精品解析：陕西省西安市西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

数学试卷（二） 一、选择题（共8小题） 1. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 5. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 6. 如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 若，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）． ①； ②四边形是菱形； ③； ④． A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（共6小题） 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 11. 如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝_______米． 12. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________． 13. 如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则______． 14. 如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为______． 三、解答题（共11小题） 15. 计算：． 16. 解方程： 17. 解不等式组： 18. 如图，在直角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，点D，E分别在，上，且．求的值． 20. 数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； （2）若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 21. 如图，在中，，，延长至点，连接． （1）求的值； （2）若，求的长． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 23. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式； （2）根据图象，当时的取值范围为：___________； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 26. 问题提出： 如图，，点是上一点，当且时，_______． 问题探究： 如图，在四边形中，，过点作交于点，将沿折叠，此时点恰好落在边上的点处，若，求的长． 问题解决： 如图，已知在矩形中，是对角线上一动点，是边上一动点，且，当在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值与此时的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷（二） 一、选择题（共8小题） 1. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 故选：A． 5. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可； 【详解】解：∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意； ∵ ， ∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意； 当 时， ，故C不符合题意； 当 时， ，故D错误，符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 6. 如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由证明，，然后由相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 若，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由反比例函数的图象确定b的符号，再由可确定a的符号，从而可一次函数的图象经过的象限，因而可作出判断． 【详解】解：A．如图，反比例函数经过第一、三象限，则b＞0．所以a＜0．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； B．如图，反比例函数经过第二、四象限，则b＜0．所以a＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； C．如图，反比例函数经过第一、三象限，则b＞0．所以a＜0．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项正确； D．如图，反比例函数经过第二、四象限，则b＜0．所以a＞0．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象．掌握反比例函数、一次函数的图象是解题的关键． 8. 如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）． ①； ②四边形是菱形； ③； ④． A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，②错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（共6小题） 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 10. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 11. 如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝_______米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识； 过作，利用平行投影的知识物高与影长的比是，求出的长度，进而求得即可得出答案． 解题的关键是利用平行投影的知识，求出的长度． 【详解】如图，过点作，垂足为点， 在中，， ∵物高与影长的比是 ∴， ∴ ∵， ∴ 故答案为：8米 12. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，根据四边形的周长为列式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长等于， ∴． 故答案为：． 13. 如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 14. 如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，则，那么，在中，由勾股定理得，在中，由三边关系即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接 由沿翻折可知直线经过点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由翻折得到：， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键 三、解答题（共11小题） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】分别化简各项，再算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： = = =1 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求得不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式组：， 由①去括号得：， 移项、合并同类项得：， 由②去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在直角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作垂线、含30度的直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题关键．根据含30度的直角三角形的性质可得作边上的高线即可解答． 【详解】略 19. 如图，在中，点D，E分别在，上，且．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； （2）若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率． （1）先求出转盘红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分， ∴转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为：． 【小问2详解】 转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， 同时转动盘和盘，配成紫色的概率是 21. 如图，在中，，，延长至点，连接． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解； （2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ，， ，， ， 在中，． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 23. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】（1） （2）70或80元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润=单个利润×销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【小问1详解】 解：设，代入，， 则． 解得 ． 【小问2详解】 解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式； （2）根据图象，当时的取值范围为：___________； （3）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入一次函数解析式，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把和，代入，得：，， ∴，， 把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，当时的取值范围为或； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或，即：或． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 26. 问题提出： 如图，，点是上一点，当且时，_______． 问题探究： 如图，在四边形中，，过点作交于点，将沿折叠，此时点恰好落在边上的点处，若，求的长． 问题解决： 如图，已知在矩形中，是对角线上一动点，是边上一动点，且，当在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值与此时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】； ； ． 【解析】 【分析】根据垂直的定义和平角的定义可得、，从而可证，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度； 根据折叠的性质可得、，根据平行线的性质可得、，从而可证，利用相似三角形对应边成比例的性质求出的长度； 由矩形的边长可得，所以可得，根据垂线段最短可知当时，的长度最短，则的长度最大，此时四边形的面积最大，根据矩形的边长和、计算即可． 【详解】解：（1）如下图所示， ，， ， ； ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示， 由折叠知； ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，过点作， 在矩形中，，， ，， ， ， 又， ， 当最大时，四边形的面积最大， 此时最小， 当时的长度最小， 此时， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、矩形的性质、折叠的性质．解决本题的关键是综合利用所学的知识找到三角形的边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $