第三章空间向量与立体几何（单元测试·基础卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第三章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若，则a的值为（   ）. A． B． C．5 D．6 3．已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 11．如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为 ． 13．已知，，且，则点的坐标为 ． 14．在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，求： (1) 的值： (2) 与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点在上，且． (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求线段的长度． 17． （15分） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点 (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求平面与平面的夹角的余弦值 18．（17分） 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，，．E为PD的中点，点F在PC上，且． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求平面PAD与平面AEF夹角的余弦值； (3)在线段PB上是否存在点G，使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出的 值；如果不存在说明理由． 19．（17分） 如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)证明： (2)若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； (3)直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第三章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若，则a的值为（   ）. A． B． C．5 D．6 3．已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 11．如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为 ． 13．已知，，且，则点的坐标为 ． 14．在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，求： (1) 的值： (2) 与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点在上，且． (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求线段的长度． 17． （15分） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点 (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求平面与平面的夹角的余弦值 18．（17分） 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，，．E为PD的中点，点F在PC上，且． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求平面PAD与平面AEF夹角的余弦值； (3)在线段PB上是否存在点G，使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出的 值；如果不存在说明理由． 19．（17分） 如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)证明： (2)若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； (3)直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第三章 空间向量与立体几何·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量平行与垂直求得，进而求得； （2）先求得与的坐标，然后根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以，解得，， ………（2分） 所以，， ………（3分） 又，则，即，得， ………（5分） 于是，则. ………（6分） （2）由（1）得，，设与的夹角为， ………（9分） 所以， ………（12分） 所以与夹角的余弦值为. ………（13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】通过建立合适的空间坐标系，设好相关点的坐标，利用向量法来求解异面直线所成角的余弦值以及线段的长度. 【详解】（1）如图：以为原点，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， ………（2分）    得，，， 因此，， ………（5分） 从而，设，所成的角为， ………（6分） 则． ………（8分） （2）设点，， ………（10分） 由，得， ………（12分） 即，， ………（13分） 所以． ………（15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直； （2）利用空间向量线面角公式进行求解即可； （3）利用面面角的向量求法进行求解即可； 【详解】（1）因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.    ………（1分） 则、、、、、， ………（2分） 所以，， ………（3分） 所以， 所以，得证； ………（5分） （2）设平面的法向量为，，， ………（7分） 由，取，可得，又， ………（9分） 所以， ………（10分） 所以直线与平面所成角的正弦值为.………（11分） （3）易知平面的一个法向量为，………（12分） 设平面与平面的夹角为， 则，………（14分） 所以平面与平面的夹角的余弦值为.………（15分） 18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. （3）法一：利用空间四点共面的条件列式求解； 法二：A、E、F、G四点共面转化为与平面的法向量垂直，列式求值. 【详解】（1）由PA⊥平面ABCD，平面ABCD，则PA⊥CD，………（1分） 又AD⊥CD，，PA，平面PAD，所以CD⊥平面PAD．………（3分） （2）以A为原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………（4分） 则有，，，，， E为PD的中点，得，，得，………（6分） 则有，，，………（7分） 设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，，得， ………（10分） 平面PAD的一个法向量，设面PAD与面AEF夹角为θ，则，故平面PAD与平面AEF夹角的余弦值为．………（12分） （3）法一：若线段PB上存在点G使A、E、F、G四点共面，设，，则，，………（14分） 若A、E、F、G四点共面，则， 即，………（16分） 对比系数可得， 所以线段PB上存在点G，使得A、E、F、G四点共面，此时．………（17分） 法二：若线段PB上存在点G使A、E、F、G四点共面，设，， 则，，………（14分） 若A、E、F、G四点共面，则AG在平面AEF内， 又平面AEF的一个法向量为，则有，解得．………（16分） 所以线段PB上存在点G，使得A、E、F、G四点共面，此时．………（17分） 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，点在线段的延长线上，且. 【分析】（1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可； （3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可. 【详解】（1）由题意，在图1中，，，，，， 则在图2中，， ，，，………（1分） 因为平面， 所以平面，而，则，………（3分） 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，………（4分） 则，………（5分） 所以，即.………（6分） （2）由（1）及为的中点， 则，，，，………（7分） 设平面的一个法向量， 则，即，令，得， ………（9分） 设与平面所成的角为， 所以.………（11分） （3）假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设， 由（1）知，，，………（12分） 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 而平面的一个法向量为，………（14分） 由于平面平面， 当且仅当，即时成立，………（16分） 所以直线上存在点，使平面与平面垂直， 此时点在线段的延长线上，且.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第三章 空间向量与立体几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量减法的坐标运算法则，用点B的坐标减去点A的坐标直接可求得向量的坐标. 【详解】由，，得. 所以向量的坐标是. 故选：A. 2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若，则a的值为（   ）. A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为点，，，则， 若，则，解得. 故选：D. 3．已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】应用空间向量线性运算及模的坐标表示求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 4．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：C 5．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算进行求解． 【详解】由题意 ， 又，，，． 故选：B 6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆的圆心，，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用 空间向量的坐标运算求解直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】连接 在圆锥中有平面，平面，所以 又是底面圆直径，所以为中点，因为，所以， 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为.    故选：D. 7．已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面可得存在实数，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】因为A，B，C，D四点共面， 则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，且， 则，解得. 故选：B. 8．如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点到直线的距离即可. 【详解】设正方形的中心分别为，棱的中点为H，连接，易证两两垂直， 则以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正四棱台的体积是28，所以， 即，解得，则， 所以，故点E到直线的距离．    故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可. 【详解】选项 A： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 故不成立， 所以能构成基底，故A正确； 选项 B： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故B错误； 选项 C： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以， 解得：（唯一解），因此向量组线性无关， 所以，，不共面， 所以能构成基底，故C正确； 选项 D： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故D错误. 故选：AC 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD． 11．如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值判断AB；进而可证平面，可判断C，补形为正方体，求得正方体的外接球的半径计算可判断D. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    过作于，连接， 则， 所以， 故A错误； ，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，故B正确； 因为，又易得平面， 所以为平面的一个法向量，又，所以， 又平面，平面，又点， 所以到平面的距离相等， 所以，即三棱锥与三棱锥的体积相等，故C正确； 将原图形补成一个正方体如图所示： 则正方体的外接球符题意， 外接球的直径为，所以， 所以该球的体积是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13．已知，，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可. 【详解】因为，，设， 所以，， 因为，所以， 解得，得到. 故答案为： 14．在四面体中，是内部或边界上一点，满足，且，设，则的取值范围是 【答案】 【分析】由得，进而得，即，最后利用二次函数即可求解. 【详解】由题意有 由有， 所以， 所以， 所以 ， 当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量平行与垂直求得，进而求得； （2）先求得与的坐标，然后根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以，解得，， ………（2分） 所以，， ………（3分） 又，则，即，得， ………（5分） 于是，则. ………（6分） （2）由（1）得，，设与的夹角为， ………（9分） 所以， ………（12分） 所以与夹角的余弦值为. ………（13分） 16．（15分） 如图，已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点在上，且． (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】通过建立合适的空间坐标系，设好相关点的坐标，利用向量法来求解异面直线所成角的余弦值以及线段的长度. 【详解】（1）如图：以为原点，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， ………（2分）    得，，， 因此，， ………（5分） 从而，设，所成的角为， ………（6分） 则． ………（8分） （2）设点，， ………（10分） 由，得， ………（12分） 即，， ………（13分） 所以． ………（15分） 17． （15分） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点 (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求平面与平面的夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标公式计算得向量垂直，从而证明线线垂直； （2）利用空间向量线面角公式进行求解即可； （3）利用面面角的向量求法进行求解即可； 【详解】（1）因为底面，且四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.    ………（1分） 则、、、、、， ………（2分） 所以，， ………（3分） 所以， 所以，得证； ………（5分） （2）设平面的法向量为，，， ………（7分） 由，取，可得，又， ………（9分） 所以， ………（10分） 所以直线与平面所成角的正弦值为.………（11分） （3）易知平面的一个法向量为，………（12分） 设平面与平面的夹角为， 则，………（14分） 所以平面与平面的夹角的余弦值为.………（15分）    18．（17分） 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，，．E为PD的中点，点F在PC上，且． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求平面PAD与平面AEF夹角的余弦值； (3)在线段PB上是否存在点G，使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. （3）法一：利用空间四点共面的条件列式求解； 法二：A、E、F、G四点共面转化为与平面的法向量垂直，列式求值. 【详解】（1）由PA⊥平面ABCD，平面ABCD，则PA⊥CD，………（1分） 又AD⊥CD，，PA，平面PAD，所以CD⊥平面PAD．………（3分） （2）以A为原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………（4分） 则有，，，，， E为PD的中点，得，，得，………（6分） 则有，，，………（7分） 设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，，得， ………（10分） 平面PAD的一个法向量，设面PAD与面AEF夹角为θ，则，故平面PAD与平面AEF夹角的余弦值为．………（12分） （3）法一：若线段PB上存在点G使A、E、F、G四点共面，设，，则，，………（14分） 若A、E、F、G四点共面，则， 即，………（16分） 对比系数可得， 所以线段PB上存在点G，使得A、E、F、G四点共面，此时．………（17分） 法二：若线段PB上存在点G使A、E、F、G四点共面，设，， 则，，………（14分） 若A、E、F、G四点共面，则AG在平面AEF内， 又平面AEF的一个法向量为，则有，解得．………（16分） 所以线段PB上存在点G，使得A、E、F、G四点共面，此时．………（17分） 19．（17分） 如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. (1)证明： (2)若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； (3)直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，点在线段的延长线上，且. 【分析】（1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可； （3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可. 【详解】（1）由题意，在图1中，，，，，， 则在图2中，， ，，，………（1分） 因为平面， 所以平面，而，则，………（3分） 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，………（4分） 则，………（5分） 所以，即.………（6分） （2）由（1）及为的中点， 则，，，，………（7分） 设平面的一个法向量， 则，即，令，得， ………（9分） 设与平面所成的角为， 所以.………（11分） （3）假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设， 由（1）知，，，………（12分） 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 而平面的一个法向量为，………（14分） 由于平面平面， 当且仅当，即时成立，………（16分） 所以直线上存在点，使平面与平面垂直， 此时点在线段的延长线上，且.………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $