精品解析：辽宁大连文谷高级中学2026-2027学年高二上学期10月诊断测试数学试题

2026－2027学年高二10月诊断测试 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（ ） A. B. a C. D. 5. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 与夹角的余弦值是 C. 经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D. 坐标原点关于平面的对称点是 10. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 经过平面上不同的两点，的直线方程为 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 14. 已知，，则二元函数的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 16. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义 （1）若，求； （2）已知．若点在直线上，设，按上述定义得到，记Q点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线l，使得对于l上任意一点P，经过上述定义变换后的点Q仍在l上？若存在，求出所有这样的直线l的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年高二10月诊断测试 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 2. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 3. 已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【详解】由题意知，，则， 则，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：A 4. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（ ） A. B. a C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 5. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 6. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 与夹角的余弦值是 C. 经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D. 坐标原点关于平面的对称点是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知写出对应向量的坐标，应用单位向量的定义，夹角的坐标运算，点法式写出平面方程及对称性写出对称点判断各项的正误. 【详解】，，， 对于A：，与同向的单位向量为，正确； 对于B：， 则与夹角的余弦值为，错误； 对于C：由平面点法式方程，代入点A和法向量得，化简得，正确； 对于D：平面的法向量为，平面方程为， 设原点对称点为，则与平行，且中点在平面上，解得，错误. 10. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 经过平面上不同的两点，的直线方程为 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查直线方程的综合应用，涉及两点式方程、直线过定点、直线与线段相交的参数范围、三线共点/平行的条件、角平分线的性质，需逐项分析判断. 【详解】是直线两点式的整式形式，对任意不同两点均适用，若，方程化简为，对应垂直轴的直线， 若，方程化简为，对应垂直轴的直线，斜率存在时可变形为标准两点式，选项A正确； 直线整理为，过定点，直线与线段相交等价于、在直线两侧或在直线上， 设，、在直线两侧或在直线上可以转化为，即，解得或，选项B正确； 三条直线不能构成三角形分三类：①当直线与平行，得；②当直线与平行，得； ③三线共点：前两条直线交点为，代入第三条直线得，所有可能的取值组成的集合为，选项C错误； 设（在直线上），关于直线对称的点在直线上， 由和得直线：，所以，即，并非，选项D错误. 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得，.对于A：根据线面平行结合空间向量确定点P的轨迹，进而求出轨迹长度；对于B：利用向量的方法求出异面直线所成角的取值范围；对于C：求平面的法向量，利用空间向量怎么面面垂直；对于D：利用空间几何体的展开图求出的最小值． 【详解】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为空间中四点，任意三点不共线，对于平面外一点，，若四点共面，则的值为____________ 【答案】4 【解析】 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 13. 已知点，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得，，则， 又，，所以， 则点到直线的距离为. 14. 已知，，则二元函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用不等式： 化简即可． 【详解】根据均值不等式： 所以有 当且仅当 时取等号． 【点睛】直接利用不等式：化简．属于中档题 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； 【小问2详解】 当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. 【小问3详解】 因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 16. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意知：， ，； 【小问2详解】 ，，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3） 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标． （1）直接由两点间的距离公式可得； （2）把（1）中求得利用配方法求最值； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解． 【详解】解：如图建立空间直角坐标系， ，， ， ， ，， ． （1）； （2）， 当时，最小，最小值为； （3）由（2）可知，当，为中点时，最短， 则，0，，，，，取的中点，连接，， 则，，， ，，，， 是平面与平面的夹角或其补角． ，， ． 平面与平面夹角的余弦值是． 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【小问1详解】 作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. 【小问2详解】 因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， 【小问3详解】 设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义 （1）若，求； （2）已知．若点在直线上，设，按上述定义得到，记Q点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线l，使得对于l上任意一点P，经过上述定义变换后的点Q仍在l上？若存在，求出所有这样的直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）当时，，变换公式为，即 ，所以； 代入直线方程，得. 若且，则，与不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线， 所以点在某一条直线上. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）（i）根据定义先求出，再利用表示出，代入直线方程中整理得到关于的一次方程， 通过说明一次项系数不全为0证得结论； （ii）设直线为，将代入直线方程整理得到一个新直线方程，根据两直线方程表示同一直线， 分，两种情况讨论求出直线. 【小问1详解】 已知，则， 故. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设直线为（不全为零）， 对上任意点，要求也在上，则， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线. 若（不过原点），则两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故， 均等价于，即. 此时. 若（过原点）, 直线为，变换后为； 若两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例， 即. 若，即，则，即上面的情形； 若，即，则； 当时，，变换后为，不是同一直线； 当时，，变换后为，也不是同一直线，均排除. 综上，满足条件的直线为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $