2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，以椭圆为载体，系统讲解了中点弦、弦长计算及最值求解等核心内容，通过“已知直线过焦点求交点”到“已知中点求直线方程”的知识递进，构建起从具体运算到抽象推理的学习支架，前后衔接自然，逻辑清晰。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与代数运算的统一，如用点差法求中点弦斜率体现理性推理，用弦长公式推导展现符号表达能力。实例详实，如第8页通过设点作差法求直线方程，第11页用两式相减揭示斜率关系，既强化学生建模意识，又提升解题规范性。学生可借此深化对圆锥曲线本质的理解，教师则能高效开展探究式教学，实现知识迁移与能力进阶。

2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 已知斜率为-2的直线经过椭圆=1的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值． 解：由题意知椭圆C的左焦点的坐标为，直线AB的方程为． 解方程组得 因此 (1) 设线段AB的中点M的坐标为（x，y），则 ，． 所以线段AB的中点M的坐标为． 已知斜率为-2的直线经过椭圆=1的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标； (2)|AB|的值． (2) |AB|=． 解：由题意知椭圆C的左焦点的坐标为，直线AB的方程为． 解方程组得 因此 如果直线与椭圆=1相交于不同的两点，，则AB中点M的坐标如何求出? 联立直线与椭圆的方程组：，整理得： ， 方法： 利用根与系数的关系可得 根据中点坐标公式求得 利用中点在直线上，最后根据直线方程求得． 直线与双曲线、抛物线相交于两点，交点的中点坐标也用同样的方法可以得到． 已知直线l过椭圆=1的中心，且交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围． 解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l，代入椭圆方程解得，，所以|AB|=． (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx．将椭圆方程化简、整理，得． 将直线和椭圆方程联立，得将②代入①，得， 化简、整理，得． ③显然，无论k取何值，方程③都有实数解， 已知直线l过椭圆=1的中心，且交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围． 化简、整理，得． ③显然，无论k取何值，方程③都有实数解， 由两点间的距离公式，可得 ④ 为了便于求的取值范围，将④进行变形整理得．因为，由不等式的性质可得，所以．综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[，4]． 已知直线l过椭圆=1的中心，且交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围． 解：考虑到直线l与圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，所以|AB|=2|OA|=2 ． 因为点A在椭圆C上，所以，整理，得， 将其代入上式，消去可得|AB|=． 因为点A在椭圆C上，所以，因此，即． 如果直线与圆锥曲线相交于不同的两点，，怎样求线段AB的长度(弦长)？ 直线l的斜率存在： 设其斜率为k，则直线l的方程为y=kx+m， 将直线方程代入圆锥曲线方程，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2， 直线l的斜率不存在： 直线l的斜率k≠0： 由两点间的距离公式，得|AB|== =·． 用表述弦长公式：|AB|=·． 设直线方程为x=m，直接代入圆锥曲线方程求得交点坐标，再利用两点间距离公式求得|AB|． 已知椭圆=1，求以点P为中点的弦所在的直线方程． 解： 因为，故点P在椭圆的内部可知存在符合要求的直线． 设直线与椭圆交于A，B两点，，，则因为点A，B在椭圆上，所以 两式相减得所以 根据对称性所以即所以直线方程为即． 椭圆C：+=1，则以点P(4，2)为中点的弦所在的直线方程为(　　) A.x+2y+8=0 B.x+2y-8=0 C.2x+y-8=0 D.2x-y-8=0 解析：方法一：因为+=<1，故点P在椭圆C内部，可知存在符合要求的直线． 根据椭圆的对称性可知，所求的直线的斜率存在，设其斜率为k，则直线方程为y-2=k(x-4)， 即y=kx-(4k-2)，代入椭圆方程，得(1+4k2)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0． 设直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2=，根据题意，x1+x2=8，所以=8，解得k=- 故所求的直线方程为y-2=-(x-4)，即x+2y-8=0．故选B． 椭圆C：+=1，则以点P(4，2)为中点的弦所在的直线方程为(　　) A.x+2y+8=0 B.x+2y-8=0 C.2x+y-8=0 D.2x-y-8=0 解析：方法二：因为+=<1，故点P在椭圆C内部，可知存在符合要求的直线． 设直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4， 因为点A，B在椭圆C上，所以两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0， 所以8(x1-x2)+16(y1-y2)=0，根据对称性，x1≠x2，所以8+=0，即8+16kAB=0，kAB=-， 所以直线方程为y-2=-(x-4)，即x+2y-8=0．故选B． 已知椭圆C：+y2=1和直线l：y=2x+m． 直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．   解析：联立得17x2+16mx+4m2-4=0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有x1+x2= ，x1x2=， 所以|AB|=·|x1 x2|=·=·=． 因为椭圆C与直线l有公共点，所以Δ=(16m)2-4×17×(4m2-4)≥0， 解得-≤m≤． 所以m2∈[0，17) ．所以当m=0时，|AB|取得最大值． 如果直线与圆锥曲线相交于不同的两点，，求线段AB的长度(弦长)。 直线l的斜率存在： 设其斜率为k，则直线l的方程为y=kx+m， 将直线方程代入圆锥曲线方程，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系，可得x1+x2，x1x2， 直线l的斜率不存在： 直线l的斜率k≠0： 由两点间的距离公式，得|AB|== =·． 用表述弦长公式：|AB|=·． 设直线方程为x=m，直接代入圆锥曲线方程求得交点坐标，再利用两点间距离公式求得|AB|． 课堂小结 作业：教材练习题83页全做． $