3.1勾股定理的探究（2）---勾股定理的证明课件2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 3.2勾股定理的逆定理 学习目标 1、会阐述直角三角形的判定条件 （勾股定理的逆定理）。 2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形 是直角三角形。 3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程， 体会“形”与“数”的内在联系。 学习重点：勾股定理的逆定理及应用。 学习难点：勾股定理的逆定理的证明。 一、情境创设： 我们知道：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗? 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，使得每条边被结点分成3段、4段、5段，这样得到的三角形一定是直角三角形，这是什么原因呢？ 二、探索新知： 根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C’， 于是∠C=∠C' =90°，即ABC 是直角三角形。 如图，△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2， 能否证明△ABC为直角三角形。 我们先作一个Rt△A'B'C'，使∠C'=90°， B'C'=a,A'C'=b(如图), 根据勾股定理，得A'B’2=a2+b2，因为AB2=a2+b2，所以A'B'=AB=c. 同一法是一种间接证明方法，通过把要证明的结论当作条件，构造一个新的图形，然后证明这个新图形与原图形全等，从而证明了原结论。 1、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别是a、b、c， 且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 （1）条件是“三角形两边的平方和等于第三边的平方”， 结论是“直角三角形”，即由“边”的关系判定“角”， 是直角三角形的判定定理. 勾股定理逆定理 （2）勾股定理与勾股定理逆定理的异同： 勾股定理 归纳： 直角三角形的性质 直角三角形的判定 a2+b2=c2 数 形 2、勾股数的定义. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数a、b、c、称为勾股数. 熟记一些常用的勾股数组，如： 3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17；9，40，41； 11，60,61 等等. 注意： 1、勾股数必须同时满足两个条件： 、 。 2、勾股数的整数倍还是勾股数。 3、判断勾股数一般方法. （1）先把三个正整数从小到大排列，找出最大数； （2）计算较小的两数平方和及最大数的平方； （3）判断确定。 构造勾股数方法的口诀： 奇数平方写连续，偶数半方加减一。 勾股定理的逆定理的延伸： 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边的长). 知识延伸 如果a2+b2=c2,那么这个 三角形是直角三角形； 如果a2+b2<c2,那么这个 三角形是钝角三角形； 如果a2+b2>c2,那么这个 三角形是锐角三角形. 试一试： 1、下列各组数是勾股数的是（     ） 　A、12、15、18；  B、12、35、36； C、7、24、25.     D、10、20、30 2、在△ABC中，如果三边a、b、c满足 |a－32|＋|2b－48|＋（c－40）2＝0， 那么△ABC是（　 ） A、等腰三角形　 B、等边三角形　 C、直角三角形　 D、等腰直角三角形 3、如图，有一个三角形的三边长 为3、4、5，求这个三角形的 最长边上的高。 例题精讲： 例1、如图，AD⊥BC，垂足为D，如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？证明你的结论. 例2、如图所示，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3， 边BC上的中线AD＝2， （1）求证：△ACD是直角三角形； （2）求△ABC的面积. 三、独立训练： 1、观察下列各组数： ①7，12，15；②8，15，17；③12，15，20； ④ ；⑤0.6，0.8，1， 其中是勾股数的有（   ） A、1组 B、2组　　C、3组　  D、4组 2、若△ABC的三边a、b、c满足条件 a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c， 试判断△ABC的形状. 3、观察下列各组勾股数： 3、4、5；5、12、13；7、24、25； 9、 、 ； 11、 、 ；…， 那么n、 、 ； (n为奇数，n≥3) 观察下列各组勾股数： 4、3、5；6、8、10；8、15、17； 10、 、 ； 12、 、 ；…， 那么2n、 、 ； (n为正整数，n≥2) 40 41 60 61 24 26 35 37 n2－1 n2＋1 以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边 也可以构成勾股数，其三边分别是 2n+1、 、 。 2n2+2n 2n2+2n+1 如何证明？ 4、某车间要加一种四边形的零件，要AB⊥BC，CD⊥DA，如图，已知有一个四边形零件， AB⊥BC，量得各边长为AB＝15cm， BC＝20cm，CD＝7cm，AD＝24cm， 这个零件符合要求吗？ 如图所示,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、 PC,以BP为边作∠PBQ＝60°,且BQ＝BP,连接CQ. （1）观察并猜想AP=CQ？并证明你的结论. （2）若PA：PB：PC＝3：4：5,连接PQ,试判断△PQC 的形状，并说明理由. 解：（1）猜想：AP=CQ， 证明：∵△ABC是等边三角形， 且∠PBQ＝60° ∴AB=BC，BP=BQ，∠ABC=60°， ∠1+∠3=60°，∠2+∠3=60°， ∴∠1=∠2． 四、拓展延伸 五、总结反思： 1、直角三角形的判定有两种思路： （1）用角的关系；（2）用边的关系. 2、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两边的平方和与最长边的平方。 若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形； 也可以先分别计算出三边的平方，再验证是否有两边的 平方和等于第三边的平方. 3、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数 必须都是正整数. 六、随堂检测 3、若△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，求证：△ABC是直角三角形。 1、如果线段a、b、c能构成一个直角三角形，那么a：b：c可能是 （　　） 　A、1：2：3　　　　B、3：4：5　　　　　C、2：3：5　　　D、5：7：8 2、如图，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，∠C＝90°，求∠A的度数. $