专题07 弧长和扇形面积重难点题型专训（2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 弧长和扇形面积重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 拓展训练一 圆锥的实际问题 拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，将半径为的半圆铁皮卷成一个圆锥侧面（接缝无重叠），则此圆锥的底面半径是（    ） A． B． C． D．R 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是 （结果保留）． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，两个阴影部分的面积分别是 ,，且 平方厘米，则图中扇形的半径是 厘米．( 取 3) 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）半径为、弧长是的扇形，面积为 ，此扇形的圆心角为 度． 3．（2025·甘肃天水·模拟预测）石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则 ． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 2．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，是等腰直角三角形外一点，，把绕点逆时针旋转到．已知，，则点在旋转过程中所经过的路径的长为 ． 3．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2025·浙江衢州·模拟预测）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径，连接，则扇形的面积为 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形．（结果保留） (1)若，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若，求这个扇形的最大面积； ②若，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应的范围． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题． (1)在图 1 中以点为旋转中心，作绕点顺时针旋转后得到的 ； (2)设外接圆圆心为点，则在（1）的条件下，求扫过的面积． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积．     【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转至，扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·山东德州·模拟预测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·自主招生）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 3．（福建省福州市9校（金中、八中、格致等）2025-2026学年上学期九年级期中联考数学试卷）如图，网格中的小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，点为弧的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)求叶瓣①的面积．（结果保留）． 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（24-25九年级上·湖北·期末）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆半径为，母线l长为，制作一个这样的烟囱帽至少需要铁皮（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图是一张圆形纸片，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ． 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）综合实践课上，珍珍用半径为，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 3．（24-25九年级·河南商丘·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 4．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　） A． B． C． D．3 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆锥母线长厘米，若底面圆的半径厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ． 4．（24-25九年级上·河北·期末）用硬纸片制作一个有底面的圆锥，已知圆锥的底面半径为，母线长为． (1)求出圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数， (2)求出圆锥的表面积（结果保留）． 【拓展训练一 圆锥的实际问题】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周（①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=，V圆锥=h） (1)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ (2)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (3)如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？ 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为________． (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________． (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程． 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间.请用含的代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东德州·模拟预测）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 8．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 9．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，以点为圆心，的长为半径为画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 12．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，． (1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留） (2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π） 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 14．（24-25九年级上·河北·阶段练习）如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 15．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 弧长和扇形面积重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 拓展训练一 圆锥的实际问题 拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、直角三角形面积公式等知识，读懂题意，间接表示出三条弧与边所围成的阴影部分的面积求解是解决问题的关键．