第48讲 带电粒子在磁场中的运动（复习讲义）（北京专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第48讲 带电粒子在磁场中的运动 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 5 考点一 洛伦兹力的理解和应用 5 知识点1 洛伦兹力的大小和方向 5 知识点2 洛伦兹力与静电力的比较 5 知识点3 洛伦兹力作用下带电体的运动 6 考向 洛伦兹力的理解和应用 6 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 8 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 8 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 10 考向1 带电粒子在匀强磁场中的运动 11 考向2 直线和平行边界 14 考向3 圆形边界 17 考向4 三角形或多边形边界 20 考点三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 22 知识点1 常见的几种求极值问题 22 知识点2 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 23 考向 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 23 考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 26 知识点1 多解的形成原因 26 知识点2 处理多解问题的解题技巧 27 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 27 考向2 磁场方向不确定形成多解 31 考向3 临界状态不唯一形成多解 37 考向4 运动的周期性形成多解 41 04 真题溯源·考向感知 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 洛伦兹力 选择题 非选择题 \ \ \ 带电粒子在匀强磁场中的运动 选择题 非选择题 北京T18 \ \ 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题和多解问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考对洛伦兹力的单独考查不是太频繁，大多在计算题中带电粒子在磁场中运动的综合性问题中应用。高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。 命题情境： 生活实践类：生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等 学习探究类：通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动 复习目标： 目标一：掌握洛伦兹力的大小和方向的判断方法；会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。 目标二：学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。 目标三：学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。 目标四：会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。 考点一 洛伦兹力的理解和应用 知识点1 洛伦兹力的大小和方向 1.洛伦兹力的定义：磁场对 的作用力叫洛伦兹力。 2.洛伦兹力的方向 （1）判定方法：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向 运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的 在磁场中所受洛伦兹力的方向。 （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于 所决定的平面（注意B和v可以有任意夹角）。 由于F始终 v的方向，故洛伦兹力永不做功。 3.洛伦兹力的大小：F= ，其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。 （1）当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F= 。 （2）当电荷运动方向与磁场方向平行时，F= 。 4.洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1） 是 的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。 （2） 可以做功，而 对运动电荷不做功。 注意：洛伦兹力的分力可能对运动电荷做功。 5.洛伦兹力的理解 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。 （4）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 知识点2 洛伦兹力与静电力的比较 项目 洛伦兹力 静电力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在静电场中 大小 F=qvB（v⊥B） F=qE 力方向与场方向的关系 一定是F⊥B，F⊥v，且与电荷电性有关 正电荷受力方向与电场强度方向相同，负电荷受力方向与电场强度方向相反 做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功 力为零时 场的情况 F为零，B不一定为零 F为零，E一定为零 作用效果 只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动速度的大小，也可以改变电荷运动的方向 知识点3 洛伦兹力作用下带电体的运动 带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随之变化，若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面。 考向 洛伦兹力的理解和应用 例1（2025·安徽合肥·二模）如图所示，带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，关于小球在磁场中运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动 B．洛伦兹力对小球不做功 C．小球的速度保持不变 D．小球的机械能保持不变 【变式训练1】（2025·河南安阳·一模）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，将带负电、电荷量，质量的滑块放在小车的左端，小车的质量，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数，它们所在空间存在磁感应强度的垂直于纸面向里的匀强磁场。开始时小车和滑块静止，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 B．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 C．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 D．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 【变式训练2】（2024·吉林长春·模拟预测）地球的磁场是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着能量很高的太阳风粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的人类和动植物。地球北极的磁场是沿竖直轴对称的非均匀磁场，如图所示为某带电粒子在从弱磁场区向强磁场区前进时做螺线运动的示意图，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（    ） A．该带电粒子带正电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变 C．带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离一直保持不变 D．带电粒子每旋转一周的时间变小 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做 运动。 2.带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做 运动。 3.做匀速圆周运动的基本公式 （1）向心力来源：qvB= ； （2）轨道半径公式：r=； （3）周期公式：T= _____________。 4.带电粒子在匀强磁场中运动的解题思路 （1）圆心的确定 圆心的确定 基本思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 图例 说明 P、M点速度垂线的交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点 S点的速度垂线与切点法线的交点 （2）半径和运动时间的确定和计算 半径的确定 时间的确定 基本思路 利用平面几何知识求半径 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间t=·T 图例 说明 常用解三角形法，（如图）R=或由R2=L2+（R-d）2求得R= （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ<180°，φ=2α；若φ>180°，φ=360°-2α 5.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在临界条件 圆形边界 径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，粒子沿圆形磁场半径方向射入，必沿径向射出，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 等角进出：粒子不沿圆形磁场半径方向射入，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ，如图2所示 点入平出（磁发散）：粒子从同一点射入磁场，且粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，射出方向平行，如图3所示。 平入点出（磁聚焦）：粒子以相互平行的速度射入磁场，且粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则从同一点射出，如图4所示 三角形边界 由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图所示。解答该类问题的关键是出射点的判断，其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置 2.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。 （3）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。 考向1 带电粒子在匀强磁场中的运动 例1 （2025·北京丰台·一模）地磁场可以阻挡能量很高的太阳风粒子到达地球表面。地球北极附近的磁场如图所示，某带电粒子从弱磁场区向强磁场区前进时做螺旋线运动，不计粒子的重力和一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中粒子的速率逐渐减小 C．粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离不变 D．粒子有可能从强磁场区域返回到弱磁场区域 【变式训练1】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 【变式训练2】（2025·北京大兴·三模）如图1，在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系，空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为、带电量为的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿轴正方向照射，垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标随时间的变化曲线如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．投影做的是简谐运动，其振幅为 B．时间内，投影的速度逐渐增大 C．磁感应强度大小为 D．投影的速度最大值为 考向2 直线和平行边界 例2 （2025·北京朝阳·二模）在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻质软导线的P端固定，M端可以自由移动。当导线中通过电流强度I时，在M端施加沿导线的水平恒力F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量为q的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹半径与导线形成的圆弧半径相同。磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F C．粒子的动量大小为 D．粒子的轨道半径为 【变式训练1】（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 【变式训练2】（2024·北京朝阳·二模）一个电子以某速度从a点出发，通过两个方向垂直纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点，路径如图所示，电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是（　　） A．两个磁场的方向相同 B．电子在区域Ⅰ中运动的时间较长 C．电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点 D．质子以与电子大小相同的动量从b点反向出发可到达a点 考向3 圆形边界 例3 （2025·北京西城·三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【变式训练1】（2025·河南·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【变式训练2】（2025·湖北·三模）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC为该圆形区域的水平直径，O为圆心。一带正电微粒从A点沿与AC成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是（　　） A．若微粒从圆形磁场边界上的D点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为 B．若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为 C．若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D．若将AC下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 考向4 三角形或多边形边界 例4 （2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【变式训练1】 （24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）如图所示，在实线以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边界点有一粒子源，能射出质量为、电荷量为+的带电粒子，粒子以不同的速率垂直向上进入磁场，若粒子从边界射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间最短是 B．粒子在磁场中运动的时间最长是 C．粒子的速率可能是 D．粒子的速率可能是 D．由前面分析知D正确。故选D。 考点三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 知识点1 常见的几种求极值问题 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1.临界条件 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.几种常见的求极值问题 （1）时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 （2）磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 知识点2 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 1．通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2．寻找临界点常用的结论 ①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 ②当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ③当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 ④在圆形匀强磁场中，若运动轨迹圆半径大于区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦中直径最长）。 （3）数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”和“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”和“二次方程的判别式”等求极值。 考向 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 例1（2025·四川·三模）如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，、，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为d B．从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d C．匀强电场的场强大小为 D．粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 【变式训练1】（2025·江西萍乡·三模）如图，空间中一半径为R的圆形区域（包括边界）内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子做圆周运动的半径为 B．粒子的初速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 知识点1 多解的形成原因 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面： 类型 多解原因 图例 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 知识点2 处理多解问题的解题技巧 1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 例1 如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练1】如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【变式训练2】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 考向2 磁场方向不确定形成多解 例2（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 【变式训练2】（2023·湖北·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 考向3 临界状态不唯一形成多解 例3 （2025·山西临汾·二模）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·河北·模拟预测）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·陕西·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 考向4 运动的周期性形成多解 例4 如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则质子的速度可能为（ABD） A. B. C. D. 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 1．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 2．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 3．（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 5．（2024·浙江·高考真题）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $厂洛伦力定义：登场对 的作用力洛伦益力. )流生售A惠年手裙中出数心人入井时 一F 其中为电荷运动方向与猛还方向之可的夹角。 海伦力的大小 )当纯待动方向与磁场方向直时，F 〔2)当电腾远动方向与磁场方向平行时，F年 是 的宏现表，二者性历相同。部是建场力 21 可以姓功。而 对运动电荷不做功， 洛伦兹力 洛伦力的理解 (2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦拉力的方虎也随之变化。 ()用左手定则判断负电在场中远动所受的洛伦力的方向封，要注使四能向电荷近动的反方向， 〔4)运动电简在证场中不一定受老伦荭力作用. ·洛伦技力与静电力的比拉 儿洛伦力作用下带电的运动 花电生肤适，方西造大名份莲士2大含保先水生整变 1在与磁场中，当带电拉子平行于场方内运动时，粒于 运动 2带电松子U款压直宣场方内射入成查强度方的的程指场中，者只受洛伦拉力，则带电发子在与发场直的平百内微 带电控子在匀强磁场中的运动 厂()向心力未源： (2)轨道半径公式： (3)质用公式： 节电粒子在有界匀强磁场中的运动 基础知识必备 刚好穿出穿不出场边界的条件是带电粒子在能场中运动的与边界帽幻 ，定时，亚长长墨心角大佛电子在有界理中运 (1)时可极值一 :公风出光大于 几种常见的求极值问 母时：长量长蛋，入射点能入脑和出制声连线与边看直 带电控子在赋场中运动的临界、授值问题· 2)磁场区面积 台程7器出2 震整品黑器 找临常用的站论 可是拉中运动 都盒特老品和产器李 一带电子在匀洲场中云动的多解问 多解的形成点因 带电粒子在磁场 厂高ee用 中的运动 带吨拉子在匀中的话动 直线平行边界 形边 必考题型归纳 三角形成多边形边界 带比拉子电性不供定形成多解 ,磁场方向不滑定形成多解 L不一形多州 厂带电子在匀场中运动的解甲客 露 方法技巧与解盟思 电粒子在场中匀速区周运动的分析方法一 一 厂1，分析目特点，确定题目多根彩成的原因。 一处理多架间的 2作出粒子运动迹示墨（全圆考多种可能。 3若为周期性的多精问影，注意司栈通项式，若是出可几解的可能性，注意每种解士讯的条作， ,带电粒子在场中运立时。一定受型伦力的作用 一易错易混十 ,⑧若带电粒子轻过道场中某点时所受岩伦植力为零，则咳点的园感应强度一定为零， 一○洛伦线力对运动电荷一定不边 常见错误与注意事项 一洛伦兹力的分力可能过运动电何做功 一四个高：分是入射点出射点封迹心和入射直战与出速直的文点 一注意事项 在防在直线.入点与出时的连线，心与两所在直胶 三个角：度能角、属心角切角。其中信角等于心用，也等于弦的简 第48讲 带电粒子在磁场中的运动 目录 01 考情解码·命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 5 考点一 洛伦兹力的理解和应用 5 知识点1 洛伦兹力的大小和方向 5 知识点2 洛伦兹力与静电力的比较 5 知识点3 洛伦兹力作用下带电体的运动 6 考向 洛伦兹力的理解和应用 6 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 8 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 8 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 10 考向1 带电粒子在匀强磁场中的运动 11 考向2 直线和平行边界 14 考向3 圆形边界 17 考向4 三角形或多边形边界 20 考点三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 22 知识点1 常见的几种求极值问题 22 知识点2 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 23 考向 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 23 考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 26 知识点1 多解的形成原因 26 知识点2 处理多解问题的解题技巧 27 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 27 考向2 磁场方向不确定形成多解 31 考向3 临界状态不唯一形成多解 37 考向4 运动的周期性形成多解 41 04 真题溯源·考向感知 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 洛伦兹力 选择题 非选择题 \ \ \ 带电粒子在匀强磁场中的运动 选择题 非选择题 北京T18 \ \ 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题和多解问题 选择题 非选择题 \ \ \ 考情分析： 高考对洛伦兹力的单独考查不是太频繁，大多在计算题中带电粒子在磁场中运动的综合性问题中应用。高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题中出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。 命题情境： 生活实践类：生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等 学习探究类：通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动 复习目标： 目标一：掌握洛伦兹力的大小和方向的判断方法；会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。 目标二：学会分析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。 目标三：学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。 目标四：会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维分析综合能力。 考点一 洛伦兹力的理解和应用 知识点1 洛伦兹力的大小和方向 1.洛伦兹力的定义：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2.洛伦兹力的方向 （1）判定方法：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。 （2）方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v所决定的平面（注意B和v可以有任意夹角）。 由于F始终垂直于v的方向，故洛伦兹力永不做功。 3.洛伦兹力的大小：F=qvBsin θ，其中θ为电荷运动方向与磁场方向之间的夹角。 （1）当电荷运动方向与磁场方向垂直时，F=qvB。 （2）当电荷运动方向与磁场方向平行时，F=0。 4.洛伦兹力与安培力的联系及区别 （1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。 （2）安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。 注意：洛伦兹力的分力可能对运动电荷做功。 5.洛伦兹力的理解 （1）洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。 （2）当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。 （3）用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。 （4）运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。 知识点2 洛伦兹力与静电力的比较 项目 洛伦兹力 静电力 产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在静电场中 大小 F=qvB（v⊥B） F=qE 力方向与场方向的关系 一定是F⊥B，F⊥v，且与电荷电性有关 正电荷受力方向与电场强度方向相同，负电荷受力方向与电场强度方向相反 做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功 力为零时 场的情况 F为零，B不一定为零 F为零，E一定为零 作用效果 只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动速度的大小，也可以改变电荷运动的方向 知识点3 洛伦兹力作用下带电体的运动 带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随之变化，若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化，最后若弹力减小到0，带电体离开接触面。 考向 洛伦兹力的理解和应用 例1（2025·安徽合肥·二模）如图所示，带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，关于小球在磁场中运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球做圆周运动 B．洛伦兹力对小球不做功 C．小球的速度保持不变 D．小球的机械能保持不变 【答案】BD 【解析】A．带负电的小球由静止释放，一段时间后进入垂直纸面向里的匀强磁场中，所以小球受重力和洛伦兹力作用，速度方向与合力方向夹角不是，故小球做曲线运动，故A错误； BD．洛伦兹力方向与速度方向垂直，故洛伦兹力对小球不做功，故重力作用下，小球机械能保持不变，故BD正确； C．小球在重力与洛伦兹力作用下，小球的速度发生变化，故C错误。故选BD。 【变式训练1】（2025·河南安阳·一模）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，将带负电、电荷量，质量的滑块放在小车的左端，小车的质量，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数，它们所在空间存在磁感应强度的垂直于纸面向里的匀强磁场。开始时小车和滑块静止，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 B．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 C．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 D．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块因摩擦产生的热量为 【答案】AD 【解析】滑块有两种稳态可能，一种是分离，一种是共速。假设分离时滑块和小车恰好共速有， 可得 当时，稳态为共速，当时，稳态为分离。 AB．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块稳态为共速，有 根据能量守恒得 求得 故A正确，B错误； CD．若给小车一个向左的冲量，则小车与滑块稳态为分离，有 根据动量守恒有 根据能量守恒得 求得 故D正确，C错误。故选AD。 【变式训练2】（2024·吉林长春·模拟预测）地球的磁场是保护地球的一道天然屏障，它阻挡着能量很高的太阳风粒子直接到达地球表面，从而保护了地球上的人类和动植物。地球北极的磁场是沿竖直轴对称的非均匀磁场，如图所示为某带电粒子在从弱磁场区向强磁场区前进时做螺线运动的示意图，不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（    ） A．该带电粒子带正电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变 C．带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离一直保持不变 D．带电粒子每旋转一周的时间变小 【答案】ABD 【解析】A．由左手定则可知，该带电粒子带正电，故A正确； B．因洛伦兹力对带电粒子不做功，则从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变，故B正确； CD．根据洛伦兹力提供向心力 带电粒子每旋转一周的时间为 可知随着磁场的增强，粒子运动半径逐渐减小，带电粒子每旋转一周的时间变小，带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离为 故带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离减小，故C错误，D正确。故选ABD。 考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 知识点1 带电粒子在匀强磁场中的运动 1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。 2.带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。 3.做匀速圆周运动的基本公式 （1）向心力来源：qvB=m； （2）轨道半径公式：r=； （3）周期公式：T=。 4.带电粒子在匀强磁场中运动的解题思路 （1）圆心的确定 圆心的确定 基本思路 （1）与速度方向垂直的直线过圆心。 （2）弦的垂直平分线过圆心。 （3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 图例 说明 P、M点速度垂线的交点 P点速度垂线与弦的垂直平分线的交点 S点的速度垂线与切点法线的交点 （2）半径和运动时间的确定和计算 半径的确定 时间的确定 基本思路 利用平面几何知识求半径 利用轨迹长度L或对应圆心角θ求时间t=·T 图例 说明 常用解三角形法，（如图）R=或由R2=L2+（R-d）2求得R= （1）速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ。 （2）偏转角φ与弦切角α的关系：若φ<180°，φ=2α；若φ>180°，φ=360°-2α 5.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法 知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.几种常见磁场边界运动分析 种类 图形 特点 直线边界 进出磁场具有对称性 平行边界 存在临界条件 圆形边界 径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，粒子沿圆形磁场半径方向射入，必沿径向射出，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 等角进出：粒子不沿圆形磁场半径方向射入，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ，如图2所示 点入平出（磁发散）：粒子从同一点射入磁场，且粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，射出方向平行，如图3所示。 平入点出（磁聚焦）：粒子以相互平行的速度射入磁场，且粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则从同一点射出，如图4所示 三角形边界 由于三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图所示。解答该类问题的关键是出射点的判断，其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置 2.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题 （1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。 （2）六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的对角线。 （3）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。 考向1 带电粒子在匀强磁场中的运动 例1 （2025·北京丰台·一模）地磁场可以阻挡能量很高的太阳风粒子到达地球表面。地球北极附近的磁场如图所示，某带电粒子从弱磁场区向强磁场区前进时做螺旋线运动，不计粒子的重力和一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．从弱磁场区到强磁场区的过程中粒子的速率逐渐减小 C．粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离不变 D．粒子有可能从强磁场区域返回到弱磁场区域 【答案】D 【解析】A．由左手定则可知，该带电粒子带正电，故A错误； B．因洛伦兹力对带电粒子不做功，则从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变，故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 带电粒子每旋转一周的时间为 可知随着磁场的增强，粒子运动半径逐渐减小，带电粒子每旋转一周的时间变小，带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离为 故带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离减小，故C错误； D．若粒子的速度方向与磁场方向不垂直，则一段时间后该带电粒子可能会从强磁场区到弱磁场区做螺线运动，故D正确。故选D。 【变式训练1】（2024·北京海淀·三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中a、b、c、d、e是从O点发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（　　） A．d、e都是正电子的径迹 B．a径迹对应的粒子动量最大 C．b径迹对应的粒子动能最大 D．a径迹对应的粒子运动时间最长 【答案】D 【解析】A．带电粒子在垂直于纸面向外的磁场中运动，根据左手定则可知a、b、c都是正电子的径迹，d、e都是负电子的径迹，A错误； B．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 由图可知a径迹对应的粒子的运动半径最小，a径迹对应的粒子的速度最小，根据 可知a径迹对应的粒子动量最小，B错误； C．根据 可知 即b径迹对应的粒子动能不是最大的，C错误； D．带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有 ， 则 所以 粒子在磁场中的运动时间 其中为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知a径迹对应的偏转角度最大，则a径迹对应的粒子运动时间最长，D正确。故选D。 【变式训练2】（2025·北京大兴·三模）如图1，在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系，空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为、带电量为的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿轴正方向照射，垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标随时间的变化曲线如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．投影做的是简谐运动，其振幅为 B．时间内，投影的速度逐渐增大 C．磁感应强度大小为 D．投影的速度最大值为 【答案】D 【解析】A．振幅A是投影偏离平衡位置的最大距离。由图 2，最大 最小 平衡位置 则振幅，A错误； B．时间内，投影图像斜率绝对值减小（斜率表示速度 ），故投影速度逐渐减小，B错误； C．小球做圆周运动的周期T等于投影简谐运动的周期。由图 2可知 得 由洛伦兹力提供向心力 且圆周运动周期 得，C错误； D．简谐运动最大速度，D正确。故选D。 考向2 直线和平行边界 例2 （2025·北京朝阳·二模）在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻质软导线的P端固定，M端可以自由移动。当导线中通过电流强度I时，在M端施加沿导线的水平恒力F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量为q的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹半径与导线形成的圆弧半径相同。磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F C．粒子的动量大小为 D．粒子的轨道半径为 【答案】C 【解析】A．根据左手定则，粒子带负电，A错误； B．设PM弦长为L，弦切角为α，则圆心角为2α，圆弧导线受到的安培力等效直导线受到的安培力，，  ，解得 恒力F与导线长度无关，若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，水平恒力F不变，B错误； C．根据牛顿第二定律得 ，解得粒子的动量大小为，C正确； D．根据，解得粒子的轨道半径为，D错误。故选C。 【变式训练1】（2025·北京海淀·一模）如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子（　　） A．在磁场中运动轨迹的半径不同 B．在磁场中运动的时间不同 C．射出磁场时的速度方向不同 D．射出位置到射入位置的距离不同 【答案】B 【解析】AC．由 可得 故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同。如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧 射出磁场时的速度方向相同，故AC错误； B．粒子在磁场中运动周期 若粒子带负电荷，在磁场中运动的时间 若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间 故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确； D．由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于 故D错误。故选B。 【变式训练2】（2024·北京朝阳·二模）一个电子以某速度从a点出发，通过两个方向垂直纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点，路径如图所示，电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是（　　） A．两个磁场的方向相同 B．电子在区域Ⅰ中运动的时间较长 C．电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点 D．质子以与电子大小相同的动量从b点反向出发可到达a点 【答案】D 【解析】A.由左手定则知区域Ⅰ磁场方向垂直纸面向里，区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B.洛伦兹力不做功，所以电子在两磁场运动速度大小相等，由洛伦兹力提供向心力有 解得 由图可知，电子在区域Ⅱ磁场的半径较大，则区域Ⅱ磁场磁感应强度较小，又有 得 可知，电子在区域Ⅱ磁场运动的周期较大，因为电子在两磁场区域都是运动半圆，所以时间都为 可知，电子在区域Ⅱ磁场运动的时间较长，故B错误； C.电子以相同的速度大小从b点反向出发，经过区域Ⅱ时由左手定则知受到的洛伦兹力向下，所以电子不能返回a点，故C错误； D.质子与电子的电荷量相等，若质子以与电子大小相同的动量进入磁场，由 得 可知它们在磁场运动的半径相等，所以质子从b点反向出发可到达a点。故D正确。故选D。 考向3 圆形边界 例3 （2025·北京西城·三模）如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷量大小也相等的带电粒子a和b，先后以不同的速率从圆边沿的A点对准圆形区域的圆心O射入圆形磁场区域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，下列说法中正确的是（　　） A．b粒子在磁场中做圆周运动的周期较大 B．穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长 C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a做功较多 D．射入圆形磁场区域时a粒子的速率较大 【答案】B 【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得， 由于带电粒子a和b质量相等、所带电荷量大小也相等，则两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故A错误； B．令粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角为，则粒子在磁场中运动时间 根据图示可知，a粒子圆周运动轨迹对应圆心角大于b粒子圆周运动轨迹对应圆心角。则穿过磁场区域的过程a粒子运动的时间较长，故B正确； C．洛伦兹力方向始终垂直于粒子运动速度的方向，可知，洛伦兹力始终不做功，故C错误； D．根据图示可知，a粒子圆周运动的半径小于b粒子圆周运动的半径，结合上述可知，射入圆形磁场区域时a粒子的速率较小，故D错误。故选B。 【变式训练1】（2025·河南·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束由相同带电粒子组成的粒子流，以相同的速度从左侧射入圆形区域内，所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，C点在圆心O的正下方。已知磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷为k，粒子流宽度为，该粒子流可整体上下移动，且入射方向及其宽度都不改变，并全部汇聚于C点，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电 B．带电粒子的入射速度大小为kBR C．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 D．该粒子流在磁场中能到达的区域面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A．带电粒子往下偏转，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A正确； B．所有粒子恰能全部汇聚于圆周上的C点，作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，图中四边形为菱形，则粒子在磁场中运动轨迹的半径等于区域圆的半径，则有 解得，故B正确； CD．当粒子流按如上图所示的方式入射时，所经过区域面积最小，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式训练2】（2025·湖北·三模）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC为该圆形区域的水平直径，O为圆心。一带正电微粒从A点沿与AC成α=30°角的方向射入磁场区域，已知带电微粒比荷大小为，不计微粒重力，下列说法正确的是（　　） A．若微粒从圆形磁场边界上的D点离开，∠AOD=120°，则入射速度大小为 B．若微粒在磁场中运动的位移最大，微粒入射速度大小为 C．若入射微粒速度大小可调节，微粒在磁场中运动的时间可能为 D．若将AC下方半圆形区域磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，则微粒在磁场中运动位移最大时，入射速度大小可能为 【答案】BD 【解析】A.如图所示 连接A、D，过磁场圆圆心O作AD连线的垂线，再过A点作速度的垂线，两垂线的交点即为轨迹圆的圆心，由几何知识可知，刚好在圆形磁场区域的边界上，且D水平，故微粒从D点离开时对应轨道半径 由 解得 A错误； B.微粒在磁场中运动的位移最大对应为圆的直径，轨道半径 微粒入射速度大小为，B正确； C.只改变入射微粒速度大小，微粒在磁场中运动的轨道对应的圆心角一定小于时间小于，C错误； D．若将AC下方磁场方向改为垂直纸面向里，磁感应强度大小仍为B，运动位移最大的出射点仍为C点，对应的半径满足，则对应微粒速度=1，2，3，……），D正确； 故选BD。 考向4 三角形或多边形边界 例4 （2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动 【解析】A．因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的夹角均为，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为，电子在磁场中运动周期是相同的，由 可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错误； B．由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据洛伦兹力提供向心力，有 可得电子在磁场中运动轨迹半径 即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B正确； C．电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力 解得 故C正确； D．从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°，动量变化量大小为，因速度不同，动量变化量不同，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】 （24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）如图所示，在实线以上的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场边界点有一粒子源，能射出质量为、电荷量为+的带电粒子，粒子以不同的速率垂直向上进入磁场，若粒子从边界射出磁场，则下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间最短是 B．粒子在磁场中运动的时间最长是 C．粒子的速率可能是 D．粒子的速率可能是 【答案】D 【解析】A．如图所示 带电粒子从C点或D点射出磁场时，运动时间最短，有 由 解得，A错误； B．如图所示 带电粒子运动轨迹与OD相切，从OC边界射出磁场时，运动时间最长 设若粒子从切点F射出 有 解得 但粒子经过F点后，还要继续运动，从OC边射出，则，B错误； C．若粒子从C射出，有 解得 若粒子从D射出，有 解得 故，C错误； D．由前面分析知D正确。故选D。 考点三 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 知识点1 常见的几种求极值问题 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1.临界条件 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.几种常见的求极值问题 （1）时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 （2）磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 知识点2 解决带电粒子在磁场中的临界、极值问题的关键 1．通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2．寻找临界点常用的结论 ①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 ②当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ③当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 ④在圆形匀强磁场中，若运动轨迹圆半径大于区域圆半径，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有的弦中直径最长）。 （3）数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”和“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”和“二次方程的判别式”等求极值。 考向 带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 例1（2025·四川·三模）如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，、，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为d B．从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d C．匀强电场的场强大小为 D．粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 【答案】AC 【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 故A正确； B．由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长，由图可知 由几何关系可知 最短的弧长即最短路程为 故B错误； C．粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，根据动能定理可得 解得 故C正确； D．粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域，根据， 解得 在磁场中，运动时间为 在电场中，根据牛顿第二定律 根据运动学公式 解得 返回磁场之后，粒子在洛伦兹力作用下向右偏转，由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为，然后从边飞出abcd区域，则运动时间为 则粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 故D错误。故选AC。 【变式训练1】（2025·江西萍乡·三模）如图，空间中一半径为R的圆形区域（包括边界）内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子做圆周运动的半径为 B．粒子的初速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最短时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【解析】AB．由几何关系可知粒子圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子的初速度大小为 故A错误，B正确； CD．如图所示 由C点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有 粒子做圆周运动的周期为 粒子运动的最短时间 同理，由D点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为 故C错误，D正确。故选BD。 考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 知识点1 多解的形成原因 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面： 类型 多解原因 图例 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 知识点2 处理多解问题的解题技巧 1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 考向1 带电粒子电性不确定形成多解 例1 如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【变式训练1】如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】BCD 【解析】AC．若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，设轨迹半径为，运动轨迹如下图所示 由图中几何关系可得 解得 由洛伦兹力充当向心力 解得 由动量定理得 A错误，C正确； B．若粒子的运动轨迹如下图所示 由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹最小，速度最小，由 解得 B正确； D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示 当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为 D正确。故选BCD。 【变式训练2】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 【答案】或者 【解析】当粒子带负电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点下边界射出，此时有最大速度，轨迹如下图 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 当粒子带正电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点上边界射出，此时有最大速度，轨迹图如下 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 考向2 磁场方向不确定形成多解 例2（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 【变式训练1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 【答案】CD 【解析】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 做匀速圆周运动的周期 联立两式得磁感应强度 选项A错误； BCD．要使正离子从N板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示 结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以 tmin=T0 此时离子做匀速圆周运动的半径为； 两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则 联立上式可得，正离子的速度 当n=1时 当n=2时 选项B错误，CD正确。故选CD。 【变式训练2】（2023·湖北·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】AD 【解析】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有 A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得 B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 C错误，D正确。故选AD。 考向3 临界状态不唯一形成多解 例3 （2025·山西临汾·二模）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据洛伦兹力提供向心力 可得 则在第Ⅰ象限内运动的半径为 在第Ⅳ象限内运动的半径为 设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有 解得， A，当时，n不为整数，故A错误； B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误； C，当时，，故C正确； D，当时，，故D正确。 故选CD。 【变式训练1】（2024·河北·模拟预测）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 【变式训练2】（2024·陕西·模拟预测）如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得 考向4 运动的周期性形成多解 例4 如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则质子的速度可能为（ABD） A. B. C. D. 【解析】质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示。 所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运动轨迹的半径为r=（n=1，2，3，…），质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得v=（n=1，2，3，…），故A、B、D正确，C错误。 【变式训练1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m（重力不计）、电荷量为的同种粒子，所有粒子均能经过MN上的b点从左侧磁场进入右侧磁场，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示 分析可知，由于粒子从b点从左侧磁场进入右侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动的圆弧数量必为偶数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为120°，根据几何关系可得粒子运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 A．当时，。符合条件，故A正确； B．当时，。不符合条件，故B错误； C．当时，。不符合条件，故C错误； D．当时，。不符合条件，故D错误。 故选A。 【变式训练2】（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】粒子可能的轨迹如图所示 由几何关系得 （n=1,2,3） 由牛顿第二定律得 解得 （n=1,2,3） n=1时 n=3时 粒子可以通过B点，故AC符合题意，BD不符合题意。故选AC。 1．（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【解析】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 2．（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 3．（2024·广西·高考真题）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子运动轨迹如图所示 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子做圆周运动的半径 根据几何关系可得P点至O点的距离 故选C。 4．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的运动轨迹可能经过O点 B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【答案】D 【解析】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误； C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图 则最短时间有 故C错误； D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示 设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力有 可得 故D正确。 故选D。 5．（2024·浙江·高考真题）如图所示，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为mv0cosƟ B．重力冲量大小为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【答案】CD 【解析】A．根据动量定理 故合力冲量大小为，故A错误； B．小球上滑的时间为 重力的冲量大小为 故B错误； C．小球所受洛伦兹力为 ， 随时间线性变化，故洛伦兹力冲量大小为 故C正确； D．若，0时刻小球所受洛伦兹力为 小球在垂直细杆方向所受合力为零，可得 即 则小球在整个减速过程的图像如图 图线与横轴围成的面积表示冲量可得弹力的冲量为零，故D正确。故选CD。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $厂洛伦力的定义：强场对动的作用力叫洛伦九 一洛伦力的方的 厂代"程惠金 一F=血鱼，中为电荷运动方向与磁场方向之问的夹角。 (们当电荷运动方向与壁方向直时，Fm 2当电何运动方肉与壁通方向平行时，F=0. 系双 洛伦兹力 洛伦弦力的解 ，(2)当电荷运动方岗发生变化时.溶伦廷力的方向也随之变化 (3)用左手定判婚负电在磁场中运动受的伦力的方向，婴注体指向电待运动的反方向】 (4)运动九骑在过场中不一定受光伦这力作用。 洛伦兹力与静电力的比款一 儿洛伦力作用下带礼体的运动 花实亮装时力受小化生女轮大小地会茶先水。大子 1在匀场中，当带电子平行于场方过时，子健空速直动 带电位子速度，市直证场方向射入型膝应强度方的匀班猫场中，若只受海伦拉力，财带电粒子在与速场年直的平五内微 带电粮子在匀深磁场中的运动 厂)向心力来：9vB=m号： 本公士 (2)教通径公式：=微 L3)两期公式：T=溜 带电粒子在有界匀强磁场中的运动一几种常见磁场边界运动分析 基础知识必备 一在界泉件一 得好穿出不出好边界的条件是带电子在场中运动的轨迹与边界相切， 定时，长酸长长或圆心角大，电子在有界场中活动的时 1)时问极佰 几种常见的求极值 间：亚长最汤致长超.入制点定，人射点和出制点线与边界垂直。 带电拉子在磁场中远动的临界、极值问题 (2)场区域面积级信一 -意签品 翠部高品 ,决带电粒子在猫场中的临界、极值问题的关辑 利物有的食日产条等 @ 带电控子在匀强磁场中运动的多解可 多的形成原因 带电粒子在磁场 厂伦益力的和应用 中的远动 带电粒子在匀磁中的运动 一直线和平行边界 必考驱型归纳 三角形变多功功用 拉子在匀中运动的界值间 电拉子电性不造宁形应多树 盘场方向不确定形成多解 临界态不啡一形成多解 厂带电子在匀场中运动的别 ④ 方法技巧与解题思路 带电拉子在磁场中含匀注置周运动的分析方法一 一1分析服目特点，被定领目多解形成版因， 2作出粒子运动机示圆全西移可 ,3若为周期性的多样问议，注意得忧通功式，若是出江几精的可能性，注意海种解出现的条件， 神子在速场中运动时，一定餐到溶伦力的作用 一错混 ,若带电子经过中点时所受洛伦我力为零，点的世感应强度一定为零， L○洛伦益力对动纯游一定不做功. 常见错误与注意项 一洛伦技力的分力可时运动电芍档功， 因个：分是入射出射点.圆心和入射速夏直线与士射速度直的交 注启事项 经构营透入所和师在自线，入村点与出射的连线，圆心与两条速座所在直装交点的 L三个角：速特角、圆心角幻角，其中转角等于心用，也等于弦切角的河