5.1勾股定理及其逆定理（第2课时勾股定理的逆定理）（教学课件）数学新教材青岛版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆命题导入，以3,4,5和5,12,13等三角形边长验证为支架，引导学生观察猜想、逻辑证明，构建“旧知-探究-新知”的完整知识脉络。 其亮点是以“观察-猜想-证明-应用”为主线，通过实例培养推理能力，结合零件形状分析、正方形中直角三角形判断等问题发展应用意识，勾股数及柏拉图公式探究激发创新意识。小结精炼，例题分层，助力学生掌握重点，也为教师提供高效教学资源。

青岛版2024·八年级上册 5.1勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的逆定理 第5章 勾股定理与实数 导入新课 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². c a b 我们知道每个命题都有逆命题。勾股定理的逆命题是怎样的？ 如果三角形的三条边a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形. 让我们一起来学习吧。 学 习 目 标 1 2 3 掌握直角三角形的勾股定理的逆定理.（重点） 能够运用勾股定理的逆定理解决问题（难点） 勾股数的记忆与应用 新知探究 (1)已知△ABC的三边长分别为AC＝3，BC＝4，AB＝5。验证三边长是否满足a2＋b2＝c2？用尺规作图的方法作出△ABC，观察它是怎样的三角形。 3 4 5 A C B a2＋b2＝42＋32＝25 c2＝52＝25 a2＋b2＝c2 直角三角形 验证： 观察它是怎样的三角形。 新知探究 （2）当△ABC的三边长分别为5，12，13时，三边长是否仍满足a2＋b2＝c2？它是怎样的三角形？ 13 12 5 a2＋b2＝52＋122＝25+144=169 c2＝132＝169 a2＋b2＝c2 直角三角形 思考：通过观察，你发现了什么？据此你有什么猜想呢？ 如果三角形的三条边a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形. 验证： 新知探究 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。你能证明它吗？ 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． A　 B　 C　 a b c △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′ 新知探究 证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b. 在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得， A'B'²=a²+b². 因为a² +b²=c²， 所以A'B'=c²，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C中， BC=B'C'=a, AC=A'C'=b， AB=A'B'=c, 所以△ABC≌△A'B'C'(边边边). 因此∠C=∠C'=90°. 所以△ABC是直角三角形. A　 B　 C　 a b c A'　 B'　 C'　 a b 你能得到什么结论? 新知探究 A B C a b c 符号语言 在△ABC中 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 总结归纳 勾股定理与逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“a2+b2=c2”，即由“形”到“数”。 勾股定理逆定理以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”。 联系 两者都是三角形的三边的平方关系 新知探究 典例分析 例3 已知三角形三条边的长分别是: (1)2，3，4; (2) 3x，4x，5x(x>0)。 分别判断它们是否为直角三角形。 分析： 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 典例分析 解:(1)在边长为2，3，4的三角形中，4是最大边长。 因为2²+3²=13≠4²， 所以该三角形不是直角三角形。 (2)在边长为3x，4x，5x(x>0)的三角形中，5x是最大边长。 因为(3x)²+(4x)²=9x²+16x²=25x²=(5x)²， 所以该三角形是直角三角形。 新知应用 基础巩固题 1.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是(　　) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25 B 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2．若△ABC中，BC＝13，AC＝5，AB＝12，则下列判断正确的是(　　)    A．∠A＝90°      B．∠B＝90°    C．∠C＝90°      D．△ABC是锐角三角形 A 新知应用 基础巩固题 3.下面这几组数都满足a2+b2=c2吗？ (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=5,b=12,c=13; (3)a=7,b=24,c=25; (4)a=9,b=40,c=41; (5)a=11,b=60,c=61. 满足 满足 满足 满足 满足 定义：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 3，4，5 6，8，10 5，12，13 8，15，17 新知应用 基础巩固题 4. 以∆ABC的三条边为边长向外作正方形， 依次得到的面积是25，144 ， 169，则这个三角形是______三角形. 直角 5．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　） A．161；　　 B．289；　　 C．17；　　 D．161或289． D 新知应用 基础巩固题 6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )　　　　 　　　　　 　　　　　 A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 C.a2=c2-b2 D.a∶b∶c=3∶4∶6 D 判断一个三角形是不是直角三角形，1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 新知应用 基础巩固题 7.已知三角形三条边的长分别是: (1)1.5，2，2.5; (2)10，24，26; (3)12，15，18。 分别判断它们是否为直角三角形。 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 解:(1)在边长为1.5，2，2.5的三角形中，2.5是最大边长。因为1.5²+2²=6.25=2.5²，所以该三角形是直角三角形。 (2)在边长为10，24，26的三角形中，26是最大边长。 因为10²+24²=676=26²，所以该三角形是直角三角形。 (2)在边长为12，15，18的三角形中，18是最大边长。 因为12²+15²=369≠18²，所以该三角形不是直角三角形。 新知应用 基础巩固题 8.一个零件的形状如图所示。已知∠DAB=90°，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13。能判断∠DBC是直角吗?证明你的结论。 解:在△ABD中，∠BAD=90°， ∴BD²=AB²+AD²(勾股定理). AB=3，AD=4， ∴BD²=3²+4²=5² ∴BD=5. 在△BCD 中，BD=5，BC=12，CD=13， ∴BD²+BC²=5²+12²=169， CD²=13²=169.: ∴BD²+BC²=CD². ∴∠DBC=90°(勾股定理的逆定理). 新知应用 能力提升题 9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证:△AEF是直角三角形. A B C D E F 解：依题意得：AB=AD=4,DF=CF=2,CE=1,BE=3 新知应用 能力提升题 10．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数， a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 当m=2时，则a=4,b=3,c=5 当m=3时，则a=6,b=8,c=10 当m=5时，则a=10,b=24,c=26 当m=6时，则a=12,b=35,c=37 当m=7时，则a=14,b=48,c=50 课堂小结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数. A B C a b c 感谢聆听! $