如图所示，由题意可得，，即可转化为以为半径的半圆面积，从而求出，由三条弧与边所围成的阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，， 在中，， 则可转化为以为半径的半圆面积， 即， 在中，，则， 三条弧与边所围成的阴影部分的面积是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，将半径为的半圆铁皮卷成一个圆锥侧面（接缝无重叠），则此圆锥的底面半径是（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，即可求出圆锥的底面半径. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=πR， ∴r=， 故选C. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，属于基础题. 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，先求出围成圆锥的扇形弧长为，已知扇形的弧长为，可知粘贴部分的弧长为，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴围成圆锥的扇形弧长为， ∵已知扇形的弧长为， ∴粘贴部分的弧长为， ∴圆锥上粘贴部分的面积是． 故选：B． 【经典例题一 求弧长】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用圆周角定理和弧长公式来求解的长度，先根据直角三角形的性质和圆周角定理确定中心角的度数，再利用弧长公式计算弧长． 【详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键． 根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长． 【详解】，扇形的面积为，半径为3， ∴ ∴ ∴这个扇形的弧长是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接、，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即点在以为直径的圆上，再根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 为量角器的直径， 为直角三角形斜边上的中线， ，即点在以为直径的圆上， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知是上一段圆弧． (1)如图1，连接，，，若，，求的长度； (2)如图2，仅用圆规作绕点 逆时针旋转后的； (3)在（2）的条件下，若，求扫过的图形面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了弧长公式，画旋转图形，等边三角形的性质，求扇形面积； （1）根据勾股定理求得半径，进而根据弧长公式，即可求解； （2）根据题意作出旋转后的圆心，再作出等边三角形，作出的等圆，取，即可求解． （3）根据扫过的图形面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∴的长度为， （2）解：如图所示，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接，，再为圆心、以为半径作弧，交于点，以为圆心，为半径作，则即为所求； （3）解：由（2）可得扫过的图形面积等于 又∵， ∴． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当圆与相切时，半径最大，设，根据扇形的弧长等于底面圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：当圆与相切时，半径最大， 设，则：圆的直径为：， ∵扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ∴，解得：； ∴的长为； 故选C． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥的底面周长，是解题的关键． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】连接，， 由题意，得：， ∵在上， ∴为的直径，，， 在中， ， 即扇形的半径为： 扇形的弧长： 设圆锥底面圆半径为， 则有， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查圆锥的计算．熟练掌握圆锥的底面周长等于围成圆锥的扇形的弧长，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为， 故答案为． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，两个阴影部分的面积分别是 ,，且 平方厘米，则图中扇形的半径是 厘米．( 取 3) 【答案】6 【分析】本题考查了扇形（四分之一圆）面积公式与长方形面积公式的应用，以及阴影面积差的转化技巧，解题的关键是发现“”可转化为扇形面积与长方形面积的差（两者含相同空白部分，相减时空白部分抵消），进而通过面积关系列方程求扇形半径． 先计算长方形面积（长8厘米、宽3厘米）；再根据扇形为四分之一圆，写出其面积表达式（含半径）；利用“扇形面积长方形面积”，代入列方程，求解半径． 【详解】解：长方形面积长宽（平方厘米）； 扇形面积（平方厘米）， 设扇形半径为r，根据扇形面积公式，取， 即，则，故    （半径为正数）． 故答案为：6． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）半径为、弧长是的扇形，面积为 ，此扇形的圆心角为 度． 【答案】 125.6 144 【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积的计算，掌握弧长与扇形面积计算公式是解题的关键，由弧长及半径即可计算扇形的面积，由弧长利用方程即可计算扇形圆心角． 【详解】解：扇形面积为， 设扇形圆心角为度，则， 解得：， 即扇形圆心角为， 故答案为：． 3．（2025·甘肃天水·模拟预测）石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意易得：点A移动的距离点B在圆周上经过的弧长，然后进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长， ， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 1．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时， ∵π取3， ∴， 即点所对应的数是10． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，是等腰直角三角形外一点，，把绕点逆时针旋转到．已知，，则点在旋转过程中所经过的路径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，证明，可得，然后在和中，利用勾股定理可得，，再根据弧长公式解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 即， ∵在旋转过程中所经过的路径的长是弧长， ∴． 故答案为： 3．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式． （1）根据计算即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（2025·浙江衢州·模拟预测）某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，首先根据，可以求出圆锥底面圆的周长为，即圆锥侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式是计算即可求出彩纸的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 以为直径的圆的周长是， 圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：D． 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，交于点E，连接，若D是的中点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边对等角、三角形内角和定理，关键是求出扇形的圆心角和半径． 连接，由等边对等角可得，求出，再由D是的中点可得，从而得出，再根据，得出，从而得出，得出，从而求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 首先确定5个扇形的圆心角的度数之和，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵5个扇形的圆心角的和为，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径，连接，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形．