专题03 一次方程与方程组重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

专题03 一次方程与方程组（期末复习讲义） 一元一次方程的概念 能熟练掌握一元一次方程的定义，明确其 “只含一个未知数”“未知数次数为 1”“分母不含未知数” 的核心条件，准确判断一元一次方程 高频基础考点，常以概念辨析题形式考查，需注意排除 “多未知数”“未知数次数≠1”“分母含未知数” 的干扰项 等式的性质 能熟练运用等式的两个性质（性质 1：加 / 减同一个数或式子，等式仍成立；性质 2：乘 / 除同一个非零数或式子，等式仍成立），理解性质 2 中 “不为零” 的关键限制 核心基础考点，是一元一次方程解法的理论依据，多在解方程步骤合理性判断、等式变形类题目中考查，需避免忽略 “除数不为零” 的条件。 一元一次方程的解法 能掌握一元一次方程的完整解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），明确各步骤的注意事项（如去分母不漏乘、去括号变号、移项变号），熟练求解一元一次方程 核心考点，贯穿代数计算，从基础解方程小题到综合应用大题均有涉及，是后续学习一次函数、一元一次不等式的重要基础 二元一次方程组的解法  理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”。熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程组。 体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能力。 核心考点，当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现消元求解。在应用题中常考察方案问题，找等量关系时需找两个。 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04 一元一次方程的应用 1.一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点05 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点06 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点07 二元一次方程（组）的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 说明：相当于“题型破解手册”，针对本单元“拉分题、易错题、综合题”，教学生“怎么想、怎么做、怎么避坑”，解决“基础题会做，难题没思路”的问题。 题型一 一元一次方程的解法 解｜题｜技｜巧 ．解方程：． 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【典例1】解方程： 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 【变式1】．解关于的方程：． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式2】解方程：． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 题型二 一元一次方程的含参运算 答｜题｜模｜板 已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 解：∵， ∴去括号得， 移项合并同类项得， 解方程得， ∵关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4， ∴， ∴将代入方程中，得：， ∴， ∴ ∴ 解得． 【典例1】已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【详解】解：解方程得． 因为方程的解与关于的方程的解互为相反数， 所以方程的解是． 把代入方程， 得， 解得． 【变式1】已知方程与的解相同，求m的值． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， ∵方程与的解相同， ∴， 解得：． 【变式2】．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 题型三 一元一次方程应用题 答｜题｜模｜板 周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ （1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 【典例1】为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 【变式1】．十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【详解】（1）解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 【变式2】．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 【详解】解：设毛绒玩偶的单价为元，则冰箱贴的单价为元，由题意： ， 解得， ∴， 故毛绒玩偶的单价为元，冰箱贴的单价为元， ； 故小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 题型四 二元一次方程组的解法 解｜题｜技｜巧 解方程组： 【详解】解：由方程，通过移项可得到， 将代入方程中：得到． 化简得到． 得． 把代入， 可得． 综上，方程组的解为． 【典例1】解方程组 【详解】解：方程组化简得，， 由②得，， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 【变式1】．解方程组：． 【详解】解：， ，得， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解是． 【变式2】解方程组： 【详解】解： 整理得， 得， 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的含参运算 答｜题｜模｜板 已知关于，的方程组，若方程组的解满足，求的值． 解：解方程组，得， 将代入得， 解得． 【典例1】已知方程组中互为相反数，求的值． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， 把代入方程组， 得： 把②代入①得：， 解得： 【变式1】已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【详解】（1）在方程组中， 得：， 解得：， 把代入②可得，， 解得：， 方程组的解为； （2）x为负数，y为非正数， ，即， 解得， a为整数， a的值为或时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【变式2】．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 题型六 二元一次方程组应用题 答｜题｜模｜板 秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节，阳澄湖大闸蟹大量上市．若顾客购买1只公蟹和2只母蟹共需170元，购买3只公蟹和4只母蟹则需390元． (1)求每只公蟹、母蟹的售价； (2)商家在“双十一”开展促销活动，对公蟹和母蟹都进行了降价销售，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价8元．某公司计划购买一些大闸蟹奖励员工，其中购买母蟹数量比购买公蟹数量的倍还多5只，总费用为4980元，问该公司应该购买公蟹、母蟹各多少只？ （1）解：设公蟹售价为x元/只，母蟹售价为y元/只，根据题意，得， ， 解得， ∴公蟹售价50元/只，母蟹售价60元/只； （2）解：促销后，公蟹售价为元/只，母蟹售价为元/只， 设购买公蟹m只，则母蟹数量为只，根据题意得 总费用方程为：， 解得， 所以，母蟹数量， 答：该公司购买公蟹35只，母蟹65只. 【典例1】为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 【变式1】．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 【变式2】．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一周前两天销售情况如表： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一天 5 6 1120 第二天 4 3 680 (1)求的值． (2)若第三天型车和型车的总利润为1360元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得； （2）解：设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或或或或 ∴这天型车和型车分别卖出了17辆、0辆或14辆、2辆或11辆、4辆或8辆、6辆或5辆、8辆或2辆、10辆． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 3．当 时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，由相反数的定义可得，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数 ∴， 解得：， 故答案为：． 4．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 5．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可． 【详解】（1）解：去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 6．某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【答案】每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨，根据1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列方程的变形过程中，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查方程变形的基本规则，包括移项和等式的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，方程两边同时除以5，得，故该选项不符合题意； B、，移项得，故原方程的变形错误，该选项符合题意； C、，方程两边同时乘上，得，故该选项不符合题意； D、，移项得，故该选项不符合题意； 故选：B 2．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（    ）． A．95元 B．90元 C．85元 D．80元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据：售价成本利润率成本，列方程求解即可． 【详解】解：设该商品的进价为元，由题意得 ， 解得， 所以该商品的进价为元， 故选：B． 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义分情况列出方程并解方程即可． 【详解】（1）． 故答案为：， （2）当，即时，则． 因为，所以，解得． 当，即时，则． 因为，所以，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，若，则x的值为2， 故答案为：2． 4．已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．先求得此方程组的解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 5．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解： ，得， 化简得： 解得： 将代入①得，， 解得． ∴原方程组的解是． 6．砀山酥梨以果大核小、黄亮型美、皮薄多汁、酥脆甘甜而驰名中外．果农小李准备将一批酥梨装箱运往某水果超市销售，每箱酥梨的重量要相等．第一天小李用这批水果的，装了16个果箱，还剩余4千克；第二天她把剩下的酥梨全部取来，恰好共装了9个果箱，那么这批酥梨共有多少千克？ 【答案】这批酥梨共有54千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每箱酥梨的重量要相等，列出方程进行解答． 【详解】解：设这批酥梨共有x千克．根据题意得 ， 解得． 答：这批酥梨共有54千克． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两条基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍成立，尤其要注意除法中除数不能为0． 根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：根据等式的基本性质对各选项分析如下： A.，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意； B.，可推出，也可能推出，故变形错误，本选项符合题意； C.，两边同时减去6，得，变形正确，本选项不符合题意； D.，且，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意． 故选：B． 2．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．－1 B．－3 C．1 D．5 【答案】B 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】根据题意 ， ①2+②3得：， 将代入①得：， 将代入得： ， ③-④3得：， 将代入④得：， 当时， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 3．已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 4．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 5．根据图中的程序计算． （1）当输入时，输出的结果 ． （2）当输出时，输入的数中绝对值最小的是 ． 【答案】 0 【分析】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的应用，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． （1）把代入程序框图进行运算，结合结果的绝对值，再进一步解答即可； （2）分一次输入，两次输入，三次输入，四次输入，五次输入，再建立方程可得答案． 【详解】解：（1）当时， ∴， ∴， ∴， 而， ∴输出的； （2）当时，经过一次输入时， ∴， 解得：或， 当经过两次输入时， ， 解得：或， 当经过三次输入时， ， 解得：或， 当经过四次输入时， ， 解得：或， 当经过五次输入时， ， 解得：或； ∴当输出时，输入的数x中绝对值最小的是； 故答案为：，． 6．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得：； （2）去分母得： 去括号得： 移项合并，系数化为1得：． 7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 8．安徽宣纸闻名遐迩，某返乡创业团队制作两种规格的宣纸文创产品：A型是四尺单宣装裱的书法作品，B型是三尺净皮宣制作的绘画扇面．制作这两种文创产品每件所需工人数量和成本如下表： 文创产品类型 每件所需工人数量 每件所需成本（元） A型 3 80 B型 2 60 已知某周参与制作的工人共20人，且每人只参与一种文创产品制作，该周成本支出共560元，问A、B两种文创产品各制作了多少件？ 【答案】A型文创产品制作了4件，B型文创产品制作了4件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． 设A型文创产品制作了件，B型文创产品制作了件，根据参与制作的工人共20人，且每人只参与一种文创产品制作，该周成本支出共560元，列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设A型文创产品制作了件，B型文创产品制作了件．依题意，得 ，     解得， 答：A型文创产品制作了4件，B型文创产品制作了4件． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程与方程组（期末复习讲义） 一元一次方程的概念 能熟练掌握一元一次方程的定义，明确其 “只含一个未知数”“未知数次数为 1”“分母不含未知数” 的核心条件，准确判断一元一次方程 高频基础考点，常以概念辨析题形式考查，需注意排除 “多未知数”“未知数次数≠1”“分母含未知数” 的干扰项 等式的性质 能熟练运用等式的两个性质（性质 1：加 / 减同一个数或式子，等式仍成立；性质 2：乘 / 除同一个非零数或式子，等式仍成立），理解性质 2 中 “不为零” 的关键限制 核心基础考点，是一元一次方程解法的理论依据，多在解方程步骤合理性判断、等式变形类题目中考查，需避免忽略 “除数不为零” 的条件。 一元一次方程的解法 能掌握一元一次方程的完整解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），明确各步骤的注意事项（如去分母不漏乘、去括号变号、移项变号），熟练求解一元一次方程 核心考点，贯穿代数计算，从基础解方程小题到综合应用大题均有涉及，是后续学习一次函数、一元一次不等式的重要基础 二元一次方程组的解法  理解解二元一次方程组的核心思路是“消元”。熟练掌握代入消元法与加减消元法，能运用这两种方法求解简单的二元一次方程组。 体会“转化”与“消元”的数学思想，提升观察、分析和解决方程组问题的能力。 核心考点，当方程组需先变形（如乘系数）才能消元时，易出现计算错误，难以准确实现消元求解。在应用题中常考察方案问题，找等量关系时需找两个。 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04 一元一次方程的应用 1.一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点05 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点06 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点07 二元一次方程（组）的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 说明：相当于“题型破解手册”，针对本单元“拉分题、易错题、综合题”，教学生“怎么想、怎么做、怎么避坑”，解决“基础题会做，难题没思路”的问题。 题型一 一元一次方程的解法 解｜题｜技｜巧 ．解方程：． 解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【典例1】解方程： 【变式1】．解关于的方程：． 【变式2】解方程：． 题型二 一元一次方程的含参运算 答｜题｜模｜板 已知关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4，求a的值． 解：∵， ∴去括号得， 移项合并同类项得， 解方程得， ∵关于x的一元一次方程的解比关于y的一元一次方程的解小4， ∴， ∴将代入方程中，得：， ∴， ∴ ∴ 解得． 【典例1】已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【变式1】已知方程与的解相同，求m的值． 【变式2】．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 题型三 一元一次方程应用题 答｜题｜模｜板 周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ （1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 【典例1】为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【变式1】．十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【变式2】．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 题型四 二元一次方程组的解法 解｜题｜技｜巧 解方程组： 【详解】解：由方程，通过移项可得到， 将代入方程中：得到． 化简得到． 得． 把代入， 可得． 综上，方程组的解为． 【典例1】解方程组 【变式1】．解方程组：． 【变式2】解方程组： 题型五 二元一次方程组的含参运算 答｜题｜模｜板 已知关于，的方程组，若方程组的解满足，求的值． 解：解方程组，得， 将代入得， 解得． 【典例1】已知方程组中互为相反数，求的值． 【变式1】已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【变式2】．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 题型六 二元一次方程组应用题 答｜题｜模｜板 秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节，阳澄湖大闸蟹大量上市．若顾客购买1只公蟹和2只母蟹共需170元，购买3只公蟹和4只母蟹则需390元． (1)求每只公蟹、母蟹的售价； (2)商家在“双十一”开展促销活动，对公蟹和母蟹都进行了降价销售，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价8元．某公司计划购买一些大闸蟹奖励员工，其中购买母蟹数量比购买公蟹数量的倍还多5只，总费用为4980元，问该公司应该购买公蟹、母蟹各多少只？ （1）解：设公蟹售价为x元/只，母蟹售价为y元/只，根据题意，得， ， 解得， ∴公蟹售价50元/只，母蟹售价60元/只； （2）解：促销后，公蟹售价为元/只，母蟹售价为元/只， 设购买公蟹m只，则母蟹数量为只，根据题意得 总费用方程为：， 解得， 所以，母蟹数量， 答：该公司购买公蟹35只，母蟹65只. 【典例1】为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【变式1】．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【变式2】．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一周前两天销售情况如表： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一天 5 6 1120 第二天 4 3 680 (1)求的值． (2)若第三天型车和型车的总利润为1360元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．当 时，代数式与的值互为相反数． 4．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 5．解下列方程： (1)； (2)． 6．某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列方程的变形过程中，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（    ）． A．95元 B．90元 C．85元 D．80元 3．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 4．已知关于，的方程组的解满足，则 ． 5．解方程组：． 6．砀山酥梨以果大核小、黄亮型美、皮薄多汁、酥脆甘甜而驰名中外．果农小李准备将一批酥梨装箱运往某水果超市销售，每箱酥梨的重量要相等．第一天小李用这批水果的，装了16个果箱，还剩余4千克；第二天她把剩下的酥梨全部取来，恰好共装了9个果箱，那么这批酥梨共有多少千克？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．－1 B．－3 C．1 D．5 3．已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 4．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为 ． 5．根据图中的程序计算． （1）当输入时，输出的结果 ． （2）当输出时，输入的数中绝对值最小的是 ． 6．解方程： (1) (2)． 7．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 8．安徽宣纸闻名遐迩，某返乡创业团队制作两种规格的宣纸文创产品：A型是四尺单宣装裱的书法作品，B型是三尺净皮宣制作的绘画扇面．制作这两种文创产品每件所需工人数量和成本如下表： 文创产品类型 每件所需工人数量 每件所需成本（元） A型 3 80 B型 2 60 已知某周参与制作的工人共20人，且每人只参与一种文创产品制作，该周成本支出共560元，问A、B两种文创产品各制作了多少件？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $