5.3 垂径定理 课件-2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

该初中数学课件聚焦鲁教版九年级下册垂径定理及应用，以赵州桥主桥拱半径问题导入，通过动手操作、猜想验证得出定理，构建“知二推三”模型，形成“问题导入-操作猜想-推理验证-归纳总结-应用拓展”的学习支架。 其亮点在于融合赵州桥文化情境，通过动手操作（作直径垂直弦）培养抽象能力，探究推论发展推理能力，以“知二推三”模型解决赵州桥半径等实际问题体现模型与应用意识。采用问题驱动探究式教学，学生提升核心素养，教师可高效开展教学。

这座桥的特点是:(一)全桥只有一个大拱，长达37.02米，在当时可算是世界上最长的石拱。桥洞不是普通半圆形，而是像一张弓，因而大拱上面的道路没有陡坡，便于车马上下。...... 唐朝的张𬸦（zhuó）说，远望这座桥就像“初月出云，长虹饮涧”。 ——《中国石拱桥》 问题导入 赵州桥的主桥是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.02m, 拱高(拱顶到水面的最高距离)为7.23m，你能根据已知数据求出它的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 37.02m 7.23m 鲁教版 九年级下册数学 第五章 圆 第三节 垂径定理 ——古桥中的数学密码 明标·导行 1.经历动手操作、观察、猜想、验证的过程，能准确阐述垂径定理。 2. 能剖析定理的条件与结论，掌握“知二推三”这一核心模型，体验数学建模的过程，发展逻辑推理能力和理性思维。 3.能运用垂径定理及其推论解决实际问题，培养应用意识。 O M C D · A B 操作·猜想 活动1：如图，AB是⊙O一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M。 1.该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 2.你能发现图中有哪些等量关系吗？ 说明你的理由。 轴对称图形，对称轴是CD所在的直线。 AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. O M C D · A B 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD是⊙O 的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M． 求证： 转化思想：连半径 等腰三角形 转化 推理·验证 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 7 O M C D · A B 归纳·总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： ∵ CD⊥AB，CD是⊙O直径 ∴ AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 问题·思考 ① ② ③ ④ ⑤ 下面各图是否符合垂径定理？并说明理由。 思维·生长 活动2：如图,AB是⊙O的一条弦(不是直径)，再作出一条平分AB的直径CD，交点为M。你能发现哪些等量关系？怎样证明？ O M C D · A B 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 思维·生长 O M C D · A B 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ①直径CD ③CD平分弦AB(不是直径) ②CD⊥弦AB ④CD平分劣弧AB ⑤CD平分优弧ACB 思维·生长 思考：是否任意两个条件成立，其他三个都成立？ 请说明理由。 “知二推三” O M C D · A B ①直径CD ③CD平分弦AB(不是直径) ②CD⊥弦AB ④CD平分劣弧AB ⑤CD平分优弧ACB 思维·展示 解:连接OC. 在⊙O中，已知半径r、弦AB长a、拱高h(DM的长）及弦心距d，则r、a、h、d之间的存在以下数量关系： 方法点拨： （1）添加辅助线：连半径→构造直角三角形 （2）数学思想：模型思想、方程思想 （3）应用：求弦a、半径r、弦心距d、拱高h d + h = r h d r 归纳·总结 赵州桥的主桥是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.02m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能根据已知数据求出它的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 37.02m 7.23m B D A C 方法·应用 O r R≈27.3m 方法·应用 2.数学文化[2023东营16题]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，如图， 为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径 的长度为__寸. 26 1．如图，已知在⊙O中，AB是弦,OC交AB于点D，AD=BD=4cm,OD=3cm,则CD=______． 2cm 反思·内化 知识之径 垂径定理 思想之径 素养之径 3.辅助线： 1.垂径定理： 2.符号语言： 3._____________ 2._____________ 1.抽象能力 2.推理能力3.应用意识 4.模型意识 1._____________ 达标检测 1.如图，是的直径，是 的弦， ，垂足为.若，， 则BE的长为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）． A.CM=DM B.AC=AD C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC B C 达标检测 4．在直径为52cm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如下图所示，若油面宽为48cm，求油的最大深度． 油的最大深度为16cm． 3.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为E，若EO=3，AB=8，则⊙O的半径r=___，ED=___。 5 8 一条垂径，定下了桥梁的稳固，也定下了圆中和谐的规律。 愿同学们在今后的学习生活中既能拥有‘固基稳承’般的踏实与严谨，也能永葆探索世间奥秘的科学热情，成为连接古今智慧的新时代桥梁。 教师寄语 Lavf58.20.100 $