（结果保留） (1)若，求这个扇形的面积； (2)思考：如何剪使得扇形的面积最大？ ①若，求这个扇形的最大面积； ②若，求这个扇形的最大面积． (3)扇形的最大面积随变化而变化，画出这个扇形的最大面积的示意图，并给出对应的范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析； 【分析】本题考查了求扇形面积；勾股定理，垂径定理； （1）由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值； （2）先求得扇形的半径，进而根据扇形的面积公式即可求解； （3）根据（1）、（2）的结论画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵扇形是圆心角为的扇形， ∴，，则为圆的直径， ∴， 由得， ∴扇形的面积为； （2）解：①如图，连接，，过点作于点， 依题意，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴扇形的面积为； ②如图，连接，， 依题意，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为； （3）如图， 当和时，扇形的面积相等，扇形的最大面积随变化而变化， 如图所示，扇形的面积最大，根据（1）、（2）的结论可得 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 1．（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【详解】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题． (1)在图 1 中以点为旋转中心，作绕点顺时针旋转后得到的 ； (2)设外接圆圆心为点，则在（1）的条件下，求扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）分别作线段的垂直平分线，相交于点O，分别作线段的垂直平分线，相交于点，由题意得，，由勾股定理可得的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：分别作线段的垂直平分线，相交于点O，分别作线段的垂直平分线，相交于点， 由题意得，， 由勾股定理得，， ∴扫过的面积为：． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式的应用，标记圆心及点，连接，．设弓形的面积为，先求出，再根据进行解答即可． 【详解】解：如图，标记圆心及点，连接，． 根据题意，知． 设弓形的面积为， 则 故答案为：． 3．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）过P做的垂线交大圆于A，B，根据垂径定理可得． （2）利用圆环面积等于大圆面积减去小圆面积及勾股定理计算即可． （3）根据大圆中弦与所围成的图形面积求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过P做的垂线交大圆于A，B， ， ， 则线段即为所求； （2）， ， 两个同心圆围成的圆环面积． 故答案为：； （3）， ， 设，则有    ， ， ， ， ，， ， 大圆中弦与所围成的图形面积 【点睛】本题考查垂径定理，圆环面积，弓形面积，切线的性质，锐角三角函数，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转至，扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．根据勾股定理定理求出，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴所扫过的面积为． 故选：D． 1．（2025·山东德州·模拟预测）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东广州·自主招生）如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为2，，将纸片沿、折叠，交于点，图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、，由折叠得，利用，求出，，得到，，同理：，证明，推出，得到弓形与弓形的面积相等，利用阴影的面积代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ，， ，， 同理：， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键． 3．（福建省福州市9校（金中、八中、格致等）2025-2026学年上学期九年级期中联考数学试卷）如图，网格中的小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，点为弧的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的求解，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，以及垂直平分线的性质，解决本题的关键是找到圆心 连接与，作与的垂直平分线相交于点O，点O即为圆的圆心，再根据扇形面积公式先求解扇形的面积，根据边长判定的形状，即可求解的面积，再根据半径可求解的长度，由此可求解的面积，即可求解阴影面积． 【详解】解：连接与，作与的垂直平分线相交于点O， 连接，记与的交点为点Q，如图， ∵点O为圆的圆心，记圆的半径为r， ∴， 根据勾股定理可得，， 即， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由垂径定理可知，点Q为中点，且， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)求叶瓣①的面积．（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质： （1）证明四边形是正方形，即可求解； （2）根据叶瓣①的面积为等于，即可求解． 【详解】（1）解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点； （2）解：如图，连接， ∵以原点，为圆心、以2为半径作圆， ∴两个圆是等圆，， ∴， ∴叶瓣①的面积为． 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（24-25九年级上·湖北·期末）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆半径为，母线l长为，制作一个这样的烟囱帽至少需要铁皮（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥求面积的实际应用，根据圆锥的侧面展开是一个扇形，而扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积等于圆锥的侧面积求出一个烟囱帽的面积即可． 【详解】解：一个圆锥的侧面积为（）， 故选：C． 1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图相关知识，涉及圆锥底面周长公式（r为底面半径）以及圆锥侧面展开图扇形的面积公式（l为弧长，r为母线长）．解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，易错点是混淆圆锥底面半径、母线长与扇形弧长、半径的对应关系． 要计算圆锥侧面展开图的面积，首先得知道侧面展开图扇形的弧长和半径．根据圆锥的性质，扇形的半径就是圆锥的母线长，这里母线长为12；扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用底面半径4，通过圆的周长公式算出底面周长为，也就是扇形弧长．最后把弧长和母线长代入扇形面积公式，就能求出侧面展开图的面积． 【详解】解：，， ． 又， ． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，根据侧面积公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去之后圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：D． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图是一张圆形纸片，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可列出方程计算． 【详解】根据题意可知，扇形的圆心角， 则， 解得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，所做圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，求弧长，圆锥的底面半径．根据正多边形的性质，求出的度数，再根据弧长公式可得的长，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为4， ∴， ∴， ∴所做圆锥的底面半径为． 故答案为： 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）综合实践课上，珍珍用半径为，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【答案】3 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握相关计算公式是解题的关键． 设圆锥的底面半径为，根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得：， 解得， 故答案为： 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．    (1)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； (2)在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在， 【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； 【详解】（1）解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． （2）存在，的长为定值．如图，连接．    ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ∵AC=6，∠ACB=120° ∴，即：r=OA=2 在Rt△AOC中，OA=2，AC=6， 由勾股定理得，． 故填：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案． 【详解】解：∵半径为的圆形， ∴底面圆的半径为2，周长为， 扇形弧长为：， ∴，即母线为， ∴圆锥的高为：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，求圆锥的高，熟知圆锥的相关知识是解题的关键． （1）设这个圆锥的底面圆半径为r，圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长，据此建立方程求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 3．（24-25九年级·河南商丘·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：连接， ，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理的逆定理． 4．（2025·广东·模拟预测）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知圆锥的高与母线夹角，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数，设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等圆圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于n的方程即可． 【详解】解：设母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，底面圆半径为r， ∵圆锥的高与母线夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故选C． 1．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用扇形的面积求出扇形的半径，再求出扇形的弧长，由扇形正好是一个圆锥的侧面展开图可以得出圆锥底面圆周长为扇形的弧长，由此可解． 【详解】解：设， ∵，且扇形的面积为， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为：， ∵扇形正好是一个圆锥的侧面展开图， ∴该圆锥底面圆周长为扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积计算、弧长计算，圆锥的侧面展开图等知识点，熟练掌握“圆锥侧面展开所得扇形的弧长为底面圆的周长”是解题的关键． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆锥母线长厘米，若底面圆的半径厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，圆心角公式，解决本题的关键是求解出侧面展开图的弧长． 根据侧面展开图扇形的弧长即圆锥底面周长可求解弧长，再由圆心角公式代入求解即可． 【详解】解：由题意知：扇形的弧长为圆锥底面圆周长（厘米）， 设所求圆心角的度数为， 则，解得， 即侧面展开扇形图的圆心角为． 故答案为：． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案． 【详解】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为， 由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽， 可得， 解得， ∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是， ∴剪去的扇形纸片的圆心角为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北·期末）用硬纸片制作一个有底面的圆锥，已知圆锥的底面半径为，母线长为． (1)求出圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数， (2)求出圆锥的表面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的周长，圆的面积，扇形的面积，圆心角度数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求得扇形的弧长，以及扇形所在圆的周长，通过计算其比例可以求得圆心角度数； （2）利用扇形的面积加上底面圆的面积即可得出答案． 【详解】（1）解： 故圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数为． （2）解： 故圆锥的表面积为． 【拓展训练一 圆锥的实际问题】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周（①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=，V圆锥=h） (1)如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ (2)如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ (3)如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？ 【答案】(1)两个圆锥形成的几何体； (2)V圆锥=128π； (3)绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可； （2）确定圆锥的高与半径即可求出体积； （3）分别求出两种图形的体积，再比较即可． 【详解】（1）两个圆锥形成的几何体； （2）由题意可知：r=8，h=6 V圆锥πr2hπ×82×6＝128π， （3）①如图可知，设直角三角形斜边上的高为r可得：， 解得r， 所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为分为两个圆锥 设母线为6的圆锥高为 ，母线为8的圆锥高为， 则+=10， V圆锥πr2hπr2h1πr2h2π×（）2×10＝76.8π ②绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为： V圆锥πr2hπ×62×8＝96π， ∴76.8π＜96π， 故绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【点睛】本题考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，关键要弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高，一般底面半径越大体积就越大． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 【拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：如图，观察图形回答下面的问题： (1)此图形的名称为________． (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________． (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程． 【答案】 （1）圆锥 （2）扇形（3）见解析（4） 【详解】试题分析:（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥,（2）圆锥的侧面展开图是扇形,（3）要求蜗牛爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据”两点之间线段最短”得出结果,（4）已知圆锥侧面展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边,根据已知确定两直角边的长,即可利用勾股定理求解. 解：(1)圆锥　(2)扇形 (3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线． (4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125， ∴AC＝＝. 故蜗牛爬行的最短路程为. 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期末）如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′， ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点， 根据垂径定理，得： AM＝AB＝4，PO⊥AB， OM＝＝3， ∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2， ∴AP＝＝2， ∵将绕点A逆时针旋转90°后得到， 根据旋转的性质可知，，即：， ∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇， 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间.请用含的代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据图形列代数式，正确列出代数式是解题的关键．阴影部分的面积等于最大圆面积减去五个小圆的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，阴影面积为： 故选：B． 5．（2025·山东德州·模拟预测）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积： ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可． 本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径是r，则， 解得， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 9．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，以点为圆心，的长为半径为画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先计算出CA=CE=2，再由∠A=60°得到△ACD为等边三角形，进而得到∠DCE=30°；连接GC、GE进一步证明△GEC为等边三角形，阴影部分的面积由扇形CGD的面积加上弓形CFG的面积即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，， ∴，由以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，可知：AC=CE=CD=CG=2， 连接CG、GE，如下图所示： ∵∠CAB=90°-30°=60°，且CA=CD， ∴△ACD为等边三角形，且∠ACD=60°， ∴∠DCB=30°， ∵以E点为圆心，EC为半径话弧交于点G， ∴EC=EG，又CE=CG， ∴△ECG为等边三角形，∠GEC=∠GCE=60°， ∴∠GCD=∠GCE-∠DCB=60°-30°=30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式及等边三角形的性质，本题的关键是能正确连接GC、GE，再用扇形面积加上弓形面积得到整个阴影部分的面积． 10．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ①错误，不符合题意； ， ②正确，符合题意； ， ， ， ， ③正确，符合题意； 综上所述， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 12．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，． (1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留） (2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，根据弧长公式即可求解； （2）如图，找出点的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解． 【详解】（1）解：由图①到图②： ． （2）解：如图 ， ， ， ． 答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是． 【点睛】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运动路径是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 14．（24-25九年级上·河北·阶段练习）如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 【答案】(1)①；② (2) (3)①4；② 【分析】（1）①，，求出的长度及高线的长度，则面积可求； ②根据圆O与正方形相切，可推导出圆心角的度数，再利用弧长公式，求出弧长即可． （2）利用割补法，连接切点和圆心，过点O作的垂线，分别求出各部分的面积． （3）①垂直于，当点N落在上时，最小，根据勾股定理求出线段的长度，再用就是的最小值； ②点G在以B为圆心，长为半径的圆上，当D、B、G三点共线时，最短，进而求解即可． 【详解】（1）①∵，， 如图1所示，过点O作垂直于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； ②如图2所示， ∵P、Q为圆O的切线，连接、， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）如图3所示，连接，过点O作垂直于点P， ∵Q为圆O的切点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）①如图4所示， 当垂直时， ∵，，， ∴， 当点N落在边上时，最小， ∵，， ∴， ∴； ②如图5所示， ∵， ∴， ∴点G在以B为圆心，长为半径的圆上运动， 当B、G、D三点共线时，最短， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了圆的相关性质及与圆有关的计算，勾股定理，矩形的性质和判定，求阴影面积和弧长，切线的性质等知识，利用特殊角度和相切求线段长度为解题关键． 15．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如． (1)　 　，　 　，的取值范围是 　 　； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)20.7 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， ，则， ∴， 如图2， ，作于D，则， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $