精品解析：辽宁省阜新市实验中学2025-2026学年九年级上学期限时作业数学试卷

九年级数学学科限时作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 3. 配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 1 D. 2 4. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）． A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 关于的一元二次方程的根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（ ） A. 15 B. 22 C. 28 D. 30 10. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则___________． 12. 某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 13. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，SABCD=8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______． 14. 如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝________时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 18. 在一次数学问题实践探究活动中，老师指导同学们做“频率估计概率”的探究实验，在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 64 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.64 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出一个球，记下颜色，放回袋子中，摇匀再摸出一球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，．求证：四边形是菱形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 21. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科限时作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为步，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设矩形田地的长为步，则宽为步，由矩形的面积长宽，即可得出关于的一元二次方程，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设矩形田地的长为 步，则宽为步， ∵一块矩形田地的面积为864平方步， 根据题意得：， 故选：A． 3. 配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（ ） A. 2024 B. 2025 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，将2024移到方程的右边，然后方程左右两边同时加上1，则方程左边变成了完全平方式，方程右边即为所求的b的值． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 4. 若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）． A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．根据、、、是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出的值即可． 【详解】解：，，，成比例， ， ∵，，， ， ． 故选：C． 5. 如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，由题意可知：，再根据点坐标进而可以解决问题； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 由题意可知： ∵点的横坐标为 ∴点的横坐标为 ∵点在轴上 ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标特征；熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根有两个不相等的实数根得到，，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：A． 8. 关于的一元二次方程的根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 直接移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 9. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（ ） A. 15 B. 22 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 10. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F， 根据题意，得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴四边形的周长为． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握其性质． 根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 12. 某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，SABCD=8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______． 【答案】8cm． 【解析】 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．∵AC⊥BD，AC=BD，SABCD=8cm2，∴AC•BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm．故答案为8cm． 点睛：本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，DC＝14 cm，AD＝6 cm，点P从点A出发沿AB以4 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．设运动时间为t s，则t＝________时，P，Q两点之间的距离是10 cm． 【答案】##1.2## 【解析】 【分析】如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可． 【详解】解： 依题意得：点P从点A移动到点B 需要秒， 点Q从点C移动到点D需要14秒， 又∵两点同时出发，一点到达终点时另一点即停， ∴． 如图，过P点作，垂足为M点， ， ， 四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠D=∠PMD=∠APM=90°， ∴四边形ADMP也是矩形，(三个内角是直角) ， 在直角三角形PQM中， ，即 或（舍去） ∴时，P、Q两点之间的距离是10cm． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和用平方根的定义解方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 17. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 18. 在一次数学问题实践探究活动中，老师指导同学们做“频率估计概率”的探究实验，在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 64 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.64 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出一个球，记下颜色，放回袋子中，摇匀再摸出一球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1）0.6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可； （2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6， 故答案为：0.6． 【小问2详解】 解：从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下： 黑 白 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有16种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，是解决问题的关键． 根据四边形是平行四边形，得到，结合，，得到，得到，即得平行四边形是菱形． 【详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 21. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； （2）2.4． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $