5.1 勾股定理及其逆定理 课件 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及逆定理，通过电线杆钢索长度、古埃及画直角等实际问题导入，以测量、数格子、赵爽弦图等活动探究构建从具体到抽象的学习支架，衔接定理证明与应用。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如用赵爽弦图推导定理培养推理能力，借方程解决电线杆断裂问题强化模型意识。助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

5.1 勾股定理及其逆定理 第5章 勾股定理与实数 22005 5.1.1 勾股定理 第5章 勾股定理与实数 22005 1.经历探究勾股定理的过程，掌握勾股定理的证明. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 学习目标 22005 由于安全问题，工人小高打算加一条钢索用来稳固电线杆。从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底6m，那么工人小高应准备多长的钢索？ 新课导入 22005 任务一：探索勾股定理，掌握勾股定理的证明. 活动1：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？ 两直角边的平方和等于斜边的平方. 三边长的平方之间的关系： 测量法 活动探究 22005 如图，直角三角形三边长的平方分别是多少？ A C B D F E 图① 图② 三边长的平方分别是各正方形的面积. SA SB SC SF SD SE 22005 它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？ A C B D F E 图① 图② 数格子法 22005 正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____. 正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____. 正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____. 9 9 9 9 18 18 9+9=18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方. A C B 图① 22005 D F E 图② 正方形D中含有____个小正方形，即D的面积是_____. 正方形E中含有____个小正方形，即E的面积是_____. 正方形F中含有____个小正方形，即F的面积是_____. 4 4 4 4 8 8 4+4=8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方. 22005 对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？ A C B D F E 图① 图② 22005 A C B 图① 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=×4×3×4+1×1=25 把C“补” 成边长为7的正方形 SC=7×7-×4×3×4=25 22005 正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____. 正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____. 正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____. 16 16 9 9 25 25 16+9=25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方. A C B 图① 22005 D F E 图② 正方形D中含有____个小正方形，即D的面积是_____. 正方形E中含有____个小正方形，即E的面积是_____. 正方形F中含有____个小正方形，即F的面积是_____. 1 1 9 9 10 10 1+9=10，满足两直角边的平方和等于斜边的平方. 22005 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在直角三角形中，如果两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2。 活动小结 A B C a b c 22005 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. 勾 股 弦 22005 活动2：观察下面“赵爽弦图”的形成过程，尝试用所拼成的图形证明勾股定理. b b c a b c a a 22005 a b c b-a 赵爽弦图 证明： ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2， ∴S大正方形＝4S直角三角形＋S小正方形， 即 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方. 22005 求下图中字母所代表的正方形的面积. SA=225+400=625 225 400 A 81 225 B SB=225-81=144 练一练 22005 任务二：用勾股定理解决实际问题. 活动1：解决新课导入问题. 由于安全问题，工人小高打算加一条钢索用来稳固电线杆。从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底6m，那么工人小高应准备多长的钢索？ 8m 6m 所以斜边=10m. 即需要10m长的钢索. 因为 82+62=斜边2， 在直角三角形中： 22005 活动2：如图，一根长为16m的电线杆在点A处折断，电线杆的顶部B落到离电线杆底部C 8m处，则电线杆的断裂处A离地面有多高. 解：依题意可知，BC=8m，AC＋AB=16m， 设AC=x m，则AB=(16-x)m，由勾股定理可得， x2+82=(16-x)2，解得 x=6 (m) 答：电线杆的断裂处A离地面有6m高. 利用勾股定理建立方程模型是解决几何计算的常用途径! 方法提炼： 22005 1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. 225 81 B ? 100 225 12 13 x x2=132-122=25，∴x=5. B=225-81=144 ？=100+225=325 当堂检测 22005 2.求斜边长为17厘米，一条直角边长为15 厘米的直角三角形的面积. 解：设直角三角形的另一条直角边长为x厘米， 由勾股定理，得x2+152=172， 解得x=8， 所以三角形的面积为：×15×8=60（平方厘米）. 22005 3.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米，BC=120米，则AB为 ( ) A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 A B C 130 120 ? A 22005 勾股定理 勾股定理 勾股定理的简单运用 课堂总结 22005 5.1.2 勾股定理的逆定理 第5章 勾股定理与实数 22005 1.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用. 学习目标 22005 据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 新课导入 22005 任务一：探索并证明勾股定理的逆定理. 活动：小组合作讨论，完成下列问题. 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a， b， c: ①5，12，13; ②7，24，25; ③8，15，17. 问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 问题2：这三组数在数量关系上有什么相同点？ 问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 问题4：据此你有什么猜想呢? 活动探究 22005 结果： ① 5，12，13满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形； ② 7，24，25满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形； ③ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，可以构成直角三角形. 13 12 5 25 24 7 17 15 8 22005 问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵32+42=52，∴满足. 22005 问题4：据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 思考： 这个猜想成立吗？ 22005 证明猜想： 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． A　 B　 C　 a b c △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 构造两直角边分别为a，b的Rt△A′B′C′ 22005 A　 B　 C　 a b c 证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a， 则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2. ∵a2 + b2 = c2， ∴A'B'2 = c2，A'B' = c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)， ∴∠C=∠C'=90°，所以△ABC是直角三角形. 22005 活动小结 勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. A　 B　 C　 a b c 注：最长边所对的角为直角. 22005 练一练 1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. （1）9，12，15 （2）12，18，22 分析：因为92+122=225=152，所以这个三角形是直角三角形，这组数可以作为直角三角形的三边长. 分析：因为122+182=468=222，所以这个三角形不是直角三角形，这组数不可以作为直角三角形的三边长. 22005 分析：因为152+362=1521=392，所以这个三角形是直角三角形，这组数可以作为直角三角形的三边长. 分析：因为122+352=1369，而362=1296，所以122+352≠362，这个三角形不是直角三角形，这组数不可以作为直角三角形的三边长. （3）12，35，36 （4）15，36，39 22005 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 勾股数 常见勾股数： ①3，4，5； ②9，40，41； ③8，15，17； ④7，24，25； ⑤5，12，13； ⑥9，12，15. 正整数:大于0的整数，如1，2，3… 22005 活动2：如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证. 2倍 3倍 4倍 3，4，5 6，8，10 5，12，13 15，36，39 8，15，17 32，60，68 7，24，25 还是勾股数 如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由. 22005 如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由. 是直角三角形，理由如下： 因为a2+b2=c2， (ak)2+(bk)2=a2k2+b2k2=(a2+b2)k2=c2k2,(ck)2=c2k2， 故(ak)2+(bk)2=(ck)2, 所以三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形. 22005 任务二：用勾股定理的逆定理解决相关问题. 活动1：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 解：△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理，得BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25， 则BE2+EF2=BF2，所以△BEF是直角三角形， 所以共有4个直角三角形. A B C D E F 22005 活动2：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3 cm，AB=4 cm， CD=12 cm，BC=13 cm，求四边形ABCD 的面积. 解：连接BD. 在Rt△ABD中，由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， 所以 BD=5 cm， 又因为 CD=12 cm，BC=13 cm 所以BC2=CD2+BD2，所以△BDC是直角三角形. S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD= (5×12－3×4)=24(cm2) B A D 所以四边形ABCD 的面积为24 cm2. C 22005 1.下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 2.在△ABC中，如果AC2－AB2＝BC2，那么(　 　) A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定哪个角是直角 A B 当堂检测 22005 3. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 　. 15 4. 已知∆ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为_______三角形， ______是最大角. 5. 以∆ABC的三条边为边长向外作正方形， 依次得到的面积是25，144 ， 169，则这个三角形是______三角形. 直角 直角 ∠A 22005 勾股定理 的逆定理 内容 作用 可以由三角形三条边的长度判定它是否构成直角三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 课堂总结 22005 $