精品解析：山西省运城市2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

运城市2025~2026学年九年级第一次阶段性考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，且；则四边形是矩形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，，则四边形是菱形 5. 下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（ ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A. 4米 B. 米 C. 米 D. 20米 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，平分，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为________. 12. 如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是____（写出一个即可）． 13. 在一个不透明的盒子里装有1个红球，2个黄球，n个白球，它们除颜色不同外，其余都相同．从这个盒子中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的数量为____个． 14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是______． 15. 如图，在正方形中，，点在边上，点在边上，，连接，，于，点分别为的中点，连接，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，在中，的高，交于点，连接． （1）试说明的理由； （2）若，求的长． 18. 因国产游戏《黑神话：悟空》和电影《浪浪山小妖怪》中山西元素带动，文化IP效应快速转化为旅游热度，古建大省山西成为热门旅游目的地．晋祠，云冈石窟，忻州古城，五台山作为山西的地标建筑颇受游客们的喜爱．初三某班开展以“华夏古文明，山西好风光”为主题的班会，请学生们从以上四个景点中随机抽出两个景点介绍，求小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 19. 如图，奶奶准备修建一个形如矩形的鸡舍，其中一边靠墙（墙长），其余三边用总长为20米的篱笆围成． （1）当矩形区域的面积为时，通过计算给出设计方案． （2）矩形区域的面积能达到吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请通过计算说明理由． 20. 某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端 说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 （1）利用组的测量数据，求出大树的高度； （2）利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 21. 阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“邻对等四边形”的研究报告 勤学小组 研究对象：邻对等四边形． 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形． 如图1，在四边形中，，连接，，且，则四边形是一个邻对等四边形． 性质探究： 性质1：对角线相等，即． 性质2：有一组邻角相等，即． 性质3：在图1中，若，则与互补． 下面是性质3的探究过程： 如图2，延长至点，使得，连接． …… 任务： （1）根据邻对等四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是邻对等四边形的是________（从下列选项中选出两个）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （2）请你阅读上述报告，补全性质3的探究过程． （3）如图3，已知，，请你在图3中作一个邻对等四边形，使得点在的上方．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 22. 初秋金风至，盛会今又临．8月21日至25日，第七届山西文化产业博览交易会在山西潇河国际会展中心成功举办，其中餐饮区的山西刀削面颇受游客们的喜爱．它中厚边薄，棱角分明，入口外滑内筋，软而不粘，越嚼越香． 素材1 据统计，某摊位面馆6月份的销售量为5000碗，8月份的销售量为7200碗； 素材2 6、7、8三个月的平均增长率为； 素材3 这个摊位一份刀削面成本价为10元，若每份卖16元，平均每天售出200份； 素材4 在销售过程中发现，如果降低单价，销量会增加．若价格每降低0.5元，平均每天多销售40份． 任务1 求出的值． 任务2 每份刀削面价格是多少元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 23. 综合与探究 问题情境：已知矩形中，为射线上的动点（不与点重合），沿直线折叠该纸片，点落于点处．连接，展平纸片． （1）推理与计算：在研究过程中发现，动点运动过程中，某一时刻三点能共线（如图1），请求出的长． （2）猜想并证明：在动点运动过程中，当_____时，四边形为正方形？请写出证明过程． （3）拓展与延伸：在（2）得到的正方形记作正方形，点继续从点开始移动，发现图中始终是等腰三角形．连接（如图3），在点移动过程中，同学们发现也可能成为等腰三角形（如图4），当成为等腰三角形时直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2025~2026学年九年级第一次阶段性考试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再进行提公因式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 2. 2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率等知识，准确求概率是解题的关键． 画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：    由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：，， ∴（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，先根据，化简得，再代入，即可作答． 【详解】解：因为， 所以， 则， 故选：D． 4. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，且；则四边形是矩形 C. 若，则四边形是正方形 D. 若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（ ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A. 4米 B. 米 C. 米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 设米，证明，进而证明，进而根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 即河的宽度为米． 故选：B． 6. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 7. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，平分，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理．利用角平分线的性质定理可判断选项A；利用等角的余角相等证得，即可推出，可判断选项B；证明，推出，利用勾股定理求得，可判断选项D；再利用相似三角形的性质求得，可判断选项C． 【详解】解：在矩形中， ∴， ∵平分，，， ∴；选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴，选项B不符合题意； ∵，，又， ∴， ∴， 在中，，选项D不符合题意； ∴， ∵， ∴，即， ∴，选项C符合题意； 故选：C． 9. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为________. 【答案】5 【解析】 【分析】因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了比例线段的性质，解题的关键是要掌握比例线段的性质． 12. 如图，在中，是上一点，增加一个条件使，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：或或． 13. 在一个不透明的盒子里装有1个红球，2个黄球，n个白球，它们除颜色不同外，其余都相同．从这个盒子中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的数量为____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸到白球的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴盒子中白球的数量为2， 故答案为：2． 14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点作轴于，根据题意可得，由正方形的性质得到，则由勾股定理可得，证明，得到，则，据此可得． 【详解】解：如图所示，过点作轴于， ∵点的坐标为， ， ∵正方形的面积为 5 ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点在边上，点在边上，，连接，，于，点分别为的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出是解决问题的关键． 连接，延长交于，连接，由正方形推出，，，证得和，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于，连接， 四边形是正方形，， ，，， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴ 在和中， ， ， ， ∵， ， ∴, ∵，， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，点为的中点， 点为的中点， ， 在中 ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（）把移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：方程化简得，， ∴， ∴或， ∴ ，． 17. 如图，在中，的高，交于点，连接． （1）试说明的理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：的理由如下： 是的高， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据是的高，得出，再结合，则，即可作答． （2）结合，故，又因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得出， ， ， ， ． ， ， ． 18. 因国产游戏《黑神话：悟空》和电影《浪浪山小妖怪》中山西元素带动，文化IP效应快速转化为旅游热度，古建大省山西成为热门旅游目的地．晋祠，云冈石窟，忻州古城，五台山作为山西的地标建筑颇受游客们的喜爱．初三某班开展以“华夏古文明，山西好风光”为主题的班会，请学生们从以上四个景点中随机抽出两个景点介绍，求小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先理解题意，再运用列表法把所有情况表达出来，得出一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种，即可求出小明介绍晋祠和五台山景点的概率． 【详解】解：依题意，小明抽取景点的结果列表如下： 第一次 第二次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由列表可知：一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中小明恰好抽到晋祠和五台山景点的结果有2种， ∴（小明介绍晋祠和五台山景点的概率）． 19. 如图，奶奶准备修建一个形如矩形的鸡舍，其中一边靠墙（墙长），其余三边用总长为20米的篱笆围成． （1）当矩形区域的面积为时，通过计算给出设计方案． （2）矩形区域的面积能达到吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请通过计算说明理由． 【答案】（1）为6米，为8米 （2） 解：面积不能达到，理由如下： 依题意，设为米，则长为米， 根据题意，得：． 化简得：， ∴． 方程无实数根，面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再设为米，则长米，结合其中一边靠墙（墙长），其余三边用总长为20米的篱笆围成，矩形区域的面积为，进行列式计算，即可作答． （2）设为米，则长为米，结合矩形区域的面积为，再列式，故，根据，即可作答． 【小问1详解】 解：设为米，则长米， 根据题意，得：． 解得：． 当时，，不符合题意舍去． 答：为6米，为8米． 【小问2详解】 略 20. 某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图 说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端 说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 （1）利用组的测量数据，求出大树的高度； （2）利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】（1）大树的高度为8米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【小问1详解】 解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米； 【小问2详解】 解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米． 21. 阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“邻对等四边形”的研究报告 勤学小组 研究对象：邻对等四边形． 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有一组邻角相等且对角线相等的四边形叫做邻对等四边形． 如图1，在四边形中，，连接，，且，则四边形是一个邻对等四边形． 性质探究： 性质1：对角线相等，即． 性质2：有一组邻角相等，即． 性质3：在图1中，若，则与互补． 下面是性质3的探究过程： 如图2，延长至点，使得，连接． …… 任务： （1）根据邻对等四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是邻对等四边形的是________（从下列选项中选出两个）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （2）请你阅读上述报告，补全性质3的探究过程． （3）如图3，已知，，请你在图3中作一个邻对等四边形，使得点在的上方．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【答案】（1）AC （2）解：如图2，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与互补． （3）如图3，邻对等四边形即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、作一个角等于已知角的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据和等量代换即可得； （3）先根据作一个角等于已知角的尺规作图画出，再以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，则邻对等四边形即为所求． 【小问1详解】 解：∵矩形和正方形的四个内角都是直角，且对角线都相等， ∴矩形和正方形一定都是邻对等四边形， ∵菱形和平行四边形的对角线不一定相等， ∴菱形和平行四边形不一定是邻对等四边形， 故选：AC． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 初秋金风至，盛会今又临．8月21日至25日，第七届山西文化产业博览交易会在山西潇河国际会展中心成功举办，其中餐饮区的山西刀削面颇受游客们的喜爱．它中厚边薄，棱角分明，入口外滑内筋，软而不粘，越嚼越香． 素材1 据统计，某摊位面馆6月份的销售量为5000碗，8月份的销售量为7200碗； 素材2 6、7、8三个月的平均增长率为； 素材3 这个摊位一份刀削面成本价为10元，若每份卖16元，平均每天售出200份； 素材4 在销售过程中发现，如果降低单价，销量会增加．若价格每降低0.5元，平均每天多销售40份． 任务1 求出的值． 任务2 每份刀削面价格是多少元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 根据上述素材，解决任务1、任务2的问题． 【答案】任务1：的值为20%；任务2：每份刀削面价格是14或14.5元时，该摊位能实现每天1440元的利润 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键： （1）根据平均增长率公式列方程解答即可； （2）根据每份刀削面的利润乘以数量得到总利润1440元列方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得： 解得： 由题意可知，所以不符合题意舍去 答：月平均增长率为20%． 任务2：由素材4可得：每碗面的价格每降低0.5元，平均每天多销售40份 设每份刀削面降低元， 根据题意，得： 解得：， 当时，元， 当时，元． 答：每份刀削面价格是14或14.5元时，该摊位能实现每天1440元的利润． 23. 综合与探究 问题情境：已知矩形中，为射线上的动点（不与点重合），沿直线折叠该纸片，点落于点处．连接，展平纸片． （1）推理与计算：在研究过程中发现，动点运动过程中，某一时刻三点能共线（如图1），请求出的长． （2）猜想并证明：在动点运动过程中，当_____时，四边形为正方形？请写出证明过程． （3）拓展与延伸：在（2）得到的正方形记作正方形，点继续从点开始移动，发现图中始终是等腰三角形．连接（如图3），在点移动过程中，同学们发现也可能成为等腰三角形（如图4），当成为等腰三角形时直接写出的值． 【答案】（1）的长为1 （2） 解：当时，四边形是正方形． 证明：∵四边形是矩形， ， 由折叠得：， ∴， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，由折叠可得：，证明，在中，根据勾股定理求出，设，则，在 中，，根据勾股定理求解即可． （2）根据四边形是矩形，得出，由折叠得：，证明四边形是菱形，结合，即可证明． （3）根据（2）可得，由折叠可得：，分两种情况讨论：①当点P在线段上运动时，过点作交于点，交于点，则四边形是矩形，，再分，，分别画图求解即可；②当点P在的延长线上运动时，画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ， 由折叠可得：， 共线， ， 在中，，根据勾股定理得：， ， 设，则， 在 中，，根据勾股定理得：， ， 解得：， 答：的长为1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据（2）可得， 由折叠可得：， 分两种情况讨论：①当点P在线段上运动时， 过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形， ∴， 若，如图，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． ②当点P在的延长线上运动时， 若，如图，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，矩形的性质和判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质以及全等三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $