专题11 一元一次方程与实际问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题11 一元一次方程与实际问题 目录 2 类型一、配套问题 2 类型二、工程问题 2 类型三、销售问题 3 类型四、比赛积分问题 3 类型五、数字问题 3 类型六、行程问题 3 类型七、几何问题 3 类型八、和差倍分问题 4 类型九、阶梯收费问题 4 类型十、方案选择问题 4 类型十一、古代问题 4 类型十二、日历问题 4 类型十三、年龄问题 4 类型十四、其它问题 5 5 类型一、配套问题 解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 1．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 3．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 类型二、工程问题 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？ 6．（20-21七年级上·安徽铜陵·期末）一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程． (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元． 类型三、销售问题 (1)商品利润=商品售价-进价； (2)商品利润率=(商品利润÷进价)×100%； (3)商品销售额=商品销售价×商品销售量； (4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量； 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． (1)若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ (2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 类型四、比赛积分问题 10．（20-21七年级上·安徽·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 11．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 12．（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 类型五、数字问题 13．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 14．（22-23七年级上·安徽淮南·期末）观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 15．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 类型六、行程问题 1）相遇问题：甲走的路程十乙走的路程=两地距离. 2）追击问题： ①同地不同时出发：慢者先行的路程+慢者被追击路程=快者追击的路程 ②同时不同地出发：慢者所行的路程+快慢两者间的距离=快者所行的路程 3）航行问题：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度. 16．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）在比例尺1:2000000的地图上量得两地距离是5厘米．甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 17．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 18．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 19．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年座谯城・浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅．已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是80千米/时，②号车的行驶速度是72千米/时，①号车比②号车早到小时，求合肥与亳州相距多少千米？ 21．（20-21七年级上·云南昆明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 类型七、几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 23．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，，若，求的度数． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 类型八、和差倍分问题 26．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 27．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 28．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 类型九、阶梯收费问题 29．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 31．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月结算） 每月用水量 单价：元/立方米 不超出8立方米（含8立方米）部分 2.8 超出8立方米，不超出12立方米（含12立方米）部分 3.6 超出12立方米部分 4.8 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民11月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费． (2)若某户居民12月份交水费56元，则用水量为多少立方米？ 类型十、方案选择问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 32．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 33．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 34．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 类型十一、古代问题 36．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 37．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 38．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 类型十二、日历问题 左右数字相差1，上下数字相差7 39．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 40．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 41．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 类型十三、年龄问题 知道年龄差，利用过去或未来的年龄关系列方程； 不知道年龄差，根据年龄差值不变列方程. 42．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，彤彤去问妈妈的年龄，妈妈说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我就岁啦！”请问妈妈现在多少岁了？ 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 类型十四、其它问题 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有两个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形，以此类推… 根据上面规律， (1)第（5）个图案中有______个正方形； (2)第个图案中有______个正方形； (3)小明同学说他搭成的图案中，得到了2025个正方形，你认为他的结论正确吗？说明理由． 47．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）用火柴棒按图中的方式搭图形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 7 12 ______ ______ ______ (2)按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴棒根数； (3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若图中产生2024个正方形，则需用多少根火柴棒搭图形？ 48．（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 49．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某校七年级同学准备统一去观看电影《志愿军：存亡之战》，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人以上的团体票有两种优惠方案可选择． 方案一：全体人员打折；       方案二：有人可以免票，剩下的人员打折． (1)若某班有人，请用含的代数式表示方案一的票价为________元，方案二的票价为________元； (2)若一班有人，他们应该选择哪种方案？ (3)二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？ 50．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）为落实“五育并举”全面发展的育人要求，发挥以美育人的作用，培养学生健康的审美情趣和良好的艺术修养，育人中学为了锻炼学生的身体，现在九年级举行5对5篮球赛，并设立了特等奖、一等奖和参与奖，根据班级的数量，购买了50件奖品，已知特等奖的奖品每件20元，一等奖奖品每件10元，参与奖奖品每件8元，且参与奖奖品的数量比特等奖奖品的数量的2倍还多5件． (1)若购买特等奖奖品件，请用含的式子表示一等奖的数量和参与奖的数量； (2)在（1）的前提下，用含的式子表示50件奖品共花费的费用； (3)若参与奖奖品购买了15件，则该校购买此次比赛奖品共花费多少元？ 1．（24-25七年级上·江西九江·期末）（课本再现）下表列出了国外几个城市与北京的时差． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差 其中北京时间与纽约时间相差13小时，如北京时间为2025年1月1日上午9点时，则纽约时间为2024年12月31日20点． (1)当北京时间为0点时，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度；此时，纽约时间时钟的时针与分针的夹角是______度．经过分钟后，纽约时间时针与分针第一次重合，此时，______，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度． (2)小明与小亮都爱好数学，小明在九江，小亮在纽约，他们约定，当纽约时间进入2025年元旦后同时互发微信进行新年的祝福，互发的时间是：两地时间时钟的时针与分针的第一次出现夹角相等的时间，求这个互发的时间及夹角的度数． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 3．（22-23七年级下·福建漳州·期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．（22-23七年级上·河南郑州·期中）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动. (1)直接写出 ， ， ； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第 秒时，P，Q两点之间的距离为2． 5．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______． (3)若表示一个有理数，则的最小值______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元一次方程与实际问题 目录 2 类型一、配套问题 2 类型二、工程问题 2 类型三、销售问题 3 类型四、比赛积分问题 3 类型五、数字问题 3 类型六、行程问题 3 类型七、几何问题 3 类型八、和差倍分问题 4 类型九、阶梯收费问题 4 类型十、方案选择问题 4 类型十一、古代问题 4 类型十二、日历问题 4 类型十三、年龄问题 4 类型十四、其它问题 5 5 类型一、配套问题 解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 1．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工30人，有女工54人 (2)调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）首先设设调名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工30人，有女工54人； （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得：， 答：调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 3．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）某工厂现有木料，准备制作圆桌或方桌，用部分木料制作桌面，其余木料制作桌腿． (1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，木料可制作40个桌面或制作20条桌腿．要使制作出的桌面、桌腿恰好配套，则制作桌面的木料为多少? (2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．如果木料可制作50个桌面或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套? 【答案】(1) (2)用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用： （1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可． （2）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可． 【详解】（1）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， 答：制作桌面的木料为． （2）设用木料制作桌面，则用立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得： ， 解得：， ∴制作桌腿的木料为：． 答：用木料制作桌面，用木料制作桌腿恰好配套． 类型二、工程问题 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？ 【答案】3100套 【分析】设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可． 【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套， 依题意得：， 解得：x＝3100， 答：这批防护服原计划生产任为3100套． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． 6．（20-21七年级上·安徽铜陵·期末）一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作． (1)求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程． (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元． 【答案】(1)甲、乙两队合作20天才能完成该工程； (2)完成此项工程需付给甲乙两队共142000元． 【分析】（1）设甲、乙两队合作x天才能完成该工程，根据总工程量＝甲单独做4天完成的部分+甲、乙合作完成的部分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总费用＝单天费用×工作时间即可算出甲、乙两队的费用，将其相加即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两队合作x天才能完成该工程， 根据题意得：甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴， 解得：． 答：甲、乙两队合作20天才能完成该工程； （2）解：甲队的费用为（元）， 乙队的费用为（元）， （元）． 答：完成此项工程需付给甲乙两队共142000元． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及有理数混合运算的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 类型三、销售问题 (1)商品利润=商品售价-进价； (2)商品利润率=(商品利润÷进价)×100%； (3)商品销售额=商品销售价×商品销售量； (4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量； 7．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我校微尘爱心社的同学组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个）） 9 6 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了114元． ①设打折的商品中有个卡套，则：打折售出的小挂件有 个，原价售出的小挂件有 个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②打折后卖出的卡套10个，小挂件15个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折的商品中有个卡套，根据一共有50个，共卖出25个，则打折出售的小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）解：设批发卡套m个，则批发小挂件个， 根据题意得：， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）解：①设打折的商品中有个卡套，则打折卖出的小挂件有个， 原价售出的小挂件有个，即个； ②根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套10个，小挂件15个． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 【答案】售价相对进价应提高的增长率为 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． (1)若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ (2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 【答案】(1)两件衣服的原价分别为元，元； (2)两件衣服原价相差元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元，小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，据此列方程，解方程即可得到答案； （2）设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元，小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，据此列方程解方程即可． 【详解】（1）解：设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元， 则 解得 ∴（元） 答：两件衣服的原价分别为元，元； （2）设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元， 根据题意得到， 解得 解得 答：两件衣服原价相差元 类型四、比赛积分问题 10．（20-21七年级上·安徽·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 11．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2； (2)不可能胜场总积分能等于负场总积分 【分析】（1）仔细观察表格中的数据发现规律并计算即可； （2）仔细观察表格中的数据发现规律并设出未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得， 负一场积分为：（分， 胜一场的积分为：（分， 故答案为：1，2； （2）设胜场，负场， 由题知， 解得． ∴不可能胜场总积分能等于负场总积分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的重点语句找到等量关系并列出方程求解． 12．（24-25七年级上·广东广州·期末）如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 【答案】(1) (2)， ，， (3)不能 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用； （1）由队可以看出，负一场积1分，队负了8场得8分，胜了14场得分，因此计算即可； （2）如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分=胜场得分+负场得分即可； （3）根据“胜场总积分能等于负场总积分的倍”列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵队可以看出，负一场积分， ∴根据队得分可得胜一场积分； 故答案为：2； （2）解：如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为； 故答案为：；；. （3）解：根据题意可得：， 解得：， 不是整数， 不能， 答：胜场总积分不能等于负场总积分的倍． 类型五、数字问题 13．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 14．（22-23七年级上·安徽淮南·期末）观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）根据题意得到第二行数的规律是：第二行的第n个数是，第三行数的规律是：第三行的第n个数是，即可解题； （3）设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为，根据题意建立方程求解，得到的值，再根据，求解即可解题； 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． （2）解：同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 第二行的第n个数是，第三行的第n个数是； 第二行的第6个数是，第三行的第7个数是； （3）解：能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为， 根据题意有， 解得， ， ， k的值为5． 15．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 【答案】(1)66662345(答案不唯一) (2)22223456(答案不唯一) (3)88887654 【分析】（1）根据前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，写出答案即可； （2）根据前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，写出答案即可； （3）分两种情况进行讨论，①后五位数是依次增加的数，②后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果． 【详解】（1）解：如66662345(答案不唯一)； （2）解：22223456 (答案不唯一)； （3） 解：①后五位数是依次增加的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，， 根据题意，得： 解得： 不符合实际意义． ②后五位数是依次减小的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，，， 根据题意得： 解得：． 所以后四位数为7654，因此老师家的电话号码为：88887654． 答：小王得到仇老师家的电话号码是88887654． 【点睛】此题考查了推理与论证，一元一次方程的应用，解答本题的关键是分类讨论，弄清楚后五位数是依次减小还是依次增加，有一定难度． 类型六、行程问题 1）相遇问题：甲走的路程十乙走的路程=两地距离. 2）追击问题： ①同地不同时出发：慢者先行的路程+慢者被追击路程=快者追击的路程 ②同时不同地出发：慢者所行的路程+快慢两者间的距离=快者所行的路程 3）航行问题：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度. 16．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）在比例尺1:2000000的地图上量得两地距离是5厘米．甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲每小时行18千米，乙每小时行12千米 【分析】本题考查比例尺以及一元一次方程的应用，关键是由比例尺的定义求出两地的距离．先求出路程，再根据题意列方程解答即可． 【详解】解：、两地的实际距离为：（厘米）（千米）， 设甲车的速度为千米／时，则乙车速度是千米／时，根据题意得： ， 解得：， 乙车速度是（千米／时）， 答：甲每小时行18千米，乙每小时行12千米． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设列车的速度为每小时s千米，根据列车的长一定，列出方程，求出的值，设列车到达乙车的时间为t秒，根据列出行驶的总路程等于乙车行驶的总路程，列出方程求出，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 18．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地驶往乙地，货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发． (1)小轿车出发多长时间后追上货车？ (2)在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？ 【答案】(1)2小时 (2)1小时或3小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设小轿车出发小时后追上货车，根据小轿车追上货车时，小轿车和货车所行驶的路程相等； （2）设小轿车行驶小时后与货车相距，分两种情况：小轿车在追上货车之前，两车相距，小轿车在追上货车之后，两车相距，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小轿车出发小时后追上货车，根据题意得： ， 解得：． 答：小轿车出发2小时后追上货车． （2）解：设小轿车行驶小时后与货车相距， ①小轿车在追上货车之前，两车相距，则： ， 解得：； ②小轿车在追上货车之后，两车相距，则： ， 解得：， 答：小轿车行驶1小时或3小时后与货车相距． 19．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【答案】甲乙两地间的距离为204千米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设船在静水中的速度为千米小时，先根据路程相等，列方程，得到船的静水速度，继而求出甲、乙两地的距离． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米小时， 依题意，得：， 解得：， 故甲、乙两地的距离为：（千米）． 答：甲乙两地间的距离为204千米． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年座谯城・浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅．已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是80千米/时，②号车的行驶速度是72千米/时，①号车比②号车早到小时，求合肥与亳州相距多少千米？ 【答案】合肥与亳州相距320千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设合肥与亳州相距x千米，根据①号车比②号车早到小时列方程求解即可． 【详解】设合肥与亳州相距x千米， 根据题意得， 解得， ∴合肥与亳州相距320千米． 21．（20-21七年级上·云南昆明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______（用含的式子表示）； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①1；②或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）解：∵A，B两点间的距离为10，点A表示的数为6， ∴， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：；． （2）解：①∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， ∵点与点相遇， ∴， 解得， 答：当点运动1秒时，点与点相遇． ②根据题意得，， 解得或， 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 类型七、几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． (1)求的长； (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差计算，一元一次方程的应用，找出线段之间的数量关系是解题关键． （1）设的长为，则，再根据线段中点，得出，根据，求出的值，即可得出的长； （2）由（1）可得，，进而得到，即可求出长． 【详解】（1）解：设的长为， ， ， ， 点E是线段的中点， ， ， ， ，即， ； （2）解：，， ， 为线段的中点， ， ． 23．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，根据题意得出两点之间的距离是解题的关键． （1）先求出再根据长方形面积公式计算即可； （2）设点表示的数为，得出，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵两个长方形完全一样， ∴两个长方形的长和宽分别是， ∴长方形的面积为：； （2）解：设点表示的数为， ，， ∵， ∴， ∴ ∴点表示的数为 24．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线等知识，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．设，则，结合分别表示出，，结合角平分线的定义可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某包装盒设计为长方体，这个长方体可由长为，宽为的长方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒，其中长方形为盒底，设小正方形的边长为． (1)填空：______，______（用含x的代数式表示）； (2)若长方体纸盒的底面长是宽的3倍，求长方体纸盒的体积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据图形，即可解答； （2）根据长是宽的3倍，列出方程，求出x的值，再根据长方体体积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： ，； 故答案为：，； （2）解：， 解得：． ∴， ∴长方体纸盒的体积为． 类型八、和差倍分问题 26．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 【答案】编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项，根据编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个列方程求解即可． 【详解】解：设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项． 可得． 解得， 所以． 答：编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项． 27．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）因为环保、节能、高效，新能源汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车贸易公司计划用355万元资金采购一批新能源汽车，其中甲型新能源汽车每辆的进价为10万元，乙型新能源汽车每辆的进价为15万元． (1)设采购甲型新能源汽车x辆，完成下列表格． 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 (2)在（1）的条件下，若采购甲型新能源汽车的数量比乙型新能源汽车数量的3倍还多4辆，求甲、乙两种新能源汽车分别采购多少辆？ 【答案】(1)表格见解析 (2)采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【分析】（1）利用总价＝进价×数量，求出采购甲型汽车的总价，再用计划资金减去采购甲型汽车的总价，得到采购乙型汽车的总价，再利用数量＝总价÷进价，求出采购乙型汽车的数量，填表即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：采购甲型汽车的总价为：万元，则：采购乙型汽车的总价为：（万元）， ∴采购乙型汽车的数量为：辆， 填表如下： 型号 进价（万元/辆） 数量（辆） 总价（万元） 甲 10 x 乙 15 （2）解：由题意，得： ， 解得：； ∴辆， 即：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 答：采购辆甲种新能源汽车，辆乙种新能源汽车． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键． 28．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 (1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？ (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ 【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元 (2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可 （2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解． 【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得 4×2a－5×a＝60， 解得a＝20， 则2a＝40． 答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元； （2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意，得 解得 【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键． 类型九、阶梯收费问题 29．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 【答案】(1)他11月的月结话费是90元 (2) (3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据套餐A的收费方案列式求解； （2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解； （3）根据使用流量的多少，计算比较大小． 【详解】（1）解： = （元） 答：他的月结话费为90元． （2）解：根据题意得： 解得， 答：x的值是17； （3）解：设他使用的流量为， 当时，选择A套餐； 当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐， 当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元， 当，解得：， 即当时，选A套餐，当时，选B套餐； 综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用8月份的电费除以用电量求出的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设10月份的电量为度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 31．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月结算） 每月用水量 单价：元/立方米 不超出8立方米（含8立方米）部分 2.8 超出8立方米，不超出12立方米（含12立方米）部分 3.6 超出12立方米部分 4.8 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民11月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费． (2)若某户居民12月份交水费56元，则用水量为多少立方米？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式， （1）由结合11月应交水费超出8立方米部分，代入数据即可得出结论； （2）设该户居民12月份用水量为x立方米，先判断12月份的用水量的范围，再根据12月份交水费56元即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：该户居民 11 月份应交水费为：（元）． （2）解：当用水量为 12 立方米时，水费为：（元）， ∵， ∴该用户用水量超过 12 立方米． 设用水量为 x 立方米，则 ， 解得． 所以该用户12月份用水量为 16 立方米． 类型十、方案选择问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 32．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 33．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 34．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【答案】(1)租用了条四座电瓶船 (2)方案见解析；最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用． （1）根据题意，设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，列出方程并正确计算即可； （2）先计算出共有学生数量，设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则，再分别计算出方案一到方案三所花费用，进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 35．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【答案】方案三获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 类型十一、古代问题 36．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 37．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 【答案】木条的长度为尺． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺， 根据题意得：， 解得：． 答：木条的长度为尺． 38．（23-24七年级上·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房”，诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠；若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房4间，到了63名房客 (2)诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）设该店有客房x间，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房”，列方程求解即可； （2）根据题意得至少需要16间客房，按照优惠方式分别计算订16间房和20间房，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得， ∴（人）， 答：该店有客房8间，到了63名房客； （2）解：若每间房最多入住4人，得，则至少需要16间客房， ∵不低于10间但低于20间，给予九折优惠， ∴订16间房需要付（钱）， ∵等于20间或是超过20间的，给予七折优惠， ∴订20间房需要付（钱）， ∵， ∴诗中的“众客”再次一起入住，他们可以选择订20间房更合算． 类型十二、日历问题 左右数字相差1，上下数字相差7 39．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)小宝是星期二出发的 (2)的值能等于；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小宝出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小宝是星期二出发的； （2）解：的值能等于，理由如下： 假设的值能等于， “十型”阴影覆盖的最小数字为， “十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影， 符合题意， 假设成立，即的值能等于． 40．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了数字变化类，一元一次方程的应用，列代数式，解决本题的关键是寻找题目中隐含的规律． （1）根据表中的数据规律即可得出答案； （2）利用第一问的结果列出方程求解，在结合图中L形的规律解答即可． 【详解】（1）解：从上往下数第二个数为， 第一个数为，第三个数为，最右边的数为， 这四个数的和为：． （2）若这四个数的和是72，则有，解得， 则这四个数分别是：9，16，23，24． 但是从图中观察发现，要框住这4个数，无法用图中的L形框，故框柱的四个数的和不能等于72． 41．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将所有的奇数按照从小到大的顺序七个一行排列成一个数列表，在该数列表上面放置一个“中”字框． (1)求图中“中”字框框住的七个数字的平均值 (2)“中”字框可以在该数列表中上下左右移动，但总保持可以框住七个数字，随着“中”字框的移动，是否可以使其框住的七个数字之和为？并说明你的理由． 【答案】(1) (2)没有可能和为，见解析 【分析】本题考查了求平均数，一元一次方程的应用． （1）求出图中“中”字框框住的七个数字的平均值即可； （2）设中心为数字，根据上下相邻的数：上面的数比下面的数小，左右相邻的数：左边的数比右边的数小，根据特点写出个数，再列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：图中“中”字框框住的七个数字的平均值为． （2）解：设中心为数字，则“中”字的数字为，，，，，，， 解得， ，位于倒数第二列（行）， 由于至少为倒数第列，故没有可能和为． 类型十三、年龄问题 知道年龄差，利用过去或未来的年龄关系列方程； 不知道年龄差，根据年龄差值不变列方程. 42．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为________； (2)图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； (3)由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，彤彤去问妈妈的年龄，妈妈说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我就岁啦！”请问妈妈现在多少岁了？ 【答案】(1)9； (2)17，26； (3)妈妈现在的年龄为岁． 【分析】（1）由观察数轴可知三根这样长的木棒的长度，即可求出这根木棒的长； （2）由所求出的这根木棒的长，结合图中的已知条件即可求得和所表示的数； （3）根据题意，设数轴上小木棒的端表示彤彤的年龄，小木棒的端表示妈妈的年龄，则小木棒的长表示二人的年龄差，由此参照（）中的方法结合已知条件分析解答即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， 故答案为：； （2）解：由这根木棒的长为，所以点表示为，点表示为， 故答案为：，； （3）解：借助数轴，把彤彤和妈妈的年龄差看做木棒，妈妈像彤彤这样大时，可看做点移动到点，此时点向左移后所对应的数为，可知妈妈比彤彤大， ∴妈妈现在的年龄为（岁）． 【点睛】此题考查认识数轴及用数轴表示有理数和有理数的加减法，难度一般，读懂题干要求是关键． 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 【答案】现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解， 解题关键是要读懂题目的意思列出方程． 【详解】解：设现在儿子的年龄为x岁，则现在父亲的年龄为岁． 由题意，得， 解得，则． 设再过年两个人的年龄加起来等于100岁， 根据题意得， 解得． 故现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁． 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有，（2）丁丑，（3）壬辰年 【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题的关键． （1）根据干支纪年表即可得到答案； （2）由干支纪年表中的信息即可得到答案； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程，解方程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案． 【详解】解：（1）如干支纪年表所示， 干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为年， 故答案为：没有，； （2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第年， 故答案为：丁丑，； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 如干支纪年表所示年之前为壬辰年， 小红是壬辰年出生的． 类型十四、其它问题 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度． (1)甲同学用空杯先接了温水后再接 s的开水，此时温水和开水混合后共有的水； (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间； (3)丙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是，求这杯水混合后的水温． 【答案】(1)8 (2)乙同学接了温水，开水 (3)这杯水混合后的水温为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）利用接开水的时间温水的流速×接温水的时间开水的流速，即可求出接开水的时间； （2）设乙同学接了温水，则接了开水，根据这杯水混合后的水温为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即接温水的时间），再将其代入中，即可求出接开水的时间； （3）设丙同学接了温水，则接了开水，根据共接了的水，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，将其代入及中，即可求出接温水及开水的体积，设这杯水混合后的水温为，根据开水的体积×开水降低的温度温水的体积×温水升高的温度，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴再接的开水． 故答案为：8； （2）解：设乙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：乙同学接了温水，开水； （3）解：设丙同学接了温水，则接了开水， 根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴丙同学接了温水，开水． 设这杯水混合后的水温为， 根据题意得：， 解得：． 答：这杯水混合后的水温为． 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有两个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形，以此类推… 根据上面规律， (1)第（5）个图案中有______个正方形； (2)第个图案中有______个正方形； (3)小明同学说他搭成的图案中，得到了2025个正方形，你认为他的结论正确吗？说明理由． 【答案】(1)14 (2) (3)不正确．理由见解析 【分析】本题考查图形变化中规律型问题，用代数式表示出图形变化规律是解题的关键． （1）根据已有图形找出规律，根据规律求解； （2）根据图形变化规律列代数式即可； （3）令（2）中代数式的值为2025，看方程的解是否是整数即可． 【详解】（1）解：第（1）个图案中有2个正方形，， 第（2）个图案中有5个正方形，， 第（3）个图案中有8个正方形，， 以此类推， 第（5）个图案中正方形个数为：， 故答案为：14； （2）解：由（1）知，第个图案中正方形个数为：， 故答案为：； （3）解：不正确， 理由：由， 解得， 因为n的值不是整数，所以不正确． 47．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）用火柴棒按图中的方式搭图形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 7 12 ______ ______ ______ (2)按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴棒根数； (3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若图中产生2024个正方形，则需用多少根火柴棒搭图形？ 【答案】(1)17，22，27 (2) (3)3377根 【分析】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键． （1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格； （2）根据以上所得规律可得答案； （3）先根据使图中产生2024个正方形得出图形序号，再求用多少根火柴搭图形可得答案． 【详解】（1）解：图①中火柴棒的根数，图②中火柴棒的根数，图③中火柴棒的根数，图④中火柴棒的根数，图⑤中火柴棒的根数， 故答案为：依次为17，22，27； （2）解：由（1）中的规律可得，搭第n个图形需要的火柴根数为：； （3）解：观察图形知：第n个图形会产生个正方形， ， 解得：， ， 答：需用3377根火柴棒搭图形． 48．（24-25七年级上·天津·期末）某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证140元，本人凭证游泳每次再付费18元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费25元，累计超过10次后，超过的部分每次游泳付费打八折．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为大于10的正整数） (1)用含x的式子表示： 游泳次数/次 11 12 … x 方式一付费金额/元 … 方式二付费金额/元 … (2)当x取何值时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等？ (3)当x在什么范围内取值时，选择方式一付费比较省钱？（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等 (3)当时，选择方式一付费比较省钱 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）根据题意分别用x分别表示出方式一付费金额和方式二付费金额． （2）令，解一元一次方程即可得出答案． （3）根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：当游泳次数为x时， 方式一付费金额为：， 方式二付费金额为： （2）解： 即， 解得：， 故当时，小明选择方式一与方式二付费的总金额相等． （3）解：根据题意， 解得：， 当时，选择方式一付费比较省钱 49．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某校七年级同学准备统一去观看电影《志愿军：存亡之战》，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，电影票价格每张元，人以上的团体票有两种优惠方案可选择． 方案一：全体人员打折；       方案二：有人可以免票，剩下的人员打折． (1)若某班有人，请用含的代数式表示方案一的票价为________元，方案二的票价为________元； (2)若一班有人，他们应该选择哪种方案？ (3)二班无论选择哪种方案要付的钱同样多，二班有多少人？ 【答案】(1)； (2)选择方案二 (3)二班有54人 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据两种不同的优惠方式分别列式计算即可；     （2）把分别代入（1）中的代数式计算即可； （3）由费用相等可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：方案一的票价为元， 方案二的票价为元； （2）解：方案一：（元）， 方案二： （元）， ， 选择方案二 ； （3）解：二班两种方案要付的钱同样多 ， 解得， 答：二班有54人． 50．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）为落实“五育并举”全面发展的育人要求，发挥以美育人的作用，培养学生健康的审美情趣和良好的艺术修养，育人中学为了锻炼学生的身体，现在九年级举行5对5篮球赛，并设立了特等奖、一等奖和参与奖，根据班级的数量，购买了50件奖品，已知特等奖的奖品每件20元，一等奖奖品每件10元，参与奖奖品每件8元，且参与奖奖品的数量比特等奖奖品的数量的2倍还多5件． (1)若购买特等奖奖品件，请用含的式子表示一等奖的数量和参与奖的数量； (2)在（1）的前提下，用含的式子表示50件奖品共花费的费用； (3)若参与奖奖品购买了15件，则该校购买此次比赛奖品共花费多少元？ 【答案】(1)一等奖的数量为件，参与奖的数量为件 (2)共花费元 (3)该校购买此次比赛奖品共花费520元 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据“参与奖奖品的数量比特等奖奖品的数量的2倍还多5件”可列出表示参与奖的数量的代数式，将全部奖品的数量50件减去特等奖和参与奖的数量，化简即可得到一等奖的数量； （2）分别将单价乘以对应奖品的数量，并求和即可解答； （3）先求出m的值，再代入（2）中的代数式即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，参与奖的数量为件， 一等奖的数量为：件； （2）解： ； 答：50件奖品共花费元． （3）解：当参与奖奖品购买了15件，即时， 解得：， ∴（元）， 答：该校购买此次比赛奖品共花费520元 1．（24-25七年级上·江西九江·期末）（课本再现）下表列出了国外几个城市与北京的时差． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差 其中北京时间与纽约时间相差13小时，如北京时间为2025年1月1日上午9点时，则纽约时间为2024年12月31日20点． (1)当北京时间为0点时，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度；此时，纽约时间时钟的时针与分针的夹角是______度．经过分钟后，纽约时间时针与分针第一次重合，此时，______，北京时间时钟的时针与分针的夹角为______度． (2)小明与小亮都爱好数学，小明在九江，小亮在纽约，他们约定，当纽约时间进入2025年元旦后同时互发微信进行新年的祝福，互发的时间是：两地时间时钟的时针与分针的第一次出现夹角相等的时间，求这个互发的时间及夹角的度数． 【答案】(1)0；30；60；30 (2)这个互发的时间为纽约时间2025年1月1日0点分，北京时间为2025年1月1日下午1点分，夹角为度． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程求解即可； （2）根据时差的概念计算当地的时间列出方程回答问题． 【详解】（1）解：当北京时间为0点时，如图①，北京时间时钟的时针与分针的夹角为0度； 此时，纽约时间为11点，如图②，时钟的时针与分针的夹角是30度； 经过分钟后，时针每分钟旋转度，分针每分钟旋转度， 由题意得， 解得(分钟)， ∴纽约时间时针与分针第一次重合，此时，； 此时对应北京时间为1点，如图③，时钟的时针与分针的夹角为30度； 故答案为：0；30；60；30； （2）解：纽约时间进入2025年1月1日0点时，此时北京时间为2025年1月1日下午1点，纽约时间0点后再经过t分钟，时针与分针的夹角为度； 北京时间1点后再经过t分钟，时针与分针的夹角为或度； 由题意得， 解得， 此时夹角为度； 或，无解， ∴元旦后同时互发微信进行新年的祝福的时间为：纽约时间2025年1月1日0点分，北京时间为2025年1月1日下午1点分，夹角为度． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 【答案】(1)处理站处理废水产生的总费用为元 (2)这一天该工厂产生的废水总量为300吨 (3)该工厂应选择B方案，理由见详解 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及整式的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）根据“设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨”可进行求解； （2）设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：，由题意可分①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，然后分别求解即可； （3）设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，然后分类表示出A、B方案的费用，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：处理站处理废水产生的总费用为元； （2）解：设这一天该工厂产生的废水总量为x吨，根据“工厂每天产生超过100吨的工业废水”可知：；由题意可分： ①当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： ，该方程无解，故舍去； ②当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： ， 解得：； 答：这一天该工厂产生的废水总量为300吨． （3）解：设该工厂每天产生的废水总量为t吨，处理站日废水处理量为m吨，由题意得：， 当第三方企业处理的废水在第二阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 当第三方企业处理的废水在第三阶梯时，则有： A方案产生的总费用为（元）； B方案产生的总费用为（元）； ∵， ∴B方案更划算； 综上所述：该工厂应该选择B方案更划算． 3．（22-23七年级下·福建漳州·期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 【分析】（1）根据题意，M的运动的路程为，N的运动的路程为，点M，N在运动路线上相遇，则有，解方程即可； （2）分情况讨论：当点M，N在运动路线上相遇前，当点M，N在运动路线上相遇后分别求解方程即可； （3）N的运动时间为，M在运动时间为，即在整个运动过程中M一直在上运动，当直线把长方形分成两个梯形，时N在，如图求得，，，，及、，当时与时分别求出符合条件的解即可． 【详解】（1）解：根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为：， 点M，N在运动路线上相遇，则有： ， 解得：， ∴当时，点M，N在运动路线上相遇； （2）根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为： 当点M，N在运动路线上相遇前： ， 解得：， 当点M，N在运动路线上相遇后： ， 解得：； 当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； （3）存在，理由如下： N的运动时间为：（s）， M在运动时间为：（s）， 即在整个运动过程中M一直在上运动， 当直线把长方形分成两个梯形，时N在， 如图： ，则， ，则， ， ， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 故：当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 【点睛】本题考查了动点问题，一元一次方程——行程问题及几何问题；解题的关键熟练掌握行程问题中的相遇、相距问题及几何问题的数量关系． 4．（22-23七年级上·河南郑州·期中）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动. (1)直接写出 ， ， ； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在P点运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第 秒时，P，Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)，， (2)在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为3 (3)点P运动的第2，8，10，14.5，15.5秒，P，Q两点之间的距离为2 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性即可作答； （2）设点P表示的数为x，根据M为的中点，N为的中点，可得点M表示的数为：，点N表示的数为：，可得，问题得解； （3）点P表示的数为，①当时，点Q表示的数为，；②当时，点Q表示的数为， ，得，或；③当时，点Q表示的数为, ，得，或；④当时，点Q表示的数为, ，无解． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，， （2）不变．理由如下： 设点P表示的数为x． ∵点A表示的数为，点B表示的数为，M为的中点，N为的中点， ∴点M表示的数为：，点N表示的数为：． ∴． 即在P点运动的过程中，线段的长度不发生变化，恒为3． （3）∵点P以每秒1个单位长度的速度从A向终点C移动，点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动， ∴①当时， 点P表示的数为，点Q表示的数为． ． ②当时， 点P表示的数为，点Q表示的数为． ． 解得，或． ③当时， 点P表示的数为，点Q表示的数为． ． 解得，或． ④当时， 点P表示的数为，点Q表示的数为． ． 无解． 综上，当点P运动的第2，8，10，，秒时，P、Q两点之间的距离为2． 【点睛】本题考查了数轴与动点．熟练掌握非负数性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，解绝对值的方程，解一元一次方程，分类讨论，是解题的关键． 5．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______． (3)若表示一个有理数，则的最小值______． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． 若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1) (2) (3) (4)秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）解： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值， 故答案为：； （4）解：由题意得，， 当两只蚂蚁相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时，则（秒）， 当两只蚂蚁相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度时：则（秒）， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $