第13章 微专题1 三角形中有关线段、角的综合（智汇课堂）-【宝典训练】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂（人教版2024）

高效课堂宝典训练数学八年级上册(R) 与它不相邻的两个内角的和 ·2.108°72°∠A+∠B 〔精讲精练 【例1】8012040 B D C 【例2】解：因为∠1=∠ABC+∠BCA, 答图1 答图2 ∠2=∠BAC+∠BCA, ②如答图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠3=∠BAC+∠ABC, ∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°， 所以∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠BAC+∠BCA), 综上所述，∠BAC的度数为90°或50° 因为∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°， 2.D 所以∠1+∠2+∠3=360°. 3.解：(1)因为(a-b)2十(b-c)2=0,(a-b)2≥0，(b-c)≥0， 【过关训练 所以a一b=0,b一c=0,所以a=b=c, 所以△ABC是等边三角形. 1.(1)110(2)652.B3.D4.B5.A (2)因为a=5,b=2,所以5-2<c<5十2，即3<c<7, 6.解：因为AB∥CD,∠A=50°， 又因为c为整数，所以c=4,5,6, 所以∠DFE=∠A=50° 所以当c=4时，△ABC的周长最小，最小值为5+2+4=11； 因为∠C=∠E,∠DFE=∠C+∠E, 当c=6时，△ABC的周长最大，最大值为5+2+6=13. 所以∠C=∠E=25°. 4.证明：如答图，连接PA,PB,PC 7.解：如答图，令AC,AD分别交BE 因为△ABC是等边三角形， 于点M,N对于△BDN,∠MNA= 所以AB=BC=AC. ∠B+∠D, B 因为SAABC=SAPAC十SAPBC+SAPAB, 对于△CEM,∠NMA=∠C+∠E, 对于△ANM,∠A+∠MNA+ 即2BC·AM=合AC·PE+ BC 2 ∠NMA=180°， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.答图 ·PF+2AB,PD, MF 所以AM=PE+PF+PD 答图 第6课时三角形的角习题课 5.解：设∠BAD=x,则∠DAC=∠C=2∠BAD=2x, 【新课学可】 ∠ABD=∠ADB=4x 2.180°∠A+∠B 因为∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°， 所以4x十4x十x=180°，解得x=20°， 〔精讲精练 所以∠DAC=2x=40°， 【例1】A【例2】234 因为BE⊥AC,所以∠AEF=90°， 【过关训练 所以∠AFE=90°-∠DAC=90°-40°=50°， 1.D2.C3.C4.C 所以∠BFD=∠AFE=50°. 5.(1)29 6.解：因为EC=2BE,所以SAACE:S△Be=2:1, 解：(2)因为∠BEC=42°，∠ADC=20°， 因为S△AcE十S△ABE=S△ABc=12,所以SAADE=4, 所以∠CEC=180°-∠BEC=138°，∠CDC=180°- 因为点D是AC的中点，所以S6D=合SAx=6, ∠ADC=160°， 因为S△ABD=S△ADF十SAABF,SAABE=SAEF十SAABF, 由折叠得：∠CDE=∠CDE=?∠CDC=80,∠DEC= 所以SAADF-SAEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2. ∠DBC=号∠CEC=69, 7.(1)150°90° 解：(2)不变化， 所以∠C=180°-∠CDE-∠DEC=31°，所以∠C的度数 因为∠A=30°，所以∠ABC+∠ACB=150°， 为31°； 因为∠X=90°，所以∠XBC+∠XCB=90°， (3)因为∠BEC=x,∠ADC=y,所以∠CEC=180°- 所以∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB x,∠CDC=180°+∠ADC=180°+y, ∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150° 由折叠得： 90°=60°. ∠CDE=∠CDE=号∠CDC=90+2,∠DEC= 微专题2双角平分线模型 ∠DBC=∠CBC=90-x, 知识梳理】 所以∠C=180°-∠CDE-∠DEC 1.证明：因为∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G, =180°-(90+2y)-(90°-3x) 所以∠GBC-号∠ABC,∠cCB= 2∠ACB, 所以∠GBC+∠GCB=(∠ABC+∠ACB, 所以∠C与x,y之间的数量关系为∠C=2x一2y 所以在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB) =18OP-(∠ABC+∠ACBD. 微专题1三角形中有关线段、角的综合 即∠BCC=180-合（∠ADC+∠ACB. 【知识梳理】 2.证明：因为BO,CO分别平分∠CBA,∠BCA, 1.解：①如答图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°； 所以∠0BC-∠ABC,∠OCB=∠ACB, 2数学·八年级·上(R) 微专题1：三角形中有关线段、角的徐合 知识梳理 类型一：分类讨论求角度 1.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD= 2.在△ABC中，AD是高，∠BAD=60°，∠CAD= 20°，求∠BAC的度数. 20°，AE平分∠BAC,则∠EAD的度数为( A.20° B.30° C.20°或30 D.20°或40° 点拔：本题考查三角形的高、角的平分线和三角 点拨：本题考查三角形的高和三角形的内角和定 形的内角和定理，需要对高的不同位置进行分类 理，需要对高的不同位置进行分类讨论， 讨论 类型二：三角形的三边关系 类型三：三角形的高 3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c 4.（2025·广东省·同步练习)如 (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判 图，AM是等边三角形ABC的 断△ABC的形状； 高，P为△ABC内的一点，由点 (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC的周 P向三边作垂线，垂足分别为 B 长的最大值及最小值. E,F,D.求证AM=PE+PF+PD, 点拔：本题考查三角形的分类、非负数的性质、三 点拨：利用等面积法列出关于△ABC面积的等 角形三边关系 式是解题的关键」 ●>14《0 第十三章三角形 类型四：方程思想 类型五：利用三角形的中线求面积 5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BE⊥AC6.如图，在△ABC中，E是BC上一点，且EC= 于点E,交AD于点F,∠ABD=∠ADB, 2BE,D是AC的中点，△ABC的面积为12，求 ∠DAC=∠C=2∠BAD.求∠BFD的度数， △ADF与△BEF面积的差. 点拔：本题考查三角形的中线.根据已知条件求 点拨：本题考查三角形内角和定理的运用，应用 得与问题中三角形相关的三角形的面积，进而求 方程思想设出未知角的度数列方程即可解决. 得二者的面积差 类型六：从特殊到一般 7.(1)如图①，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好直角三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ 分别经过点B,C.在△ABC中，若∠A=30°，则∠ABC+∠ACB= ,∠XBC+∠XCB= (2)如图②，若△ABC的位置不变，改变直角三角尺XYZ的位置，使直角三角尺XYZ的两条直 角边XY,XZ仍然分别经过点B,C,则在(1)的条件下，∠ABX+∠ACX的度数是否变化？ 若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的度数. 图① 图② 点拨：本题考查三角形内角和定理的应用】 ●>150