2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

本高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，核心讲解相交弦长计算及范围求解。课堂导入通过回顾一元二次方程根与系数关系和两点间距离公式，搭建旧知与新知的桥梁，引导学生逐步深入。 其亮点在于以典例为载体，通过联立方程、韦达定理“设而不求”等方法培养数学思维，结合变式训练与题型总结强化模型观念。学生能掌握弦长公式应用，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 4 直线与圆锥曲线 的位置关系 4.2 直线与圆锥曲线 的综合问题 学 习 目 标 2 3 进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题. 理解和掌握转化与化归思想及数形结合思想在解析几何中的应用. 1 读教材 阅读课本P79-P80，8分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线与圆锥曲线的综合问题 ”吧！ 1.如何求直线与圆锥曲线相交弦的长？ 2.如何求直线与圆锥曲线相交弦的范围？ 新课引入 回答下列问题： (1)一元二次方程根与系数的关系有哪些? (2)两点间的距离公式? 4 学习过程 01 03 02 目录 1 求直线与圆锥曲线相交弦的长 3 题型训练 2 直线与圆锥曲线相交弦的范围 典例1： 解： 由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为(-1，0)，直线AB的方程为y=-2(x+1). 解方程组 得 如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1， 与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值. 新知探究 求直线方程： 点斜式 中点坐标公式： 6 解： (1)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则 ∴线段AB的中点M的坐标为 典例1： 如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1， 与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值. 新知探究 7 典例1： 如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1， 与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值. 新知探究 如果不求出A、B两点的坐标，你能求出|AB|的值吗？ 解： 两点间的距离公式： 典例1： 如图，已知斜率为-2的直线经过椭圆C: 的左焦点F1， 与椭圆相交于A，B两点，求|AB|的值. 新知探究 解法二：由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为(-1，0)，直线AB的方程为y=-2(x+1). 联立方程组 ① ② 将①代入②，整理得24x2+40x=0，其中∆＞0. 设A,B的坐标为(x1,y1) ,(x2,y2),则 由两点间的距离公式得： 提分笔记 求弦长问题的方法: (1)如果直线与曲线交点的坐标容易求出,直接用两点间的距离公式代入求弦长. (2)如果直线与曲线交点的坐标不容易求出,有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理. 9 已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 变式1： 针对训练 解： （1）椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 解： (2)设，，联立，消去， 得，， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 . 故弦长. 变式1： 针对训练 学习过程 01 03 02 目录 1 求直线与圆锥曲线相交弦的长 3 题型训练 2 直线与圆锥曲线相交弦的范围 典例1： 解： 已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. (1)当直线l的斜率不存在时(如图1)，直线l:x=0， 代入椭圆方程解得A(0， )，B(0， )，∴|AB|= (2)当直线l的斜率存在时(如图2)，设直线l的方程为y=kx. 将椭圆方程化简、整理，得x2+2y2=4. 将直线和椭圆方程联立，得 ① ② 图1 图2 新知探究 原点:（0,0） 点斜式？ 分类讨论 斜率是否存在 将②代入①，化简整理得(2k2+1)x2=4.③ 显然，无论k取何值，方程③都有实数解， 由两点间的距离公式，可得 ④ 解： 典例1： 已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 新知探究 解： 为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得 ∵4k2+2≥2，由不等式的性质可得 综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[2 ，4]. 提分笔记 弦长公式的常见形式有如下几种： 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，弦长公式的常见形式： 典例1： 已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 新知探究 思考： 某同学给出了例1的如下解决方法： 解：考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的， ∴|AB|=2|OA|= ∵点A在椭圆C上，∴xA2+2yA2=4，整理，得xA=4-2yA2. 将其代入上式，消去xA可得|AB|= 由上述函数关系可以求出0≤|AB|≤4. 请对该同学的上述解法进行评价. 该解法利用了椭圆的中心对称性质，设而不求，优化了整体运算，但是由于未考虑yA的实际范围，故而导致最终取值错误. . 新知探究 典例1： 已知直线l过椭圆C: 的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 已知椭圆的长轴长为6，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点,若，求实数的值； 解： （1）因为椭圆的长轴长为6， 所以有， 又因为椭圆的离心率， 所以有， 所以， 所以该椭圆的标准方程为：. 变式1： 针对训练 已知椭圆的长轴长为6，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点,若，求实数的值； 解： (2)将直线方程与椭圆方程联立：， 化简整理得：， 因为直线与椭圆相交于两点， 所以有， 设， 变式1： 针对训练 已知椭圆的长轴长为6，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点,若，求实数的值； 解： 则有， ， 即， 所以实数的值为 变式1： 针对训练 学习过程 01 03 02 目录 1 求直线与圆锥曲线相交弦的长 3 题型训练 2 直线与圆锥曲线相交弦的范围 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型1 例1： 解： 已知A，B是椭圆与直线的交点，求线段AB的长度. 设点A的坐标为，点B的坐标为， 联立，可得， 由题知是上式方程的根，由韦达定理可得， 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型1 例1： 解： 已知A，B是椭圆与直线的交点，求线段AB的长度. 所以 ， 所以. 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型2 例1： 解： 已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． （1）椭圆．化为标准方程：， 椭圆长半轴长为，短半轴长为b， ． 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型2 例1： 解： （2），斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点， 设斜率为1的直线l的方程为，且、， 已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． ， 椭圆C的方程为：， 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型2 例1： 已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 由，消去y得， 解： ，解得， 有，， 题型探究 直线与圆锥曲线相交弦的长 题型2 例1： 已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率e； (2)若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 解： ， 解得，即， 直线l的方程为．   一、求直线与圆锥曲线相交弦的长 课堂小结 二、求直线与圆锥曲线相交弦的范围 (1)如果直线与曲线交点的坐标容易求出,直接用两点间的距离公式代入求弦长. (2)如果直线与曲线交点的坐标不容易求出,有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理. 感谢聆听! $