3.1.2 勾股定理-勾股定理的证明（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

第3章 勾股定理 3.1.2 勾股定理-勾股定理的证明 苏科版 八年级上册 教学目标 01 探索勾股定理的证明 02 能根据弦图解决线段长、面积等问题 勾股定理的证明 01 课堂导入 两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷。 公元3世纪初，赵爽通过“弦图”证明了勾股定理。 01 课堂导入 问 题 如图，根据“弦图”的思路，用4张的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形。你能用这个图形证明勾股定理吗？ a c b a c b A B C D 01 课堂导入 a c b A B C D 如图，大正方形的边长为c，则S正方形ABCD = c2。 01 课堂导入 a c b A B C D ∵大正方形是由4个直角三角形和1个边长为b - a的小正方形组成的， ∴大正方形的面积是4个直角三角形面积与小正方形面积的和。 即S正方形ABCD = 4 × ab + ( b - a )2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 = a2 + b2。 ∴a2 + b2 = c2。 01 课堂导入 公元3世纪，我国数学家赵爽曾用作图证明了勾股定理， 这个图形被称为“弦图”。 a c b 如右图，2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬国古代数学文明，大会选用了“弦图”作为会标的中心图案。 赵爽弦图 01 课堂导入 尝 试 1. 如图，用4张的直角三角形纸片拼成大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b b b b a a a a c c c c 用两种方法计算面积。 法一：( a + b )2， 法二：4 × ab + c2。 ( a + b )2 = 4 × ab + c2， a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2， a2 + b2 = c2。 01 课堂导入 尝 试 2. 连接上图中小正方形的对角线，可以得到下图。 试利用下图中的面积关系证明勾股定理。 b b b b a a a a c c c c b b a a c c 01 课堂导入 用两种方法计算面积。 法一： ( a + b )2， 法二：2 × ab + c2。 ( a + b )2 = 2 × ab + c2， a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2， a2 + b2 = c2。 b b a a c c 02 知识精讲 勾股定理的证明： 03 典例精析 题型一 根据图形验证勾股定理： 例1、下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解： = ，的平方根是。 D 03 典例精析 题型二 利用弦图求线段长： 例2、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b。若ab = 14，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 解：由题意可得：ab = 14，a2 + b2 = 64， ∴小正方形的面积 = ( a - b )2 = a2 + b2 - 2ab = 64 - 28 = 36， ∴小正方形的边长为6。 B 03 典例精析 题型三 利用弦图求面积： 例3、如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形ABCD的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH为3，则中间小正方形EFGH的面积为________。 解：由勾股定理可得：AH2 + DH2 = AD2， 即32 + DH2 = 34，解得：DH2 = 25， ∴DH = 5 ( 舍去负值 )， ∴中间小正方形EFGH的面积为( 5 - 3 )2 = 4。 4 03 典例精析 题型三 利用弦图求面积： 例4、“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m，n ( m > n )。若小正方形面积为7，( m + n )2 = 21，则大正方形面积为________。 解：∵小正方形面积为7，∴( m - n )2 = 7， 又∵( m + n )2 = 21，∴( m + n )2 - ( m - n )2 = 14，∴2mn = 7， 又∵大正方形的面积 = 4 × mn + ( m - n )2 = m2 + n2， ∴m2 + n2 = ( m + n )2 - 2mn = 21 - 7 = 14。 14 03 典例精析 题型四 勾股定理的证明的综合应用： 例5、如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形。已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c。课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2 + b2 = c2。 ( 1 ) 现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2。若a = 4，b = 6，则空白部分的面积为_________； ( 2 ) 如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处。若AD = 5，AB = 3，求EF的长。 03 典例精析 ( 1 ) 现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2。若a = 4，b = 6， 则空白部分的面积为_________； 解：( 1 ) 空白部分的面积 = 边长为c的正方形的面积 - 2个直角三角形的面积 = c2 - 2 × ab， ∵a = 4，b = 6， ∴空白部分的面积 = 42 + 62 - 2 × × 4 × 6 = 28。 28 03 典例精析 ( 2 ) 如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处。若AD = 5，AB = 3，求EF的长。 ( 2 ) 由折叠可知：AF = AD = 5， 在Rt△ABF中，AF = 5，AB = 3， 由勾股定理得：BF = = 4， ∴CF = BC - BF = AD - BF = 5 - 4 = 1， 设EF = x，则DE = EF = x，CE = CD - DE = 3 - x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2 = CE2 + CF2， ∴x2 = ( 3 - x )2 + 12，解得：x = ，即EF = 。 03 典例精析 题型四 勾股定理的证明的综合应用： 例6、著名的“赵爽弦图”如图 ( 1 ) 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4 × ab + ( b - a )2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则a2 + b2 = c2。 03 典例精析 题型四 勾股定理的证明的综合应用： 例6、( 1 ) 图 ( 2 ) 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”， 请你利用图 ( 2 ) 推导勾股定理； 解：( 1 ) 梯形ABCD的面积为 × ( a + b )( a + b ) = a2 + ab + b2， 也可以表示为2 × ab + c2 = ab + c2， ∴a2 + ab + b2 = ab + c2，即a2 + b2 = c2； 03 典例精析 题型四 勾股定理的证明的综合应用： 例6、( 2 ) 如图 ( 3 ) ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB = AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H ( A，H，B在同一条直线上 )，并新修一条路CH，且CH⊥AB。测得CH = 2.4千米，HB = 1.8千米， 求新路CH比原路CA短多少千米； ( 2 ) ∵CA = x km，∴AH = ( x - 1.8 )km， 在Rt△ACH中，CA2 = CH2 + AH2， 即x2 = 2.42 + ( x - 1.8 )2，解得x = 2.5，即CA = 2.5km， ∴CA - CH = 2.5 - 2.4 = 0.1 ( km )， 答：新路CH比原路CA少0.1千米； 03 典例精析 题型四 勾股定理的证明的综合应用： 例6、( 3 ) 在第 ( 2 ) 问中，若AB ≠ AC，CH⊥AB，AC = 4千米，BC = 5千米， AB = 6千米，求AH的长。 ( 3 ) 设AH = x km，则BH = ( 6 - x )km， 在Rt△ACH中，CH2 = CA2 - AH2， 在Rt△BCH中，CH2 = CB2 - BH2， ∴CA2 - AH2 = CB2 - BH2， 即42 - x2 = 52 - ( 6- x )2，解得：x = ，即AH = km。 课后总结 勾股定理的证明： 3.1.2 勾股定理-勾股定理的证明 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $