精品解析：江苏省南通市如皋市2024-2025学年八年级数学上学期期中试卷

2024～2025学年度第一学期八年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国传统窗棂设计美不胜收，古色古香的窗花代表中国古人的智慧以及精湛的工艺．下面窗棂的设计图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，根据同底数幂的乘除法；合并同类项的法则；幂的乘方运算进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 不是同类项，无法合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，点在线段上，若，则的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴ 故选：C． 4. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 6. 计算，若所得结果的一次项系数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算，多项式的项，次数，将代数式写成多项式的形式，根据的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵ ∵一次项系数为4， ∴ 解得： 故选：B． 7. 如图，点在的边上．小林同学进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②点是边上一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合），连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A B. C. 是等边三角形 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；根据作图可得，根据等边对等角可得，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】根据作图可得 ∴ ∴ ∴ ∴ 不能判断是等边三角形 故选：C． 8. 如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据折叠可得则，，设,得出，进根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形长方形， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数是． 故选：D． 9. 如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，延长，在其延长线上取点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出． 【详解】解：如图，延长，在其延长线上取点G，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11－12题每小题3分，第13－18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于x轴对称的点的坐标． 【详解】解：根据轴对称得，点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知是等腰三角形，，则的度数是_________． 【答案】40 【解析】 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 13. 如图，，则的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据角度和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，过点作，垂足为的面积是11，，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据的面积是11，，求得边上的高，进而根据得出的长，即可求解． 【详解】解：∵面积是11，，设边上的高为， ∴， ∵， ∴，边上的高与边上的高相等， ∴ 故答案为：． 15. 若，则_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及两个多项式相等的含义， 将等式左边利用完全平方公式展开，根据两个多项式相等，对应项的系数相等的条件求出m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 _____． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 17. 如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 18. 如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是_______． 【答案】120 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接，得出当三点共线，且时，最小，证明是等边三角形，得出，，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接， 根据对称可得， ∵ ∴ ∴ ∴当三点共线，且时，最小， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120． 【点睛】该题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）根据单项式的乘除法进行计算即可求解； （2）根据平方差公式，多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质， （1）根据已知有，即可利用判定结论； （2）根据全等的性质得，即可求得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∵， ∴． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． （1）作线段，使与关于直线对称； （2）在直线找一点，使的周长最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）根据轴对称的性质找到的对称点，连接，即可求解； （2）连接交于点，则点即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求 22. 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． （1）观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是________，； （2）计算：． 【答案】（1）；观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究； （1）根据规律即可求解． （2）根据（1）中的规律，原式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是 ∴ 【小问2详解】 解： 23. 如图，直线是线段的垂直平分线，点是直线上两点，连接，过点作的平行线分别交于点，点． （1）求证：； （2）求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据垂直平分线的性质可得，进而证明； （2）根据平行线的性质可得，则，根据（1）的结论可得，证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点是直线上两点， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是的中点． 24. 如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． （1）若，则；若，则； （2）如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，通过完全平方公公式进行计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）根据正方形与长方形的面积公式可得，进而得出；根据完全平方公式变形可得，进而即可求解． （2）根据题意可得即化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴， 若， ∴ ∴ 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵四边形的面积， 三角形面积 依题意， 即 ∴， ∴ ∴ 25. 如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． （1）求的度数； （2）当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； （3）连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） （2）图见解析，证明见解析 （3）的度数为或或或 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，设角求解的度数． （2）通过折叠性质得到线段和角的关系，结合等腰三角形判定证明 （3）分、、等情况，依据折叠性质和等腰三角形性质计算的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理以及图形折叠的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 26. 如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． （1）如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； （3）如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） （3）70度 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）由得到，从而证得，则，，由勾股定理得，再代入计算即可； （3）延长交于D，延长交于N，连接，先证明，得到，再证明，（三线合一），得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵点为中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交于D，延长交于N，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ∴，（三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期八年级期中学业质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国传统窗棂设计美不胜收，古色古香的窗花代表中国古人的智慧以及精湛的工艺．下面窗棂的设计图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在线段上，若，则的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 计算，若所得结果一次项系数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的边上．小林同学进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②点是边上一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合），连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 8. 如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 小红同学在解决问题“已知，求最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 二、填空题（本大题共8小题，第11－12题每小题3分，第13－18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是______． 12. 已知是等腰三角形，，则的度数是_________． 13. 如图，，则的度数是_________． 14. 如图，，过点作，垂足为的面积是11，，则的长是_________． 15. 若，则_________． 16. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 _____． 17. 如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 18. 如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动过程中，当取最小值时，的度数是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）， 20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． （1）作线段，使与关于直线对称； （2）在直线找一点，使的周长最小． 22. 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． （1）观察上图中的规律，填空：“★”表示的数是________，； （2）计算：． 23. 如图，直线是线段的垂直平分线，点是直线上两点，连接，过点作的平行线分别交于点，点． （1）求证：； （2）求证：是的中点． 24. 如图1，将边长为的两个正方形和两个边长分别为的长方形拼凑成如图2所示的大正方形．记四边形的面积分别为． （1）若，则；若，则； （2）如图3，连接交于点．若四边形的面积与三角形面积之差是的2倍，求的值． 25. 如图，在中，，平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． （1）求的度数； （2）当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； （3）连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 26. 如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． （1）如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； （3）如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $