1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

复习回顾 平面向量基本定理： 如果两向量a，b不共线，那么对于平面中任意向量p，都存在唯一确定的有序数对{x，y}，使 p=xa+yb. 此时，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系。 如右图，对于平面内任一向量p=xi+yj，此时(x，y)即为p的坐标. 空间向量基本定理： 如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间中任意向量p，都存在唯一确定的有序数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc. 空间直角坐标系 类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k }.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:z轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. i j k 相关概念： 在空间直角坐标系中， 1.O叫做原点， 2.i，j，k都叫做坐标向量， 3.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. 空间中点的坐标 空间向量的坐标 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x，y，z). 后减前 借助几何直观确定坐标 典型例题 典型例题 例2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？ (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标. (3)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标. 方法小结 关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下： “关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” (1)关于坐标原点的对称点为 (2)关于横轴(轴)的对称点为 (3)关于纵轴(轴)的对称点为 (4)关于竖轴(轴)的对称点为 (5)关于坐标平面的对称点为 (6)关于坐标平面的对称点为 (7)关于坐标平面的对称点为 方法小结： ①关于哪个坐标平面对称，点在那个平面上的坐标不变，另外的一个坐标变成相反数； ②关于哪条坐标轴对称，那个坐标不变，另两个变成相反数； ③关于原点对称的点则三个坐标都变为相反数； ④关于某个点对称可类比平面直角坐标系中点的对称． 复习回顾：平面向量的坐标运算 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 空间中两点距离公式 已知，，则等于 A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3) 若向量，，，且满足条件，则___. 练习1： 练习2： 已知空间三点，，，设，. (1)若，.求； (2)若与互相垂直，求. 练习3： 教材例2（P20） C A B D O x y z 解题步骤： （1）建系 （2）标点 （3）求向量 （4）算值（代公式) 教材例3（P21） C A B D O x y z M P23第8题： 在正方体中，已知分别是、、和的中点. 证明：(1)，；(2)平面. 练习4： 棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； (3)求的长. 练习5： 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，平面，与平面所成角为. (1)求四棱锥的体积； (2)若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 练习6： 例1如图， 在长方体中，, 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出四点的坐标；（2）写出向量的坐标. $