安徽省淮南第二中学2025-2026学年高二上学期阶段教学检测数学试题

淮南二中2027届高二上学期数学学科阶段教学检测 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.直线的倾斜角是(    ) A. B. C. D. 2.已知是所在平面外一点，是的中点，若，则(    ) A. B. C. D. 3.“”是“直线和直线平行”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.以下命题中不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件； 若，则存在唯一的实数，使得； 若，，则； 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ． A. B. C. D. 6.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为(    ) A. B. C. D. 7. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于，的方程，下列说法正确的为(    ) A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为 B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C. 若方程不表示任何图形，则 D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 10.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11.已知圆：，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是  (    ) A. 四边形周长的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则三角形的面积为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知点A(2,1)，B(4,-5)，则以线段为直径的圆的标准方程为          ． 13.已知点，，直线若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是          ． 14.如图，边长为正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为          ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 16.（15分）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点． 若的面积为，求直线的方程； 求的最小值，并求此时直线的方程； 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面,为矩形，，点在棱上，且直线与CE所成的角为. (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）如图，四棱锥中，底面，，，． 若． 求证：平面； 求向量在向量上的投影向量的模． 是否存在点，使得，且二面角的正弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由． 19.（17分）已知点到的距离是点到的距离的倍． 求点的轨迹方程； 若点与点关于点对称，求的轨迹； 若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2027届高二上学期数学学科阶段教学检测 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.直线的倾斜角是(    ) A. B. C. D. 2.已知是所在平面外一点，是的中点，若，则(    ) A. B. C. D. 3.“”是“直线和直线平行”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.以下命题中不正确的个数为(    ) “”是“，共线”的充要条件； 若，则存在唯一的实数，使得； 若，，则； 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ． A. B. C. D. 6.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为(    ) A. B. C. D. 7. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于，的方程，下列说法正确的为(    ) A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为 B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C. 若方程不表示任何图形，则 D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 10.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11.已知圆：，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是  (    ) A. 四边形周长的最小值为 B. 的最大值为 C. 若，则三角形的面积为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知点A(2,1)，B(4,-5)，则以线段为直径的圆的标准方程为          ． 13.已知点，，直线若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是          ． 14.如图，边长为正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为          ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 16.（15分）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点． 若的面积为，求直线的方程； 求的最小值，并求此时直线的方程； 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面,为矩形，，点在棱上，且直线与CE所成的角为. (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）如图，四棱锥中，底面，，，． 若． 求证：平面； 求向量在向量上的投影向量的模． 是否存在点，使得，且二面角的正弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由． 19.（17分）已知点到的距离是点到的距离的倍． 求点的轨迹方程； 若点与点关于点对称，求的轨迹； 若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线的倾斜角的定义，属于基础题． 根据斜率直接求出倾斜角即可． 【解答】 解：设直线的倾斜角，， 因为直线的斜率为， 所以， 因为 所以倾斜角为， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题． 由题意可得，再利用，，，四点共面，即可得到答案． 【解答】 解：由，是的中点， 所以， 即， 由，，，四点共面，且点是所在平面外一点， 所以，即． 故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 由，解得经过验证两条直线是否重合，即可判断出结论． 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，充分必要条件的定义，考查了推理能力与计算能力． 【解答】 解：直线和直线平行， 由，解得或． 经过验证时两条直线重合，舍去． “”是“直线和直线平行”的充要条件． 故选：． 4. 【答案】  【解析】解：由题的圆心为，半径为． 圆心到直线的距离为 与直线距离为的平行线有两条： 外侧平行线：，圆心到该线的距离为． 内侧平行线：，圆心到该线的距离为． 圆与这两条平行线的相交情况： 当时，圆与外侧平行线相交于两点，与内侧平行线也相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与外侧平行线相切，有一个点，与内侧平行线相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与内侧平行线相交于两点，与外侧平行线不相交，总共有个点，符合条件； 当时，圆与内侧平行线相切，有一个点，与外侧平行线不相交，总共有个点，不符合条件； 当时，圆与两条平行线都不相交，没有点，不符合条件． 因此，的取值范围是， 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于拔高题． 当向量同向时判断即可；利用与任意向量共线，来判断是否正确；和垂直的向量有无数个即可判断是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断；代入向量数量积公式验证即可判断． 【解答】 解：对，向量同向时，，不满足必要性，错误； 对，当为零向量，不是零向量时，不存在使等式成立，错误； 对，和垂直的向量有无数个，其中任意两个不一定相等，故错误； 对，用反证法，若不构成空间的一个基底， 设， 则，即共面， 与为空间的一个基底矛盾，正确； 对，，错误． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，直线与圆的交点坐标、弦长，属于中档题． 由题意可知直线恒过的定点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解． 【解答】 解：直线：， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆：的圆心为，半径为， 且，即点在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为． 故选：． 7. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案． 【解答】 解：由，得， 如图， 当直线：与相切时，则， 解得：，又不合题意，， 当直线过半圆的右顶点时，，， 若直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是． 故选：． 8.【答案】  设， 所以， 所以， 所以 ， 线段的长为 ． 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二元二次方程表示圆的条件，属于中档题． 将各个选项进行逐一分析求解即可． 【解答】解：，的方程可化为． 若方程表示圆，， 即或，故A错误； 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上，故B正确； 若方程不表示任何图形，，则，故C错误； 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧， 则且圆点在圆的内部， 或，且， 故，故D正确． 故选BD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直三棱柱的结构特征、利用空间向量证明线面平行、利用空间坐标系求点面距离、异面直线所成角的求法等知识，属于中档题． 根据直三棱柱的性质，利用向量的线性运算法则判断出项的正误；根据空间向量共面定理，证出、、共面，即可判断出项的正误；以、、为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，算出异面直线与所成的角的余弦值，进而判断出项的正误；求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式算出点到平面的距离，即可判断出项的正误． 【解答】 解：对于，， 因为是的中点， 所以， 可得，故A项正确； 对于，，，， 所以，可得、、是共面向量， 因为平面，所以平面，故B项正确； 对于，以、、为正交基底，建立空间直角坐标系， 可得，， 所以， 可得与所成角的余弦值等于，故C项错误； 对于，设为平面的法向量，由，， 可得，取，得， 而， 所以点到平面的距离，故D项正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线和圆的位置关系，与圆有关的轨迹问题，与圆有关的最值问题，涉及直线的截距式方程，两点之间的距离公式，两圆的相交弦问题，属拔高题． 由均与圆相切可得，，且． 对于，四边形周长为，由的范围即可解答判定； 对于，由垂直关系及和计算即可判定； 对于，由垂直关系及计算即可判定； 对于，设，由相切的概念可得直线过定点且直线过定点，又垂直关系可得点的轨迹方程为，计算圆上的点到定点的距离的最值即可判定． 【解答】 解：如图： ， 均与圆相切，，， 则． 对于，四边形周长为， 因为即为轴上一个动点与点的长度， 所以的最小值即为点到轴的距离，即， 所以， 即当点为原点时，四边形周长的最小值为，故A正确； 对于，因为，，， 所以，所以，所以，所以， 由可得， 因为，所以， 所以，即， 所以，故B错误； 对于，若，则， 由选项AB可得，，， 所以， 所以，故C正确； 对于，设，由可得，点，，，四点都在以为直径的圆上， 则该圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 即， 与圆：做差可得直线的方程为， 易得直线过定点； 又因为直线为，易得直线过定点． 因为直线与交于点且，所以， 即点的轨迹为以为直径的圆，所以点的轨迹方程为， 其中圆心为，半径为． 若，则， 即的最大值为，故D正确． 故答案为． 12. 答案： 因为，， 所以的中点坐标为，，则半径为， 则以线段为直径的圆的方程为. 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线恒过定点问题，以及直线的斜率的计算，属于拔高题． 首先求出直线恒过定点，表示出直线、的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围． 【解答】 解：因为直线， 所以， 令，解得 故直线恒过点， 直线的斜率为， 则，， 依题意直线与线段有公共点， 由图可知或， 解得或， 即， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与直线所成角的向量求法，属于较难题． 根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线与夹角余弦值的最大值． 【解答】 解：取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设， 所以， 所以，取等号时， 所以直线与夹角余弦值的最大值为， 故答案为：． 15. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 16. 【答案】解：设直线：， 由直线过可得，， ， 由可得，，， 所以直线的方程为即， ， 当且仅当，时取等号， 此时直线方程，() 【解析】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是基本不等式的应用，属于中档试题． 设直线：，由直线过可得，，然后结合直角三角形的面积公式可得，从而可求； ，展开后结合基本不等式可求； 17. 【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 【答案】解：证明： 由底面，底面， 可得，又， ，，平面， 所以平面； 由平面，平面， 所以， 又，，， 则有， 故BC，且， 则在上的投影向量的模为： ； 如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由知，， 又，故B， 由题意可得， ，， 设， 则， ，， 由，可得， 即， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，得，， 故平面的一个法向量为， 不妨取平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则由题意有， 故， 则由 ， 可得，， 联立，可得或， 当时，，此时与重合，故舍去， 则，故AD．  【解析】本题考查线面垂直的判定，空间向量的投影向量，平面与平面所成角的向量求法，属于较难题． 由线面垂直的判定定理即可证明； 根据投影向量的模的概念即可求得； 建立空间直角坐标系，设，求得平面和的法向量，根据向量夹角公式列式，即可求得的长． 19. 【答案】解：设点  ，由题意可得  ， 即 ， 化简可得  ， 则点的轨迹方程为． 设  ，由得  点满足的方程  ， 又点  是线段   的中点， 则  ，代入上式消去，可得  ， 即  的轨迹为  ． 存在点  ，使得  为定值  ． 当直线  的斜率存在时，设其斜率为  ，则直线  的方程为  ， 由  ，消去  得，  ，显然  ， 设  ， ， 则  ，  ， 又  ，  ， 则   要使上式恒为定值，需满足  ，解得  ， 此时  ，  为定值  ． 当直线  的斜率不存在时，  ，  ，由  可得  ． 所以存在点  ，使得  为定值  ． 第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $