精品解析：福建省龙岩市莲东中学2023-2024学年上学期九年级暑假开学考试数学试题

龙岩龙钢学校 2023-2024学年第二学期暑期阶段练习 九年级 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 故选： D． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 或1 D. 0或1 【答案】B 【解析】 分析】把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：或， 当时，此方程不是关于x的一元二次方程， 故． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于x的一元二次方程是解决本题的关键． 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： 168（1-x）2=108． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 7. 祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. =930 B. =930 C. x（x+1）=930 D. x（x﹣1）=930 【答案】D 【解析】 【分析】可设全班有x名同学，则每人写(x﹣1)份留言，共写x(x﹣1)份留言，进而可列出方程即可． 【详解】设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言， 根据题意得：x（x﹣1）=930， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x(x﹣1)不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解合理性，即考虑解的取舍． 8. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程，的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似解，解答本题的关键是明确题意，写出x的取值范围． 根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负时，然后即可得到关于x的方程的一个解x的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时， ； 当时，． 关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：C． 9. 已知 ，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，解得或，故两个函数有两个不同的交点，据此判断解答即可． 本题考查了图象的分布，根据交点个数判断是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 解得或， 故两个函数有两个不同的交点， 故选择C． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，以及一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将化为一般形式即可求得出其一次项系数． 【详解】解：， 移项并合并同类项得：， 方程的一次项系数为， 故答案为：． 12. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 13. 若二次函数的图象开口向上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，根据二次函数的定义可得，再根据二次函数的图象开口向上可得，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴，， 解得， 故答案为：． 14. 已知二次函数y＝ax2，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】通过，结合平方差公式进行因式分解，可推导出，从而完成求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵二次函数 ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数、平方差公式、因式分解的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，结合平方差公式进行因式分解，从而得到答案． 15. 设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，代入可得x22+5x2﹣3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，可得2x1•x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，求得x1x2=﹣3，即2×（﹣3）+a=4，解方程得a=10． 16. 如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是_______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法． （1）把方程化为，再进一步求解即可． （2）计算，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 两边都加得：， ∴， ∴ 解得：，． 【小问2详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围 （2）若为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据方程根的情况可得，求解即可； （2）将k的值代入，求解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 取值范围为； （2）为（1）中的最小整数 方程为 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程根的情况是解题的关键． 19. 已知一元二次方程（）的两个根、；求证：， 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，则，． 先根据求根公式得出的值，再求出两根的和与积即可． 【详解】证明：，， ∴，， ∴ ． 20. 已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0． 【解析】 【分析】根据二次函数定义，m2+m＝2，以及 性质解答即可． 【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2， ∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）； （2）开心向下，顶点（0,0） 当x＝0时，y最大＝0． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及性质，属于基础题． 21. 学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值． 【答案】（1） （2）当时，的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将所求式子进行配方，再结合平方的性质即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴当时，的值最小，最小值为． 22. 关于x方程（m为常数）是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见： 甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程； 乙认为：原方程中二次项系数肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定是一元二次方程． 你认为甲、乙两同学的意见，谁正确?证明你的结论． 【答案】乙同学意见正确，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，配方法的应用，将二次项系数进行配方得出，再利用平方的性质可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：乙同学意见正确 证明如下： ， ∵ ∴ ∴肯定不会等于零 ∴可以确定这个方程一定是一元二次方程， 故乙同学意见正确． 23. 如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子底面面积是，设小正方形的边长为 （1）请用表示长方体的底面的长_____；宽_____； （2）求x的值及长方体盒子的体积． 【答案】（1）； （2），长方体盒子的体积为 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用大正方形的边长减去2个小正方形的边长即可得长方体的底面长；利用大正方形的边长减去2个小正方形的边长，再除以2即可得长方体的底面宽； （2）结合（1）的结果，利用长方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，则可得长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式计算即可得． 【小问1详解】 解：由图可知，长方体的底面的长为， 长方体的底面的宽为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或（此时，舍去）， 所以长方体盒子的长为，宽为，高为， 所以长方体盒子的体积为， 答：的值为4，长方体盒子的体积为． 24. 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为 （2）每件商品应降价元 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意，舍去， ∴每件商品应降价元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键． 25. 如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 【答案】（1）直线的解析式为：； （2）； （3），的最小值为． 【解析】 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：∵，是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点的坐标为，点的坐标为 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得 解得， 所以，直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：对于直线： 当时， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小， 设直线∶， ∵直线∶过点和点， ∴， 解得， ∴直线∶， 令，有， 解得， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴的最小值为的长：． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩龙钢学校 2023-2024学年第二学期暑期阶段练习 九年级 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 或1 D. 0或1 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 7. 祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. =930 B. =930 C. x（x+1）=930 D. x（x﹣1）=930 8. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程，的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知 ，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C ①②③④ D. 只有①②③ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的一次项系数是______． 12. 方程x2=4x的解 __． 13. 若二次函数的图象开口向上，则______． 14. 已知二次函数y＝ax2，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为__________． 15. 设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______． 16. 如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是_______ 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围 （2）若为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根． 19. 已知一元二次方程（）的两个根、；求证：， 20. 已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？ 21 学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值． 22. 关于x的方程（m为常数）是否一定是一元二次方程，甲、乙两同学有不同意见： 甲同学认为：原方程中二次项系数与m有关，可能为零，所以不能确定这个方程就是一元二次方程； 乙认为：原方程中二次项系数肯定不会等于零，所以可以确定这个方程一定一元二次方程． 你认为甲、乙两同学的意见，谁正确?证明你的结论． 23. 如图，在一个边长为的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子底面面积是，设小正方形的边长为 （1）请用表示长方体的底面的长_____；宽_____； （2）求x的值及长方体盒子的体积． 24. 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？ 25. 如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $