精品解析：重庆市南坪中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

南坪中学高2025级高一（上期）10月月考 数学 考试范围：第一章，第二章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求解集合的交集即可. 【详解】由题可得，故A正确. 故选：A. 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】为，. 故选：C. 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，由得，进而求的范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由有，所以， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 5. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 【答案】B 【解析】 【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较. 【详解】解：设步行速度与跑步速度分别为，， 则，总路程为， 则甲用时间为，乙用时间为， 则. 所以，故乙先到教室. 故选：B. 6. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题得关于的不等式对一切实数恒成立，再对分两种情况讨论得解. 【详解】由题得关于的不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，所以时满足已知； 当时，由题得且， 解之得. 综上所述，. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 8. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“不动点”的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，对的取值进行讨论，结合二次函数零点的分布，列不等式，求解即可. 【详解】根据题意，可得在上恰有两个解， 即函数在区间上恰有两个零点， 当时，则有，解得，不满足题意； 当时，则有，即，解得； 当时，则有，即，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选到错误答案得0分，部分选对得部分分） 9. 已知全集，集合，则下列结论正确的是（ ） A. 集合中有6个元素 B. C. D. 的真子集个数是3 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算出集合后，结合集合性质逐个选项计算即可得. 【详解】由，且，故， 故集合中有5个元素，A错误； ，B正确； ，C正确； ，真子集个数是个，D正确. 故选：BCD. 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】结合特例法和不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对A，时不满足，故A项错误； 对B，，，即，故B项正确； 对C，若，，则，故C项正确； 对D，若且，则，当时，不满足，故D项错误. 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式得，再解不等式即可；对B，根据基本不等式，易知等号不成立；对C，由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对D，由，即可得解. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号， ，解得，即，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以，又恒成立， 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 使函数有意义的实数取值的集合为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据根号下的数为非负数以及分母不为零即可. 【详解】且得，且， 故函数有意义的实数取值的集合为且. 故答案为：且 13. 已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围． 【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题， 即有2a＜x0在[1，2]的最大值， 由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值， 则2a，可得a， 则实数a的取值范围为（﹣∞，）． 故答案为（﹣∞，）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 14. 已知，，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，令，可得出，再由基本不等式得出，整理得出，综合可解得的取值范围. 【详解】因为，，则， 则， 设，则， 所以，，解得或， 又因为，则有或， 若，则必有，， 所以，，矛盾，故应舍去， 所以，， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，整理可得， 因为，解得， 故，即， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于设，根据已知等式变形，结合基本不等式得出关于的不等式求解. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共计77分） 15. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）利用一元二次不等式的解法求解即可； （3）利用分式不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 不等式，其对应的一元二次方程为， 因式分解得，解得或， 二次函数的图象为开口向上的抛物线，且与轴交于和， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 不等式，其对应的一元二次方程为， 在方程中，得， 所以方程无实根， 二次函数的图象为开口向下的抛物线，且与轴无交点， 所以函数的值恒小于， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 将不等式移项，得，通分后化简，可得，即， 等价于且， 一元二次方程的解为或， 二次函数的图象为开口向上的抛物线，且与轴交于和， 所以不等式的解集为， 又，解得， 所以不等式的解集为. 16. 已知集合． （1）当时，求：;； （2）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足___________时，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或； （2）①②③任一条件， 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据集合的交集、并集、补集的概念求解； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况讨论. 【小问1详解】 当时，，则，或， 则或； 【小问2详解】 由、、均可得出， 若，即，集合为空集，符合； 若不为空集，由，得，，，得， 综上，由①②③任一条件均可得出实数的取值范围为. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 【答案】（1）22 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 则，解得， 所以的值为22. 【小问2详解】 由题意可知底面长，墙面面积为， 所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以报价的最小值约为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 参变分离可得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）①； ②存在实数，对任意时，有成立， 由①知，， 由，则， 即对任意成立， 则，解得， 则的取值范围为. （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）①由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； ②转化题目为对任意成立，结合一次函数的性质求解即可； （2）转化问题为解不等式，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 ①由题意，为方程的根，且， 则，解得； ②略 【小问2详解】 由，则， 即， 当时，不等式为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式为， 令，得或， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南坪中学高2025级高一（上期）10月月考 数学 考试范围：第一章，第二章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） A. 甲先到教室 B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室 D. 谁先到教室不确定 6. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 8. 在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选到错误答案得0分，部分选对得部分分） 9. 已知全集，集合，则下列结论正确的是（ ） A. 集合中有6个元素 B. C. D. 的真子集个数是3 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 使函数有意义的实数取值的集合为___________． 13. 已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______． 14. 已知，，且，则的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共5小题，其中15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分，共计77分） 15. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 16. 已知集合． （1）当时，求：;； （2）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足___________时，求实数的取值范围． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为56平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案. 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求实数的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $