专题25 二次函数压轴综合（山东专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题25 二次函数压轴综合 考点01 线段周长问题 1．（2025·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 考点02 面积问题 1．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 考点03 角度问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点04 三角形问题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 考点05 四边形问题 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．    (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 4．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 考点06 其他问题 1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 2．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 4．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 二次函数压轴综合 考点01 线段周长问题 1．（2025·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 考点02 面积问题 1．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 考点03 角度问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 考点04 三角形问题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 2．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答； （2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； （3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，    令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 考点05 四边形问题 1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解． （3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴①， 将点代入得， ∴②， 联立①②得，， ∴解析式为； （2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，    ∴，， 则， ∴ 解得：或（舍去）， （3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，    ， ∵， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∴ 解得： ∴点的坐标为或 如图3，当为平行四边形的对角线时，，，    由对称性可知，， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 2．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．    (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； （2）解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，   点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； （3）解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，   ，解得：； ②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，   ，解得：， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，；② 【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可； （2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D， ∴C、D关于抛物线对称轴对称， ∴； （2）解：当时，抛物线解析式为， 当，即，解得或， ∴； 如图，设上与点M关于直线对称的点为， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得：，即 ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴；    （3）解：①当时，抛物线解析式为，， ∴， ∴，， 当时，， ∴抛物线恰好经过； ∵抛物线对称轴为直线， 由对称性可知抛物线经过， ∴点时抛物线与正方形的一个交点， 又∵点F与点D重合， ∴抛物线也经过点； 综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；    ②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴点T的纵坐标为， ∴， ∴， 解得（舍去）或；    如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， 解得（舍去，因为此时点F在点D下方）    如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，， 当 时，， ∴不符合题意；    综上所述，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 4．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； （3）解：存在，理由如下． 由题意，， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点E为线段的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在； 当时，点P在x轴的下方，点E在射线上， 如图，设线段的中点为R，      ∴，， ∴． ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得（不合题意，舍去），． 综上可知，存在或，使． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； (3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)点Q坐标，或或； (3)时，有最大值，最大值为． 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【详解】（1）将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： （2）二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键． 考点06 其他问题 1．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．    (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)2或4； 【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得， ，，， ∴，， 把点A坐标代入所设解析式中得：， 解得：， ∴； （2）解：设的解析式为：，的解析式为：， 分别将，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立直线解析式与抛物线得：， 解得（舍去）， 同理，解，得（舍去）， ∴，， ∴E，F两点之间的距离为：； （3）解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线向右平移个单位， ∴， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：m等于2或4； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． 2．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：      (1)当点M在上时，求t的值； (2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值； (3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；的最大值为 (3) 【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解； （2）由 即可求解； （3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，，， 由题意得∶，， 如下图，点在上时，    ∵，，， ∴， ∴， 则 即 解得： （2）如上图， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， 则， ∴， ∴为等腰三角形， 则 过点作于点， 则 即 解得∶ ， 则 ， 设中边上的高为，则 即： ，故有最大值， 当时， 的最大值为； （3）存在， 理由∶ 如下图， 过点作于点，    当点在的平分线上时，则 ， 在中， ， 解得： 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $