专题06 数列与单调性、周期性、最大（小）项、绝对值的综合应用讲义——2026届高三数学一轮复习

专题06 数列与单调性、周期性、最大（小）项的综合应用 公式基础：题型归纳型 一、数列的性质有关知识点和问题的解题策略 (1)单调性 如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列. 解题策略：(1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. (2)作商比较法： ①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列； ②当an<0时，数列{an}是递减数列；数列{an}是递增数列；数列{an}是常数列； (2)周期性 如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. 解题策略：解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中an＋1＝，即f(x＋1)＝， (3)求数列的最大项、最小项 1.比较法 利用作差比较法或作商比较法判断出数列的单调性，进而找出数列的最小项或最大项。 2.不等式组法 令(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N')，解不等式组，找出数列的最小项或最大项。 解题策略三种方法： ①.当时，解不等式组，可得取到最大值时的值； 当时，解不等式组，可得取到最小值时的值； ②.找到数列中的正负(或负正)转化项，即令，求出，如为整数(即存在为零项)，则答案为两个，，如不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即(取整（或高斯)函数); ③.利用(二次函数)来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有时，答案有两个，其余为一个。 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （3），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 三、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 课前热身 1．（24-25高三上·陕西咸阳·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，记，则使得的最小正整数的值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 3．（24-25高三上·全国模拟）(多选)下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 4．（24-25高三下·四川资阳·期末）(多选)数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 5．（24-25高三下·河南南阳·期末）(多选)已知为数列的前n项和，若，且，则（    ） A． B．是周期数列且周期为4 C． D． 6．（25-26高三上·河北沧州·期中）(多选)已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 题型一 数列的单调性及其应用 例1．（2025高三·全国·模拟预测）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 2.（2025·江西赣州·一模）(多选题)已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列为单调数列 D．数列为单调数列 【感悟提升】 (1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. 变式训练：1.（24-25高三上·江苏盐城·期末）(多选题)数列的前n项和为，若，则（    ） A．是等比数列 B．是单调数列 C．是单调数列 D．是单调递增数列 2.（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)探究数列是否为单调数列； (2)求数列的前项和. 题型二 数列的周期性及其应用 例2．(24-25高三上·河南安阳·模拟)(多选题)下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·三模）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． (1)已知数列满足：，判断是否是纯周期数列，并求； (2)记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，使得． 【感悟提升】 解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中an＋1＝，即f(x＋1)＝， 变式训练：2.(2025·广西河池·二模)(多选题)已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 3.（2024高三·全国·专题练习）(多选题)已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（    ） A．数列是周期数列 B． C． D． 题型三 数列的最大（小）项 例3．（2025·河南南阳·模拟预测）(多选题)已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 4．（2025·河北石家庄·二模）(多选题)已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 【感悟提升】 令(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N')，解不等式组，找出数列的最小项或最大项。 变式训练：3.（2025·山西晋中·三模）(多选题)已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有个 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的的值为 4.（24-25高三上·江西·期中）(多选题)在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（    ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项 题型四 求数列的前n项和Sn的最值 例4．（2025高三·全国·模拟测试）(多选)已知数列的前项和为，且满足，(，)，则的最值为（    ）. A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 5. （25-26高三上·广东·开学考试）记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 【感悟提升】 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用求数列中的最大项；利用求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 变式训练：4.（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 5.（24-25高三下·北京模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和的最值； (3)设，求数列的前项和． 题型五 函数法求数列的最值 例5．（24-25高三·吉林·期末）(多选)数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 6.（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】 一、找到数列中的正负(或负正)转化项，即令，求出，如为整数(即存在为零项)，则答案为两个，，如不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即(取整（或高斯)函数);二、利用(二次函数)来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有时，答案有两个，其余为一个。 变式训练：5.（24-25高三·江西抚州·期末·多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根c，b，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，下列说法正确的是（   ） A．（其中） B．数列是递增数列 C． D．数列的前项和 题型六 数列含有绝对值应用 例6．（2025高三·天津·模拟）在某物理实验中，一个粒子沿直线运动，初始速度8 m/s，加速度m/s².每秒结束时记录瞬时速度，则前10秒结束时速度绝对值的和为（ ） A．10 B．50 C．52 D．62 7．（2025高三·北京·模拟）已知等差数列的前项和为,与的等差中项为,. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【感悟提升】 若有正有负,求的前项和,通常通过去绝对值,把变号与不变号的分为两部分分别求和再相加,求和时注意对n进行讨论. 变式训练：6.（2025·江苏泰州·二模）(多选)对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为1 C．的最大值为2025 D．的最大值为2024 2026高考模拟热身训练 1．（24-25高三下·浙江·期中）将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国模拟）已知数列的通项公式是，则（    ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 3．（24-25高三上·湖南·期末）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时的最小值为 4．（24-25高三下·北京西城·期中）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 5．（24-25高三下·山东·期中）(多选)数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A． B．是周期数列 C． D． 6．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期中）记数列的前项和为，若，则（    ） A．若为等差数列，则 B．若为等比数列，则 C．若，则为周期为3的数列 D．若，则 7．（25-26高三上·浙江杭州·期中）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 8．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B．为单调递增数列 C．使的的最小值为18 D．当且仅当时，最小 9．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）(多选)已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（    ） A． B． C．最小 D． 10．（24-25高三下·广东深圳·期中）(多选)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．数列中绝对值最小的项是 D．的最大值是 11．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知数列中，，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数，设函数，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列与单调性、周期性、最大（小）项的综合应用 公式基础：题型归纳型 一、数列的性质有关知识点和问题的解题策略 (1)单调性 如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列. 解题策略：(1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. (2)作商比较法： ①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列； ②当an<0时，数列{an}是递减数列；数列{an}是递增数列；数列{an}是常数列； (2)周期性 如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. 解题策略：解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中an＋1＝，即f(x＋1)＝， (3)求数列的最大项、最小项 1.比较法 利用作差比较法或作商比较法判断出数列的单调性，进而找出数列的最小项或最大项。 2.不等式组法 令(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N')，解不等式组，找出数列的最小项或最大项。 解题策略三种方法： ①.当时，解不等式组，可得取到最大值时的值； 当时，解不等式组，可得取到最小值时的值； ②.找到数列中的正负(或负正)转化项，即令，求出，如为整数(即存在为零项)，则答案为两个，，如不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即(取整（或高斯)函数); ③.利用(二次函数)来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有时，答案有两个，其余为一个。 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （3），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 三、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 课前热身 1．（24-25高三上·陕西咸阳·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，记，则使得的最小正整数的值为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 答案C 思路分析：由可因式分解，求得的取值范围，结合等比数列等比中项的性质表示即可求得. 解 由，所以， 所以或又，所以0，又，所以， 所， 则使得的最小正整数的值为27.故选:C. 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列关于等差数列单调性的结论正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则公差 B．若公差，则数列一定是递增数列或者递减数列 C．若，则数列是递减数列 D．若，则数列是递增数列 答案ABD 解 对于A，若数列是递增数列，则，即公差，故A正确； 对于B，若公差，则或， 当时，有，则是递增数列；当时，有，则是递减数列，故B正确；对于C，若，因为数列是等差数列， 则，所以数列是递增数列，故C错误；对于D，若，因为数列是等差数列，则，即，所以数列是递增数列，故D正确.故选：ABD 3．（24-25高三上·全国模拟）(多选)下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 答案 ABD 解 对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误; 对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误; 对于C,因为,即,整理得且,所以,则,所以数列是递减数列,故C正确; 对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误.故选:ABD. 4．（24-25高三下·四川资阳·期末）(多选)数列满足，，则（   ） A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 答案AC 解 由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为3，所以，故D错误.故选：AC 5．（24-25高三下·河南南阳·期末）(多选)已知为数列的前n项和，若，且，则（    ） A． B．是周期数列且周期为4 C． D． 答案 BCD 解 A选项，当时，，即，解得， 当时，，即，解得，A错误； B选项，当时，，即，解得， 当时，，即，解得，循环，故是周期数列且周期为4，B正确；C选项，，C正确； D选项，由于，故，D正确.故选：BCD 6．（25-26高三上·河北沧州·期中）(多选)已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 答案 ACD 解 A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确；B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：，于是当时，，显然，符合，所以本选项正确；D：由上可知：，令， 显然当时，因为， 所以，而，显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确，故选：ACD 题型一 数列的单调性及其应用 例1．（2025高三·全国·模拟预测）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 答案D 思路分析:由，可得或，然后逐项讨论 解 设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或.当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误；又，且，①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值；综上所述，有最小值，C错误，D正确．故选：D. 2.（2025·江西赣州·一模）(多选题)已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列为单调数列 D．数列为单调数列 答案 BC 思路分析:根据条件得到或，再对各个选项逐一分析判断. 解 设数列的首项为，公比为，由题有，解得或， 对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，当，显然有，当时， ，所以，故选项B正确， 对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列， 当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确， 对于选项D，由选项B知，所以， 当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误， 故选：BC. 【感悟提升】 (1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. 变式训练：1.（24-25高三上·江苏盐城·期末）(多选题)数列的前n项和为，若，则（    ） A．是等比数列 B．是单调数列 C．是单调数列 D．是单调递增数列 答案 ACD 思路分析:根据递推公式求出数列的通项公式，然后逐项检验即可求解. 解 当时，，∴， 时，， ∴，∴， ， ∴是以为公比的等比数列，A对， 无单调性，B错，， ∴， ， ∴是单调递减数列，C对， ，则是单递增数列，D对， 故选：ACD． 2.（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)探究数列是否为单调数列； (2)求数列的前项和. 答案(1)数列不是单调数列. (2) 思路分析:（1）当时，利用，求出数列的递推关系式即可得解； （2）利用错位相减法求和. 解 （1）由题意得，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列， 无单调性，故数列不是单调数列. （2）由（1）可得，所以，故． 所以，① ，② ①-②得 所以 题型二 数列的周期性及其应用 例2．(24-25高三上·河南安阳·模拟)(多选题)下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有（   ） A． B． C． D． 答案 AC 思路分析:根据数列的周期性对选项进行分析，从而确定正确答案 解 对于A：由选项知，又，计算得， 因此为周期数列，且周期为4，故A正确； 对于B：，，， ，…，不是周期数列，故B错误； 对于C：；；；；； ，…，，归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，故C正确； 对于D：是单调递增数列，不是周期数列，故D错误．故选:AC 3．（2025·河北秦皇岛·三模）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列． (1)已知数列满足：，判断是否是纯周期数列，并求； (2)记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足 ①若，证明：数列是纯周期数列； ②证明：不论为何值，总存在，使得． 答案 (1)数列是周期为6的纯周期数列，(2)①证明见解析；②证明见解析 思路分析:（1）通过列举，确定函数周期，即可求解； （2）①分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想； 根据①的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可. 解 （1）写出数列的前几项： 1，3，2，，，，1，3，2，，，，1…， 数列是周期为6的纯周期数列，． （2）证明：①时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 时，， 此时，数列为常数列，为纯周期数列； 根据上述计算得出猜想： 当时，数列为常数列也是纯周期数列． 下面进行验证： 当时，， 此时数列为常数列，也是纯周期数列． ②首先，根据①的分析，发现当时，数列为常数列， 也是纯周期数列，满足题意； 接下来证明，当时，也存在，使得， 因为，所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可． 当时，显然存在值为1的项， 当时，有或， 若为偶数，则， 若为奇数时，则， ， 所以，即无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且， 类似的，可得无论为奇数还是偶数，均有； 特别的，当为奇数时，且取得等号）； 所以无论为奇数还是偶数，均有； 若，则恒为奇数且， 于是，假设数列的且， 所以恒为奇数且， 由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数． 设为第一个值为的项，而， 故， 这与“是第一个值为的项”相矛盾， 所以数列除第一项外，还存在不属于区间的项． 假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾， 所以数列除第一项外，存在不属于区间和的项， 以此类推，数列一定存在小于值为2的正整数的项，即存在值为1的项，得证． 【感悟提升】 解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中an＋1＝，即f(x＋1)＝， 变式训练：2.(2025·广西河池·二模)(多选题)已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 答案ACD 思路分析:根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD. 解 对于A，由，得，A正确； 对于BC，由，得， 则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，，则，解得，D正确. 故选：ACD 3.（2024高三·全国·专题练习）(多选题)已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（    ） A．数列是周期数列 B． C． D． 答案 ABD 思路分析:先将递推关系式进行转化，得到，由，计算得到，，，，的值，观察可得为周期数列，且周期为4，即可判断选项A；根据周期数列的性质，即可判断选项B，C，D. 解 选项A：易知，由，得， 又，计算得，，，， 因此为周期数列，且周期为4，A正确. 选项B：由A知，，B正确, 选项C，D：由周期性，得， ，则，故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型三 数列的最大（小）项 例3．（2025·河南南阳·模拟预测）(多选题)已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 答案 ACD 思路分析:由等差数列建立等式，整理后判断A选项；由等比数列项之间的关系得到，根据题意验证，然后得到数列通项公式判断B选项；由等比数列的前项和公式求出，并讨论为奇数和偶数得到的取值范围，借助函数的单调性求得最大项和最小项. 解 设等比数列的公比为. 对于A，由题意得， 则，故A正确； 对于B，由A项，可得，∴，当时，， 此时可知数列为递增数列，故舍去； 故，∴，故B错误；对于C，，当为奇数时，，而指数函数在上单调递减，∴； 当为偶数时，，而指数函数在上单调递减， ∴，故得， 又∵函数在上单调递增，∴， 当时，时为最大项，故C正确， 当时，为最小项，故D正确.故选：ACD. 4．（2025·河北石家庄·二模）(多选题)已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4 答案 ABD 思路分析:首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可 解 因为，所以， 令，即，解得， 又，所以当时，则当或时， 令，解得，所以，， 所以数列有最小项，且有最大项，故A正确； 由，则又，所以或或或或， 所以使的项共有项，故B正确； 要使，又，所以、、中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的的值共有个，故C错误； 因为时，时，所以当为时取得最小值，故D正确. 故选：ABD 【感悟提升】 令(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N')，解不等式组，找出数列的最小项或最大项。 变式训练：3.（2025·山西晋中·三模）(多选题)已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有个 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的的值为 答案 AD 思路分析:构造，由函数的单调性得的单调性，从而有，，即可判断A，C，D的正误；对于B，利用，直接求出的个数，即可求解. 解 令，易知在，上单调递减， 所以当时，，时，， 又由，知， ， 对于A，由上述分析知数列有最小项，且有最大项，故A正确； 对于B，由，知，又，所以或或或， 所以使的的值共有个，故B错误； 对于C，要使，又，所以，，中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的n的值共有个，故C错误； 对于D，因为时，，时，，所以当时，取得最小值，故D正确．故选：AD. 4.（24-25高三上·江西·期中）(多选题)在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（    ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项 答案 BC 思路分析:由，，可得，，结合分析可得，，，则为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.，根据单调递减和，可知为的最大项，则选项C正确，选项D错误. 解 由，因此. 又因为则. 当时，，则，，则，与题意矛盾. 因此.则为单调递减数列，故选项A错误. 而，故，选项B正确. 又因为为单调递减数列，则， 由可知，，， 所以当时，，则. 当时，，则. 因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误. 题型四 求数列的前n项和Sn的最值 例4．（2025高三·全国·模拟测试）(多选)已知数列的前项和为，且满足，(，)，则的最值为（    ）. A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 答案 BC 思路分析:利用判断出数列是等比数列并求得通项公式，由此求得的表达式，对分成奇数和偶数两种情况进行分类讨论，由此求得的最大值、最小值. 解 ∵时， ∴时， ∴， ∴时，， 即数列从第二项开始为公比为的等比数列， 又当时，，则， 综上数列是首项为、公比为的等比数列， ∴，则， 当为奇数时，，随的增大而减小，则， 当为偶数时，，随的增大而增大，则， 故的最小值为，最大值为.故选：BC. 5. （25-26高三上·广东·开学考试）记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 答案 (1) (2)证明见解析 (3)的最小值为，无最大值 思路分析:（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解. （2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明. （3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值. 解 （1）已知，则当时，有. ，，即，解得． （2）由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 【感悟提升】 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用求数列中的最大项；利用求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 变式训练：4.（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 答案 A 思路分析:把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断 解 令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项，故选：A． 5.（24-25高三下·北京模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和的最值； (3)设，求数列的前项和． 答案 (1)， (2)，没有最大值 (3) 思路分析:（1）根据下标和性质求出，即可求出公差，从而求出的通项公式，再求出，即可求出，从而求出的通项公式； （2）根据等差数列求和公式及二次函数的性质计算； （3）由（1）可得，再由等比数列求和公式计算. 解 （1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列， 且，，即， 所以公差，则，所以， 又因为，，即，所以公比，所以； （2）数列的前项和， 所以或时，取得最小值，且，没有最大值； （3）由（1）可得， 所以的前项和． 题型五 函数法求数列的最值 例5．（24-25高三·吉林·期末）(多选)数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 答案 AB 解 对于A：令，即，即数列的前6项和最大，故A错误；对于B：当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若为等差数列，则，所以数列也是等差数列，故D正确.故选：AB. 6.（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解 是关于的二次函数，其对称轴为， 因为，且在区间上单调递增， 所以正零点一定在区间上， 又因为， 所以，所以，则，故.故选：A． 【感悟提升】 一、找到数列中的正负(或负正)转化项，即令，求出，如为整数(即存在为零项)，则答案为两个，，如不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即(取整（或高斯)函数);二、利用(二次函数)来求最值，但注意取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称轴含有时，答案有两个，其余为一个。 变式训练：5.（24-25高三·江西抚州·期末·多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根c，b，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，下列说法正确的是（   ） A．（其中） B．数列是递增数列 C． D．数列的前项和 答案 BD 解 对于选项A，，得，，故A错误. 对于选项B，二次函数有两个不相等的实根，设，，则，，在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，，，即，数列是公比为，首项为的等比数列，，显然数列是递增数列，故B正确.对于选项C，由以上可知，令，则，故C错误. 对于选项D，，得，故D正确.故选：BD. 题型六 数列含有绝对值应用 例6．（2025高三·天津·模拟）在某物理实验中，一个粒子沿直线运动，初始速度8 m/s，加速度m/s².每秒结束时记录瞬时速度，则前10秒结束时速度绝对值的和为（ ） A．10 B．50 C．52 D．62 答案B 思路分析:将题意转化为等差数列，可得出数列的通项公式，根据的正负分类讨论，结合等差数列前项和计算即可. 解 记第秒末的瞬时速度为，速度绝对值的和为. 由题意，数列为的等差数列，所以. 当时，，；当时，，. 所以前10秒结束时速度绝对值的和为.故选：B. 7．（2025高三·北京·模拟）已知等差数列的前项和为,与的等差中项为,. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 解（1）设等差数列的首项为,公差为, 由题意可知,,, 所以,解得：,,所以； （2）由（1）可知,,,当时,, 所以当时,, 当时, , ,, 所以. 【感悟提升】 若有正有负,求的前项和,通常通过去绝对值,把变号与不变号的分为两部分分别求和再相加,求和时注意对n进行讨论. 变式训练：6.（2025·江苏泰州·二模）(多选)对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（    ） A．的最小值为0 B．的最小值为1 C．的最大值为2025 D．的最大值为2024 答案 BC 解 对于，对于连续四个奇数，，由题意运算，其结果最小值为； 同理，对于连续四个偶数，，由题意运算，其结果最小值为， 在1到2025的2025个整数中有1013个奇数和1012个偶数，，， 由，经过计算最小值为，且，经过计算最小值为，则的最小值为； 除2025外，前2024个数中有1012个奇数和1012个偶数，前2024个数经过计算最小值为0， 所以的最大值为2025. 故选：BC 2026高考模拟热身训练 1．（24-25高三下·浙江·期中）将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解 1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，共有种情况， 其中为单调数列的有2个，即1，2，3，4，5和5，4，3，2，1， 所以概率为. 故选：A 2．（24-25高三·全国模拟）已知数列的通项公式是，则（    ） A．不是单调数列 B．是递减数列 C．是递增数列 D．是常数列 答案 C 解 因为，所以是递增数列.故选：C. 3．（24-25高三上·湖南·期末）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时最小 D．时的最小值为 答案 D 思路分析: 根据等差数列基本量的计算可得，进而根据递增即可判断AB,根据和即可判断CD. 解 由得， 由于是递增数列，所以，，故A,B错误， ，由于， 故当,时，，当时，, 当,时，， 因此当或时最小，故C错误，，由于，故解得，故时的最小值为，D正确.故选：D 4．（24-25高三下·北京西城·期中）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 答案D 思路分析:根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 解 由函数，得， 令， 则， 两式相加得解得.故选：D. 5．（24-25高三下·山东·期中）(多选)数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（    ） A． B．是周期数列 C． D． 答案ABC 解 由题意，数列满足，， 当n=1时，；当n=2时，； 当n=3时，；当n=4时，； 当n=5时，；当n=6时，，， 归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确； 又由，所以C正确； 因为，所以，所以D错误．故选：ABC． 6．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·期中）记数列的前项和为，若，则（    ） A．若为等差数列，则 B．若为等比数列，则 C．若，则为周期为3的数列 D．若，则 答案 ABD 解 若为等差数列，则公差，所以，故A正确； 若为等比数列，则公比，所以，故B正确； 若，则为周期为6的数列，故C错误； 因为，则 ， ，故D正确；故选：ABD 7．（25-26高三上·浙江杭州·期中）设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 答案 AC 解 A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为，所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确，故选：AC 8．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B．为单调递增数列 C．使的的最小值为18 D．当且仅当时，最小 答案 BC 解 A选项，设公差为，则，解得， 故，，A错误； B选项，因为，故为单调递增数列，B正确； C选项，，令得或（舍去）， 故使的的最小值为18，C正确； D选项，因为，当时，，当时，， 当时，，故当或9时，最小，D错误.故选：BC 9．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）(多选)已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（    ） A． B． C．最小 D． 答案 ABD 解 因为是等差数列， 所以，所以 即，即所以 所以正确的有ABD故选：ABD 10．（24-25高三下·广东深圳·期中）(多选)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（    ） A．， B．， C．数列中绝对值最小的项是 D．的最大值是 答案 BCD 解 因为，所以 又因为，所以，所以. 所以等差数列的，为递减数列，所以，故B正确，A错误. 所以的最大值是，故D正确. 因为，结合数列等差数列单调性，所以，即，所以数列中绝对值最小的项是，故C正确.故选：BCD 11．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知数列中，，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数，设函数，求. 答案 (1)证明见解析 (2) 思路分析: （1）由题意得，利用等差数列的定义即可求证； （2）由（1）得，进而得，求导得，即，最后利用错位相减法即可求解. 解（1）证明：由已知可得：即   所以是以为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得：所以， 所以， 故， 可得①， 所以②， 由①②有： ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $