精品解析：重庆市兼善中学2025-2026学年 九年级上学期数学 第一次月考试题 （10月）

初2023级初三上第一阶段考试试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 已知，则______． 13. m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m3﹣2m2+9＝_____． 14. 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x，则关于x的方程是________ ． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知如图所示． （1）用尺完成基本作图：作的角平分线交于点D，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，在（1）的作图下，若，求和的长度． 解：， ①_______________ 又平分， ②_____________ 又 ③______________， ， ， ④_____________ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 20. 已知，，求的值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 24. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ （2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 25. 如图，在中，，，连接，． （1）判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级初三上第一阶段考试试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，以及二次根式的加法和减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的乘法、加法和减法法则计算即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选C． 3. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在9和10之间， 故选C． 4. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答． 【详解】解：两个相似三角形的周长比为，它们对应的相似比为． 故选C． 5. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 9. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理可得，再分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当，如图， 则， 即 ∴； 当，如图， 则， 即， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 10. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论． 【详解】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记为b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，由已知可设，，进而代入分式计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴， 故答案为：． 13. m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m3﹣2m2+9＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程求得m（m﹣1）＝1；然后将所求的代数式转化为含有m（m﹣1）的代数式，并代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得 m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1，或m（m﹣1）＝1， ∴m3﹣2m2+9＝m（m2﹣m﹣m）+9＝m（1﹣m）+9＝﹣1+9＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 14. 为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x，则关于x的方程是________ ． 【答案】60（1﹣x）2=48.6． 【解析】 【详解】试题分析：本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 解：第一次降价后每盒价格为60（1﹣x）， 则第二次降价后每盒价格为60（1﹣x）（1﹣x）=60（1﹣x）2=48.6， 即60（1﹣x）2=48.6． 故答案为60（1﹣x）2=48.6． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 15. 如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 9313 【解析】 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可求解； （）把右边移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知如图所示． （1）用尺完成基本作图：作的角平分线交于点D，使得（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，在（1）的作图下，若，求和的长度． 解：， ①_______________ 又平分， ②_____________ 又 ③______________， ， ， ④_____________ 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）；为等腰三角形；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握尺规作图的方法是解决本题的关键． （1）以点C为圆心，以任意长为半径作弧交和于点F和点E，以点E为圆心，以为半径作弧，以点F为圆心，以为半径作弧交上一个弧于点G，作射线交线段于点D，此时射线为的角平分线； （2）根据相似三角形的性质和角平分线的判定定理可得，则为等腰三角形可得的值，再根据相似三角形的性质进行求解的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； 【小问2详解】 解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 20. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23. 阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； （2）若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【小问1详解】 解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 24. 如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于cm？ （2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1），2s （2） 解：线段不能将分成面积相等的两部分． 理由：设运动时间为， 则，， 依题意，得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根，即线段不能将分成面积相等的两部分． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和三角形面积的计算，主要运用了勾股定理和三角形面积公式． （1）在中，根据勾股定理，，其中，，代入计算即可； （2）要判断线段是否能将分成面积相等的两部分，即判断的面积是否等于面积的一半，先求出的面积，再设运动时间为x，表示出和，计算的面积，如果的面积等于面积的一半，则能分成面积相等的两部分，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为，则，， 当时， 在中， ∵， ∴， ， ， ，， ∴和时 ，的长度等于． 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，，连接，． （1）判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：结论：，理由如下， 理由：， ， ， 即， 在与中， ， ， ； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）作交的延长线于H，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作交的延长线于H， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $