1.3空间向量及其运算的坐标表示（2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量及其运算的坐标表示，从平面向量坐标表示出发，通过类比推理自然过渡到空间直角坐标系的建立与点、向量坐标的对应关系，构建了由二维到三维的知识迁移支架，帮助学生理解空间结构的本质。 其亮点在于紧扣数学核心素养，突出“抽象能力”“逻辑推理”和“直观想象”，如通过正四棱锥建系案例引导学生掌握坐标系选择原则，借助对称点规律提炼“谁不变谁变号”的口诀强化记忆，再以异面直线夹角计算体现数形结合思想。教学设计层层递进，既有概念建构又有应用深化，既培养学生的空间观念又提升问题解决能力，有助于学生形成系统思维，也为教师提供可复制、易操作的教学范式。

空间向量及其运算的坐标表示 3.1 空间直角坐标系 人教A版选修第一册第一章第三单元 课时目标 (1)能利用空间向量基本定理建立空间单位正交基底与直角坐标系“三要素”(原点、方向、单位长度)之间的对应关系，进而建立空间直角坐标系； (2)能利用空间向量基本定理及空间直角坐标系中点的坐标概念，解释空间直角坐标系中的点、向量与有序实数组之间的一一对应关系，说明空间向量的坐标的含义，提升数学抽象、直观想象素养. 0.复习回顾 【问题1】回忆一下，在平面直角坐标系中，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 【追问】为了把空间向量的运算化归为数的运算，类比平面向量的坐标表示，空间向量能否用坐标表示呢？ 1.空间直角坐标系 x y z i j k O (1)定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}，以点O为原点，分别以, , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系Oxyz. (2)坐标向量：点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. (3)坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面，它们把空间分成8个部分. 1.空间直角坐标系 (4)画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°. (5)右手系：空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称该坐标系为右手直角坐标系. 本书建立的坐标系都是右手系. 【问题2】类比平面向量的坐标表示，空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有坐标表示呢? 2. 空间点和向量的坐标 (1)空间点的坐标：在单位正交基底下，，则对应的有序实数组叫做点A的坐标，记作，其中叫做横坐标， 叫做纵坐标， 叫做竖坐标. 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标 OA=(x,y,z) 一一对应 (2)空间向量的坐标：在单位正交基底下，任意给定向量， 作，则有序实数组 叫做的坐标， 记作. (3)空间中的特殊点和对称点 【问题3】在空间直角坐标系中，坐标轴和坐标平面的点的坐标有什么特征？ 位置 横坐标 纵坐标 竖坐标 坐标表示 轴上的点 轴上的点 轴上的点 平面上的点 平面上的点 平面上的点 2. 空间点和向量的坐标 【追问】在空间直角坐标系中，任意一点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标有什么特征？ 点 对称轴 对称点 原点 轴 轴 轴 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数. 2. 空间点和向量的坐标 (3)空间中的特殊点和对称点 【追问】在空间直角坐标系中，任意一点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标有什么特征？ 点 对称轴 对称点 特征 平面 竖坐标与点互为相反数，其它坐标不变 平面 横坐标与点互为相反数，其它坐标不变 平面 纵坐标与点互为相反数，其它坐标不变 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数. 2. 空间点和向量的坐标 (3)空间中的特殊点和对称点 P18-练习2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在Oyz平面内的射影坐标为____________ 在Oxz平面内的射影坐标为____________ 在Oxy平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0,3,4) (2,0,4) (2,3,0) (-1,-3,-5) 点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足. 点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足. (1,0,0) 规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0. (4)空间中点的射影 2. 空间点和向量的坐标 题型1.空间中点的坐标 【学案例1】 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 【答案】A(2，-2，0)，B(2，2，0)， C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2). 【延申探究】试写出[例1]中点A分别关于Ozx平面、y轴、坐标原点的对称点. 【答案】点A关于Ozx平面的对称点为(2，2，0)， 点A关于y轴的对称点为(-2，-2，0)， 点A关于坐标原点的对称点为(-2，2，0). 题型1.空间中点的坐标 反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. (2)求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 题型1.空间中点的坐标 【训练1】已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 三棱锥各顶点的坐标为 AB CA1 B1C1. 题型2.空间中点的对称问题 【训练2】(1)点A(1，2，－1)关于坐标平面Oxy及x轴的对称点的坐标分别是__________ ，__________ ． (2)已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为___________. (1，2，1) (1，－2，1) P1(2，3，1) P2(－2，3，1) P3(2，－3，1) (2，－3，1) 【例2】如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量，，的坐标. 题型2. 求空间向量的坐标 解　(1) D ' (0，0，2)，C(0，4，0)， A ' (3，0，2)，B' (3，4，2). (2)==0i+4j+0k=(0，4，0)； =-=0i+0j-2k=(0，0，-2)； =+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)； =++=-3i+4j+2k=(-3，4，2). 题型2. 求空间向量的坐标 【训练1】（1）已知向量在基底{}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2，，－}下的坐标为 ，在基底{＋ ， － ， }下的坐标为 . (1,1,1) （2）如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是__________. A 题型2. 求空间向量的坐标 课堂小结 1.通过这节课，你学到了什么知识？ 2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 3.方法归纳：数形结合、类比联想、转化. 4.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 作业布置 1.题卡P9——10. 2.学案P11——12. 课堂练习 课堂练习 3.在长方体中, 与相交于点 ，建立如图1.3-6所示的空间直角坐标系.写出点 的坐标和向量 的坐标. 课堂练习 空间向量及其运算的坐标表示 3.2 空间向量运算的坐标表示 人教A版选修第一册第一章第三单元 课时目标 (1)通过类比平面向量运算的坐标表示，能推导空间向量运算的坐标表示，提升数学运算素养. (2)能通过空间向量运算的坐标表示，推导两个向量共线或垂直的充要条件，会表示向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式，提升逻辑推理素养. (3)能通过空间向量运算的坐标表示，解决一些简单的立体几何问题，强化数形结合思想，提升分析和解决问题的能力. 0.引导语 【引导语】前一节课利用空间单位正交基底建立了空间直角坐标系，由空间向量基本定理，实现了空间向量与有序数组之间的一一对应关系，得到空间向量的坐标表示.类比平面向量的学习过程，你认为接下来要学习什么? 【问题1】学习平面向量时，我们研究了平面向量哪些运算的坐标表示？那么，空间向量是否有类似的结论？ 设 则： 名称 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 当时， 垂直 向量长度 向量 夹角公式 1.空间向量运算的坐标表示 【追问】平面中两点之间的距离公式是什么？空间中如何计算. 21.空间向量运算的坐标表示 设是空间中任意两点， 则. 于是 空间两点间的距离公式 题型1.空间向量的坐标运算 【学案例2】 在△ABC中，A(2，-5，3)=(4，1，2)=(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且=求点P的坐标. 【答案】 （1）B (6，-4，5)，C (9，-6，10). （2） ·=-21-2-35=-58. （3） P的坐标为. 题型1.空间向量的坐标运算 题型2.空间向量的平行与垂直 【学案例3】 已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设== . (1)设向量=试判断2与是否平行？ (2)若k + 与k 2 互相垂直，求k的值. 【答案】(1)因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)，所以2a-b=(3，2，-2)， 又c=所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c. (2)由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4).又因为(ka+b)⊥(ka-2b)， 所以(ka+b)·(ka-2b)=0，即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或-. 题型2.空间向量的平行与垂直 反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 题型2.空间向量的平行与垂直 【训练1】已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c. 【答案】a=(2，1，-1)，b=(-2，-1，1)，c=(2，-3，1). 题型3.夹角与距离的计算 【学案例4】 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积. 【答案】（1）||== ||== （2）S△BMN=·||·||·sin∠MBN=×××=. 利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)代入公式进行计算. (4)写出答案. 题型3.夹角与距离的计算 题型3.夹角与距离的计算 【训练】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点. (1)求证：EF⊥B1C； (2)求FH的长； (3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. （1）==(-1，0，-1). ∴·=0，∴即EF⊥B1C. （2）||==. （3）|cos〈〉|==. 【问题4】 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)回顾研究过程，我们是如何得出空间向量各种运算的坐标表示的? (2)如何用空间向量运算的坐标表示研究相关几何性质? (3)利用空间向量坐标运算解决空间立体几何问题的基本思路是什么? 课堂小结 1.你学到了什么？ 课堂小结 作业布置 1.作业本（作业1）. 2.题卡P11——12，学案P13——14. 0.平面向量的坐标表示 (1)建立平面直角坐标系 在平面内取一点O和一个单位正交基底{eq \o(i,\s\up15(→))，eq \o(j,\s\up15(→))}，以O为原点，分别以eq \o(i,\s\up15(→))，eq \o(j,\s\up15(→))的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系oxy． (2)平面向量的坐标表示 对平面内的任意向量eq \o(a,\s\up12(→))，必存在有序实数组{x，y}，使得eq \o(a,\s\up12(→))＝xeq \o(i,\s\up15(→))＋yeq \o(j,\s\up15(→)).把x，y 称作向量eq \o(a,\s\up12(→))在单位正交基底{eq \o(i,\s\up15(→))，eq \o(j,\s\up15(→))}下的坐标， 记作：eq \o(a,\s\up12(→))＝(x，y)． (3)在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为（ ） A. B.3 C. D. 【训练2】如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，建立适当的空间直角坐标系，并求eq \o(MN,\s\up15(―→))，eq \o(DC,\s\up15(―→))的坐标． 1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底边长为2，高为4，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 2. 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq \f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求eq \o(DO,\s\up12(―→))，eq \o(A1B,\s\up12(―→))的坐标． 0.平面向量运算的坐标表示 在平面内，若eq \o(a,\s\up12(→))＝(x1，y1)，eq \o(b,\s\up12(→))＝(x2，y2)，则 (1)eq \o(a,\s\up12(→))＋eq \o(b,\s\up12(→))＝(x1＋x2, y1＋y2)； (2)eq \o(a,\s\up12(→))－eq \o(b,\s\up12(→))＝(x1－x2，y1－y2)； (3)λeq \o(a,\s\up12(→))＝(λx1，λy1)； (4)eq \o(a,\s\up12(→))·eq \o(b,\s\up12(→))＝x1x2＋y1y2； (5)|eq \o(a,\s\up12(→))|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))； (6)cos〈eq \o(a,\s\up12(→))，eq \o(b,\s\up12(→))〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))； (7)eq \o(a,\s\up12(→))∥eq \o(b,\s\up12(→))⇔x1y2＝x2y1； (8)eq \o(a,\s\up12(→))⊥eq \o(b,\s\up12(→))⇔x1x2＋y1y2＝0. 【训练】已知eq \o(a,\s\up15(→))＝(2，－1，－2)，eq \o(b,\s\up15(→))＝(0，－1，4)，求： (1)eq \o(a,\s\up15(→))＋eq \o(b,\s\up15(→))； (2)eq \o(a,\s\up15(→))－eq \o(b,\s\up15(→))； (3)eq \o(a,\s\up15(→))·eq \o(b,\s\up15(→))； (4) (2eq \o(a,\s\up15(→)))·(－eq \o(b,\s\up15(→)))； (5) (eq \o(a,\s\up15(→))＋eq \o(b,\s\up15(→)))·(eq \o(a,\s\up15(→))－eq \o(b,\s\up15(→)))； (6)|eq \o(a,\s\up15(→))＋eq \o(b,\s\up15(→))|; (7)cos<eq \o(a,\s\up15(→))，eq \o(b,\s\up15(→))>. $