江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级上学期数学期中模拟试卷

江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级上学期 数学期中模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D.选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．掌握相关定义是解答本题的关键． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选：． 根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法，完全平方公式，进行判断即可． 本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． 3.如图，≌，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】A  【解析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据全等三角形的性质得出，再求出即可． 解：≌，， ． ， ． 故选：． 4.如图，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先在的垂线上取两点，，使，再过点作的垂线，使点，，在同一条直线上，此时≌，所以测量出的长就是的长这里判定≌的依据是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，由题意可知，，，， ≌， 故选：． 根据题意可知，，，从而推出结论． 本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 5.如图，在中，，，交于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 在含的中，， ． 故选：． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 6.如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，因此选项B符合题意； 图乙整体上是边长为的正方形，因此面积为，图乙中阴影部分的面积为，即， ，因此选项D不符合题意； 由，可得，，可得， ，因此选项A不符合题意； ，即， ，因此选项C不符合题意． 故选：． 根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景、完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 7.在中，作的平分线交于点，作的垂直平分线分别交于点，交于点，连接，，得到四边形若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设与相交于点，如图所示： 是的垂直平分线， ，，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 四边形的周长为：． 故选：． 设与相交于点，根据线段垂直平分线的性质得，，，再根据角平分线的定义得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，由此即可得出四边形的周长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 8.如图，坐标平面内一点，为原点，是轴上的一个动点，如果以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图， 以为圆心，为半径画弧，与轴有两个交点，， 以为圆心，长为半径画弧，交轴于，， 作中垂线，交轴于， 有个， 故选C． 9.如图，中，，，点为上一点，点为上一点，当有最小值时，为(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】C  【解析】解：如图，作出点关于的对称点，过点作，垂足为点，交于点，连接，此时有最小值， 由条件可知， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 作出点关于的对称点，过点作，垂足为点，交于点，连接，此时有最小值，由对称性质可得，得出，再由，，可得，可得出，再由，可得，从而求解即可． 本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟记轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键． 10.已知为实数，且，则之间的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式和整式的大小比较，利用作差法，相除法，倒数法等比较一些代数式的大小是解题关键．由，可得；联立，，可得出，由，得出和的大小关系，综合得出结果． 【解答】 解：， ， 由得：，即：， ， 可得， 综上可得，， 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则      ． 【答案】  【解析】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 本题考查的是关于、轴对称点的坐标特点，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】  【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， 此时不能组成三角形， 是底边长时，三角形的三边分别为、、， 此时能组成三角形， 所以周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长是． 故答案为：． 分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 13.如图，≌，的延长线经过点，交于，，，，则       【答案】  【解析】解：≌， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 利用全等三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质进行计算可得答案． 本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.若，则      ． 【答案】  【解析】解：， 原式， 故答案为：． 原式前两项利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15.对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”．例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为          ． 【答案】  【解析】当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：将展开得到多项式， 即，且， 当时，得：， ， 选择与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，，，，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为，，即个和， 选择与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项为， “换系数操作”的所有多项式的常数项和为： ， 故答案为：． 16.如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接当点落在边上时，的度数为      ；当线段的长度最小时，的度数为      ． 【答案】   【解析】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， 点在射线上运动， 如图，设交于点， 当时，的长最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 当点落在边上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出的度数；以为边向右作等边，连接利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，当时，的长最小，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论． 本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算： ； ． 【答案】解： ； ．  【解析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则、运算顺序是解决本题的关键． 利用积的乘方、同底数幂的乘除法法则计算即可； 利用单项式乘多项式法则、乘法的平方差公式计算即可． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． 在平面直角坐标系中画出及关于轴对称的图形； 已知为轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】   或  【解析】如图，及即为所求． 设点的坐标为， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或． 根据，，的坐标描点再连线可得，根据轴对称的性质作图可得． 设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 19.本小题分 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． 求证：； 若，求的度数． 【答案】(1)连接.垂直平分，.，.是的中点，.  (2)设.，.由三角形外角的性质，得.，.在中，，解得，.  【解析】 略  略 20.本小题分 填空：                                  猜想：          其中为正整数，且 利用猜想的结论计算：． 【答案】(1)-​​​​​​​ ;-  ;-  (2)-  (3)在公式(a-b)(+b++a+)=-中, ​​​​​​​取a=2,b=1,n=101,得(2-1)(+++++2+1)=-,++++++2+1=-1  【解析】 略  略  略 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴正半轴上一点，点满足下面两个条件：到两边的距离相等；． 利用尺规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹； 点的坐标为          ． 【答案】(1)解：如图所示，点P即为所求，∠AOC的平分线与AB的垂直平分线的交点即为点P．   (2)(2，2)  【解析】 略  略 22.本小题分 如图，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动若经过秒后同时停止． 若，，则与相等吗？请说明理由． 当与全等时，求点的运动速度． 【答案】． 理由如下： ，， 而， ， 在和中， ， ≌， ；  或  【解析】． 理由如下： ，， 而， ， 在和中， ， ≌， ； 设点的运动速度为，运动的时间为，则，，， ， 当，时，≌， 即，， 解得，； 当，时，≌， 即，， 解得，； 综上所述，点的运动速度为或． 先利用三角形外角性质证明，再证明≌，从而得到； 设点的运动速度为，运动的时间为，当，时，利用“”判断≌，即，，当，时，≌，即，，然后分别解方程组求出对应的的值即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 23.本小题分 阅读下面的材料： 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下列问题： 若满足，求的值． 已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形． ________，________用含的代数式表示 求阴影部分的面积． 【答案】(1)设5-x＝a，x-2＝b，则(5-x)(x-2)＝ab＝2， a+b＝(5-x)+(x-2)＝3， ​​​​​​​∴(5-x)2+(x-2)2＝a2+b2＝(a+b)2-2ab＝32-2×2＝5．  (2)①x-1  x-3  ​​​​​​​  ②由题意，得MF·DF＝48，即(x-1)(x-3)＝48．由题图可知，阴影部分的面积为MF2-DF2＝(x-1)2-(x-3)2． 设x-1＝a，x-3＝b， ​​​​​​​则(x-1)(x-3)＝ab＝48，a-b＝(x-1)-(x-3)＝2，∴(a+b)2＝(a-b)2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14．又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b＝14，∴(x-1)2-(x-3)2＝a2-b2＝(a+b)(a-b)＝14×2＝28， 即阴影部分的面积是28．  【解析】 略   由题意，得，，，． 24.本小题分 【尝试探究】如图，已知在正方形中四边相等，四个内角均为，点，分别在边，上运动，当时，探究，和的数量关系，并证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点，分别在边，上运动，且，试猜想中的结论还成立吗？并证明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边，于点，，连接，直接写出的周长． 【答案】(1)．证明略．  (2)结论仍然成立．证明略．  (3)16．  【解析】 略  略  略 25.本小题分 某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： 特殊情况，探索结论：如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：          填“”或“”或“”； 特例启发，解答题目：当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与大小关系，并完成解答过程； 总结方法，解决新题：在等边中，点在直线上，，点在直线上且不与、两点重合，且，若的边长为，直接写出的长． 【答案】(1)  (2)解：，理由如下： 如图， ​​​​​​​是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ；   (3)解：①如图，当在射线上时， 过作， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； ②如图，当在射线上时， 过作， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或．   【解析】  本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征； 由等边三角形的性质得，，由等腰三角形的性质得，即可求解； 【详解】解：是等边三角形， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：；   由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，解可求解；   当在射线上时，过作，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的特征得，当在射线上时，同理可求； 掌握等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 第11页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级上学期 数学期中模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，≌，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 不能确定 4.如图，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先在的垂线上取两点，，使，再过点作的垂线，使点，，在同一条直线上，此时≌，所以测量出的长就是的长这里判定≌的依据是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，交于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 6.如图，有两个正方形，，其边长分别表示为，现将放置在的内部得到图甲，将，并列放置，以正方形与正方形的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 7.在中，作的平分线交于点，作的垂直平分线分别交于点，交于点，连接，，得到四边形若，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，坐标平面内一点，为原点，是轴上的一个动点，如果以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，点为上一点，点为上一点，当有最小值时，为(    ) A. B. C. D. 不能确定 10.已知为实数，且，则之间的大小关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则      ． 12.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______． 13.如图，≌，的延长线经过点，交于，，，，则       14.若，则      ． 15.对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”．例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为          ． 16.如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接当点落在边上时，的度数为      ；当线段的长度最小时，的度数为      ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算： ； ． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． 在平面直角坐标系中画出及关于轴对称的图形； 已知为轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 19.本小题分 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． 求证：； 若，求的度数． 20.本小题分 填空：                                  猜想：          其中为正整数，且 利用猜想的结论计算：． 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴正半轴上一点，点满足下面两个条件：到两边的距离相等；． 利用尺规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹； 点的坐标为          ． 22.本小题分 如图，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动若经过秒后同时停止． 若，，则与相等吗？请说明理由． 当与全等时，求点的运动速度． 23.本小题分 阅读下面的材料： 若满足，求的值． 设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下列问题： 若满足，求的值． 已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形． ________，________用含的代数式表示 求阴影部分的面积． 24.本小题分【尝试探究】如图，已知在正方形中四边相等，四个内角均为，点，分别在边，上运动，当时，探究，和的数量关系，并证明； 【模型建立】如图，若将沿斜边翻折得到，且，点，分别在边，上运动，且，试猜想中的结论还成立吗？并证明； 【拓展应用】如图，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边，于点，，连接，直接写出的周长． 25.本小题分某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： 特殊情况，探索结论：如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：          填“”或“”或“”； 特例启发，解答题目：当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与大小关系，并完成解答过程； 总结方法，解决新题：在等边中，点在直线上，，点在直线上且不与、两点重合，且，若的边长为，直接写出的长． 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $