数据可知，点和点是对称点， 对称轴是， 点是最高点， 测量数据中点是错误的， 故选：D； （2）解：错误数据对应的正确的点应是， 画函数图象，如下图所示： 解：由表格数据可知此函数图象的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入， 解得：， 抛物线对应的函数表达式是； （3）解：当时， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 又， 草坪边缘处不能恰好喷洒到水； 若草坪边缘处能恰好喷洒到水，且顶点位置不变， 设喷出的水流最上层所在抛物线的表达式为， 将代入， 可得：， 解得：， 抛物线所对应的函数表达式是：， 当时， 可得：， ， 答：将喷水口向上调整． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量（吨与月份（月之间的函数关系是． (1)随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润（万元）与月份（月的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ (2)受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求的值（精确到个位）．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)5月份的利润最大，是最大月利润是万元； (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．这类题目我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）根据图象可以知道利润（万元）与月份是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润与的函数关系，再得到与的函数关系，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加． 【详解】（1）解：设月利润为， 根据图象知道当，， 当，， 设， 故， 解得：， 则； 由题意得 ， ， 当时，最大，最大值为； 月份的利润最大，是最大月利润是万元； （2）解：该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降， 而当时，， 月份的二氧化碳排放量为， 7月份的二氧化碳排放量为， 5月份的利润为4000万元， 月份的利润为， 7月份的利润为， ， ． 【经典例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例8】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，与y轴交于点C，求： (1)该二次函数的解析式； (2)点C的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)，面积为6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求先求出点C的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与图形的面积． 用割补法，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积，计算即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和，，， ∴阴影部分的面积等于底为，高为的平行四边形的面积， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质并求出二次函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式 可得：， 解得：， 则拋物线解析式为：． 故答案为： （2）设点P的坐标为， ∵，， ∴， ∵以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积， ∴ 则或， 解得，， 当时，与重合，故舍去， ∴点的坐标为或或 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知抛物线经过三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、抛物线中三角形的面积计算等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将分别代入得到方程组求解即可； （2）如图，过点D作y轴的平行线，交于M，根据解答即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将分别代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图：过点D作轴交于M， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，． ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．点、的坐标分别是． (1)直接写出点B的坐标； (2)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）； (3)如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数与坐标轴交点： （1）根据关于轴对称可求B的坐标； （2）根据题意可设抛物线为，代入A的坐标求出a即可； （3）求出平移后抛物线的解析式，令求出其与y轴的交点D，根据平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且可得，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于轴对称，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为； （3）设平移后的抛物线对应的关系式为， 当时，， 此时抛物线与y轴的交点设为， ∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且， ∴， ∴， 解得（负值已舍）或（负值已舍）， ∴m的值为6或． 【经典例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例9】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得． 【详解】解：设，则， ∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D， ∴，， ∴，， ， 故选：C ． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为 ，此时点M的坐标是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解． 【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时，的周长为最小， 令，解得或3， 令，则， ∴点A、B、C的坐标分别为、、， ∴， ∴此时的周长， ∴周长的最小值是． 由，得函数的对称轴为直线， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 当时，， 故点M的坐标为． 故答案为：；． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)为时，的最大值为3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、求二次函数的最值： （1）将A和C的坐标代入二次函数解析式列方程组求解即可； （2）求出直线的解析式，设出P点和H点的坐标，表示出，利用二次函数性质求出其最大值即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线解析式为， 将代入，得，解得， 则直线解析式为． 设，，则， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为3， 当时，， ∴， ∴为时，的最大值为3． 【经典例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例10】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 1．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）； (3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，t=3，，理由见解析 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点P作PG⊥x轴于点G，解直角三角形可得∠CAO=60°，从而得到，，可得到，再由DQ⊥x轴，BQ=2t，可得OQ= 9-2t，再代入二次函数解析形式，即可求解； （3）根据中点公式可得点F的坐标，再代入直线BC的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：令y=0，则， 解得：， ∴点B（9，0）， 令x=0，则， ∴点， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （2）：过点P作PG⊥x轴于点G， ∵点A（-3，0），， ∴ ∴ ∴∠CAO=60°， ∵AP=t， ∴，， ∴， ∴， ∵DQ⊥x轴，BQ=2t， ∴OQ=OB-BQ=9-2t， 把x=9-2t代入得： ， ∴； （3）解：存在，t=3，，理由如下： ∵点F是PD的中点， ∴点F的横坐标为，点F的纵坐标为， ∴点， ∵点F在直线上， ∴， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 【经典例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例11】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【答案】 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得是等腰三角形，再证明为等腰直角三角形，得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值. 【详解】解：由题意，得点的坐标为， ． 点都在抛物线上，且平行于x轴， 为等腰三角形，且轴． 为直角， 为等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为． 把代入，得，解得． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，二次函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把解析式化为交点式可得解析式为，则，由抛物线开口向下，得到，据此可判断①②；可求出，，然后作差可得，据此可判断③；当时，，解不等式即可判断④求出，则，， ，再分分别为直角三角形，利用勾股定理建立方程求出的值即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴抛物线解析式为， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①正确； ∵，且， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线上有两点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 在中，当时，，当时，， ∴， ∵， ∵，， ， 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，解得或（舍去）； 当时，则，此时方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，符合条件的a值有2个，故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键． 4．（24-25九年级上·广西·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 【经典例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例12】（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故B点坐标为， 过点A作于D， ∵四边形是正方形， ∴上等腰直角三角形， ∴， ∴A点坐标为， ∵二次函数的图象经过正方形的顶点A， ∴， 解得， ∴A点坐标为， ∵平移后的抛物线顶点为点， ∴平移后抛物线的表达式为． 故选：B． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 4．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值 (3)存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先将点B和点C代入抛物线求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段的长度，最后表示出的面积，从而利用二次函数的性质求得的面积最大值； （3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【详解】（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 1．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】建立模型： （1）解：一次，设这个一次函数解析式为， 则，解得：， 所以这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 问题解决： （2）设日销售利润为元． 根据题意得． ，当时，有最大值，最大值为． 答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）设捐赠后，日销售利润为元， 根据题意得． ， 当时， 有最大值，最大值为． 的最大值为， ． 解得，． 当时，，，符合题意． 当时，，，不符合题意，舍去． 答：的值为2． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件. (1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式； (3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大. 【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元 (2) (3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出总利润，再由一次函数的性质即可求解； （2）当售价在元时，设每月销售量，利用待定系数法进行计算即可； （3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：当售价在元时， 每月的总利润为元. 则总利润， ， 当时，总利润最多，为(元)， 每月的总利润最多是元； （2）解：当售价在元时，设每月销售量， ， 解得， 每月销售量． （3）解：当售价在元时，设每月的总利润为元. 每月的总利润 ，二次函数的对称轴为直线 ，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大， ，解得， m的最小值是30， 此时 当时，取得最大值，最大值为200元， m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数． (1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天时，最大日销售利润为1250元； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练运用二次函数的性质是本题的关键． （1）利用待定系数法求解析式； （2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解； （3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解． 【详解】（1）解：当时，设销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为， ∴， ∴t， ∴pt+30， 当时，， 综上所述：； （2）解：设日销售利润为w元， 当时， ， ∴当时，w有最大值为1250元， 当时，， ∴第10天时，最大日销售利润为1250元； （3）解：∵， ∴a， 对称轴为． ∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,且由于t只取正整数， ∴， ∴； 【拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知抛物线上有两点，且满足； (1)求m的取值范围； (2)连接，求与x轴相交所形成的锐角的度数； (3)作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线的交点坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)交点坐标为或 【分析】（1）先求出抛物线与x轴的交点，当以及时，求出m的范围即可； （2）把，分别代入抛物线，过点A、B分别作轴，轴，交于点D，求出，从而得出结果； （3）当时，点与不合题意，当时，点A坐标为，画出图形，连接并延长交y轴与点C，则，过点A作轴于点于点E，由，，点F的坐标为，设的解析式为，将点F代入，求出点A与的坐标，直线得解析式，设抛物线解析式为，求出a的值，从而得出结果． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴交点为， 当时，有， ， 即， 当时，有， ， ， ∴m的取值范围是或； （2）把，分别代入抛物线， ， ， 如图， 过点A、B分别作轴，轴，交于点D． 与y轴相交所形成的锐角的度数为； （3）当时，点与不合题意， 当时，点A坐标为， 如图， 连接并延长交y轴与点C，则， 过点A作轴于点于点E，由， ，点F的坐标为， 设的解析式为，将点F代入，得 ，解得， ∴点A坐标，点坐标为，                   直线得解析式为， 设抛物线解析式为，将点代入， ，即，可化为 由题意，解得， 把代入，则， ∴交点坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2025·山东德州·模拟预测）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P（异于A、B），通过计算∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）．聪明的你： （1）请你求出∠APB的度数； （2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程． 【答案】（1）45°或135°；（2）y=﹣x2+36x﹣243，对称轴方程为x=18． 【详解】分析：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，P为异于A、B的圆周上的任意一点，由与点P的位置不能确定，故①当P在 上时，如图中的P1，连接AP1、BP1、AO、BO，由矩形的性质及圆周角定理可求出∠AP1B=45°的度数；     ②当P在上时，如图中的P2，连接AP2、BP2，由圆内接四边形的性质可得出∠AP2B的度数；     （2）由（1）中所知∠APB=45的度数可得出∠APB的值，再设出抛物线的解析式，把C点代入即可得出此解析式，再由抛物线的对称轴方程即可得出结论． 详解：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，P为异于A、B的圆周上的任意一点．     当P在 上时，如图中的P1，连接AP1、BP1、AO、BO，则OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC，∴四边形ACBO是矩形，     ∴∠AOB=90°，∴∠AP1B=45°，     当P在 上时，如图中的P2，连接AP2、BP2，则∠AP2B=180°﹣45°=135°；     （2）∵∠APB=45°或135°，∴，     依题意，9、27是所求抛物线与x轴交点的横坐标，故可设所求的抛物线的解析式为：y=a（x﹣9）（x﹣27）（a≠0）． ∵抛物线经过点C（10，17），∴a（10﹣9）（10﹣27）=17，     解得：a=﹣1，∴y=﹣（x﹣9）（x﹣27）即y=﹣x2+36x﹣243， ∴抛物线的对称轴方程为x=﹣即x=18．      点睛：本题考查的是二次函数的应用及切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】（1）根据题意得到顶点，，再利用顶点式求解析式即可； （2）表示出，，在分别根据轴和轴列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米， ∴顶点，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， 当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则，，此时是等腰直角三角形，； 当轴时，，解得或（不合题意，舍去），此时，，则在下方，不合题意； 综上所述，，，． 【拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）综合与实践． 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地上围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案1：将墙的一部分用来替代篱笆按图1的方式围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案2：将墙的全部用来替代篱笆按图2的方式围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题： 任务一 按照方案1 ①求S与x之间的函数关系式；            ②求矩形的面积S的最大值． 任务二 计算方案2围成的最大面积，比较哪种方案能使围成的矩形花园的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】任务一：①，②矩形的面积S的最大值为168．任务二：方案二能使围成的矩形种植园的面积最大，最大面积为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：任务一：①∵，则， ∴， ②， ∵， ∴当时，． 任务二：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴方案二能使围成的矩形种植园的面积最大，最大面积为． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再制用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． (1)【类比探究】 当为何值时，有最小值，最小值为多少？ (2)【举一反三】 若代数式；当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，中间用棚栏隔开，且边上留两个1米宽的小门，设长为米，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值3 (2)，大，1 (3)当时，有最大值300 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）先计算，根据可得时，作判断即可； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值3； （2）解：， ∵， ∴， 则，有最大值，这个值是1； （3）解：当时，有最大值300． 理由如下：设的长为米，四边形的面积为，则米，则， ∵， 当时，长方形场地的面积最大，最大值是300平方米． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】 爱思考的小丽发现某隧道截面由抛物线的一部分和矩形构成（如图1，所示）．矩形的一边为米，另一边为3米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表米．是抛物线的顶点． 【深入探究】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； 【拓展延伸】 在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3所示，点，在轴上，与矩形的一边平行且相等．栅栏总长为图中线段，，，长度之和． （2）现修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线上．设点的横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和的最大值． （3）现修建一个如图3所示的“”型栅栏，栅栏总长为20米，求出此时矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【答案】（）；（），有最大值为；（），． 【分析】（）设抛物线对应的函数表达式为，将代入可得 ，从而，进一步得出结果； （）由题意得：的坐标为，从而得出，，进而得出的函数解析式，进一步得出结果； （）设 ，则从而得出矩形面积为 ，从而得出当时，矩形面积有最大值为，从而，，进一步得出结果； 本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 【详解】解：（）由题意可得：，， 又∵是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为， 将代入，， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； （）∵点的横坐标为，且四边形为矩形，点，在抛物线上， ∴的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， （）设，则， ∴矩形面积为， ∵， ∴当时，矩形面积有最大值为， 此时，， 令， 解得：， ∴此时的横坐标的取值范围为． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 6．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 依据题意，根据图象得到抛物线的顶点坐标是，再利用顶点式求解析式即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得． ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是．篮球出手点距离地面的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．将代入计算即可． 【详解】解：当时，， ∴篮球出手点距离地面的高度为 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等，由二次函数 ，得该函数的顶点的坐标为，故有点到轴的距离为，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 【详解】解：如图，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等， ∵二次函数 ， ∴该函数的顶点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴四边形的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的解析式中的、、对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了数形结合的方法，展开讨论是解题的关键． 由于抛物线的顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），分别讨论抛物线的顶点在正方形各个顶点上时的取值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∵顶点是正方形上的一个动点， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， ∵顶点在正方形内部， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）用一根长为20cm的铁丝，把它弯成一个矩形，其中，矩形面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当边长为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用矩形面积公式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：， ∴当时，最大，最大为25， ∴当边长为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是． 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元，设每个房间的房价增加元（为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式（无需写自变量的取值范围）； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)一天订住 32个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是8960 元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加 10 元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 故与的函数关系式为； （2）解：设宾馆一天的利润为元， ， ∴与的函数关系式为：； （3）解：∵， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵每个房间每天的房价不得高于 300 元， ， ， ∴时，取得最大值，此时，此时， 答：一天订住 32个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是8960 元． 13．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积有最大值，求点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次函数解析式的求解及二次函数在几何面积最值中的应用．第（1）问通过交点式简化计算；第（2）问将三角形面积转化为二次函数，利用顶点公式求最值，关键是合理表示面积与动点坐标的函数关系． （1）利用抛物线与x轴交点，，设交点式，代入求出系数，进而得到解析式； （2）先求直线的解析式，再通过设点坐标，将的面积表示为关于点横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值时的点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于和， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 即，解得， 有， 抛物线的解析式为； （2）, 直线的表达式为: , 将点的坐标代入上式得: ,解得: , 直线的表达式为: , 点的横坐标为,则, 过点作轴的垂线,交线段于点, 则, , 当时, 的值取最大,此时． 14．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 15．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为和，抛物线经过点B，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若M点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值． 【答案】(1) (2)点C在该抛物线上，理由见解析 (3)； 【分析】（1）设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式； （2）利用菱形的性质，可以得到点C的坐标，然后再进行判断即可； （3）利用待定系数求出的解析式，设出M、N的坐标，纵坐标作差，就可以得到l与t的函数关系式，它们的关系是二次函数，配方可得最大值，从而求解． 【详解】（1）解：设所求抛物线对应的函数关系式为：，把点代入得： ∴， 解得：， ∴所求函数关系式为：； （2）解：在中，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴C、D两点的坐标分别是、， 当时，， ∴点C在所求抛物线上； （3）解：设直线对应的函数关系式为， 则， 解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t， 则，， ∴ ， ∵， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实际问题与二次函数重难点题型专训 （1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 二次函数综合应用--面积问题 题型九 二次函数综合应用--线段周长问题 题型十 二次函数综合应用--角度问题 题型十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题 题型十二 二次函数综合应用--特殊四边形 拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等） 拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题 知识点一：二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 2．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知矩形周长为，设这个矩形的一边长为，面积为 (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 1．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 2．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）有6长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图1，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为 (1)请你用含x的代数式表示花圃面积S，并确定x的取值范围； (2)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料造了宽为的两个小门，此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽的长． 4．（25-26九年级上·山西·阶段练习）在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与函数的图象在第一象限交点的横坐标为4，点在抛物线上，点在正比例函数的图象上，当时，的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是______． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度是时，求这时水面宽度． 1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（    ）m． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建·阶段练习）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 4．（2025·陕西·模拟预测）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（24-25九年级上·四川泸州·期末）古蔺县某乡镇在乡村振兴实施过程中，帮助农户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元每个，投入市场销售时，如果按每个10元出售，那么每天可销售100个，经调查市场行情，发现该蜜柚销售单价每提高1元，其销售量相应减少10个．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ (3)若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，大致满足这样的关系式：，其中是物体距离地面的高度，是初速度，是抛出后所经历的时间．如果将一个小球从地面以的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？ 1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为 米． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一名运动员第一次在距离篮圈中心（水平距离）远处跳起投篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线球出手点距离地面，在与运动员水平距离为的空中到达最大高度，篮圈中心点距离地面约，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式． (2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由． (3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳起投篮，篮球经过篮圈中心若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他后撤的距离．（结果保留根号） 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中垂直于水平地面，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（   ） A．假山上的点B到水平地面的距离为 B．水平方向上的长度为 C． D．抛物线与的对称轴相同 2．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）某市为保障绿化带新植苗木的生长需求，利用洒水车给绿化带洒水，已知洒水车的喷水口A距离地面的高度为，从A口喷出的水流可近似看作抛物线的一部分，当喷出的水流距喷水口A水平距离为时，此时水流到地面的高度最大为．已知绿化带顶部B的平均高度为，从A口喷出的水流恰好落在绿化带顶部B处，如图，线段表示水平地面，以所在直线为x轴，垂直于且过点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求喷水口喷出的水流所在抛物线的函数表达式； (2)已知该绿化带的宽度为（轴），为使整个绿化带能得到充分浇灌，需对洒水车进行改装，将喷水口调整为上下移动式，假设洒水车喷出的水流的形状、方向均不变，要使改动后水流能落在绿化带外侧点C处，求喷水口移动的距离． 4．（2025·河南信阳·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到测量数据如下： 根据以上数据，完成下列问题． (1)测量数据中，哪一组是错误的？（      ） A．　　　　 B．        C．　      D．       E． (2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点重新标出，并用平滑的曲线画出函数图象； 求图象所在抛物线的函数表达式． (3)若测得此圆形草坪的直径为，试通过计算说明草坪边缘处是否能恰好喷洒到水．若不能，则可以在不改变抛物线顶点位置的情况下，将喷水口向上调整多高来实现？ 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为 （要求化成一般式）． 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量（吨与月份（月之间的函数关系是． (1)随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润（万元）与月份（月的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ (2)受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求的值（精确到个位）．（参考数据：，，，）． 【经典例题八 二次函数综合应用--面积问题】 【例8】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数的图像经过点，与y轴交于点C，求： (1)该二次函数的解析式； (2)点C的坐标及的面积． 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ； （2）点为抛物线上一点，且以为顶点的三角形的面积等于以为顶点的三角形的面积，则点的坐标为 ． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知抛物线经过三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线顶点为，求的面积． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．点、的坐标分别是． (1)直接写出点B的坐标； (2)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）； (3)如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【经典例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】 【例9】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为 ，此时点M的坐标是 ． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【经典例题十 二次函数综合应用--角度问题】 【例10】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 1．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）； (3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】 【例11】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点，当时，则m的取值范围是；⑤当是直角三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 3．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 4．（24-25九年级上·广西·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【经典例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】 【例12】（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 1．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件. (1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式； (3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大. 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量与时间t（天）的关系是 天数为整数． (1)试求销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知抛物线上有两点，且满足； (1)求m的取值范围； (2)连接，求与x轴相交所形成的锐角的度数； (3)作点A关于y轴的对称点，以为顶点的抛物线p经过原点，当直线与y轴交于点时，试求出抛物线p与直线的交点坐标． 2．（2025·山东德州·模拟预测）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P（异于A、B），通过计算∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）．聪明的你： （1）请你求出∠APB的度数； （2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点处安装一个装饰灯，图中与抛物线围成的区域是灯的光照范围，的度数可以调节．以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与的距离是2米，点到的距离为1米，点与拱门最高点的水平距离也是1米，点均在此抛物线型拱门上． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)根据设计要求，点的横坐标为，点的横坐标为，的一边需要与轴平行．问，是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出点的坐标及此时的度数；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）综合与实践． 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地上围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案1：将墙的一部分用来替代篱笆按图1的方式围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案2：将墙的全部用来替代篱笆按图2的方式围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题： 任务一 按照方案1 ①求S与x之间的函数关系式；            ②求矩形的面积S的最大值． 任务二 计算方案2围成的最大面积，比较哪种方案能使围成的矩形花园的面积最大？最大是多少？请说明理由． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再制用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． (1)【类比探究】 当为何值时，有最小值，最小值为多少？ (2)【举一反三】 若代数式；当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； (3)【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，中间用棚栏隔开，且边上留两个1米宽的小门，设长为米，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】 爱思考的小丽发现某隧道截面由抛物线的一部分和矩形构成（如图1，所示）．矩形的一边为米，另一边为3米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表米．是抛物线的顶点． 【深入探究】 （1）求此抛物线对应的函数表达式； 【拓展延伸】 在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3所示，点，在轴上，与矩形的一边平行且相等．栅栏总长为图中线段，，，长度之和． （2）现修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线上．设点的横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和的最大值． （3）现修建一个如图3所示的“”型栅栏，栅栏总长为20米，求出此时矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 7．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是．篮球出手点距离地面的高度为 m． 9．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 10．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）用一根长为20cm的铁丝，把它弯成一个矩形，其中，矩形面积为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？ 12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元，设每个房间的房价增加元（为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式（无需写自变量的取值范围）； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 13．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积有最大值，求点坐标． 14．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 15．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为和，抛物线经过点B，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若M点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $