精品解析：广东省东莞市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题

东莞市第一中学2025至2026学年第一学期高二第一次段考 数学试题 出题人：江明 审题人：张小勇 考试时间：2025年10月24日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【详解】由直线方程知：直线方向向量有及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D 2. 若直线与直线垂直， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直系数间的关系，计算即可得答案. 【详解】因为两直线垂直， 所以，解得. 故选：D 3. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 因为直线的倾斜角大于等于小于， 故经过两点的直线的倾斜角是， 故选：D 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 已知直线始终平分圆的周长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，根据题意直线过圆心从而得出答案. 【详解】由题意得圆M的标准方程为，则圆心M的坐标为． 因为直线l始终平分圆M的周长，所以直线l过圆M的圆心， 所以，即． 故选：A 6. 已知平面内有四点，，，，且空间中一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中四点共面的结论求解. 【详解】因为，所以. 因为，，，四点共面，所以，故. 故选：A 7. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出直线的斜率，结合图象即可求解. 【详解】由，得到，所以直线过定点， 又，，所以，， 又直线与线段有公共点，结合图象可知，， 故选：D. 8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 线段的最小值为 C. 当，时，点D到直线的距离为 D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD. 【详解】取的中点，连接， ∵在菱形中，，， ∴，又， ∴，所以， 又易知， 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故A正确； 以为原点，分别为轴建立坐标系， 则， 当，时，，， ，， 所以点D到直线PQ的距离为，故C错误； 设，设，可得， ， 当时，，故B正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ，，，， 设PQ与AD所成的角为， 则， 所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确； 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 存在使得直与直线垂直 C. 对于任意，直线与圆相交 D. 若直线过第一象限，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论. 【详解】对于A：∵，∴， ∴，故A正确； 对于B：时符合题意，故B正确； 对于C：化简得： ∴，解得 ∴直线过定点， 又∵ ∴该定点在圆内， ∴直线与圆相交，故C正确； 对于D：当此时直线为，经过第一象限， 此时，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】设，求出的轨迹方程，结合圆与圆位置关系可判断AB；判断两圆外离，即可判断C；假设存在点，使得，即可结合圆的位置关系推出矛盾，判断D。 【详解】设，由，可得， 整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆． 圆的圆心为点，半径， 两圆的圆心距． 对于A，若圆与圆有公共点，则， 即，解得，故A正确； 对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误； 对于C，若，则，两圆外离，则有， 即，故C正确； 对于D，若，则四边形为正方形，， 如图，又为，即，而， 所以不存在这样的点，使得，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为 向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数是__________ 【答案】4 【解析】 【分析】由题意，明确两圆的圆心和半径，根据两个圆的位置关系，可得答案. 【详解】即，则圆心，半径， 即，则圆心，半径， 圆心距，两圆外离 故圆与圆的公切线条数是4. 故答案为：4. 14. 如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）． 【答案】 【解析】 【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得. 【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图， 则，所以， 则圆的标准方程为． 由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）, 所以支柱的高度约为米. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，每题分别为13，15，15，17，17分，共77分． 15. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【小问1详解】 因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问2详解】 因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问3详解】 ①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 16. 如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. （1）以为一组基底，表示，； （2）线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，2 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合图形将，用表示即得； （2）依题设，，将用表示，利用求出的值，即可求得. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 设线段上存在一点E，使得，且，， 因为，且， 因故 ， 解得，此时点E与点C重合，. 17. 如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 的中点， ， （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的夹角即可求得结果. （3）利用点到面的距离公式，即可求得结果. 【小问1详解】 设,连接，因为四边形 为矩形，所以为的中点， 由为的中点，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 设平面的法向量为，,取， 设平面的法向量为，,取 设平面与平面夹角的余弦值为，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得平面的法向量为，, ，所以点到平面的距离为 18. 如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D，M分别为，的中点. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点N，使得平面?说明理由. （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点N为线段中点，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由等腰梯形性质可得，由正三角形性质可得，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）借助中位线性质可得四边形为平行四边形，再利用平行四边形性质及线面平行判定定理即可得证； （3）建立适当空间直角坐标系后，借助二面角计算可得各点坐标，再求出平面的法向量与直线的方向向量后借助空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 如图，连接，， 在等腰梯形中，D，M为，的中点，∴， 在正中，M为的中点，∴， 又∵，、平面， ∴平面，又平面，∴； 【小问2详解】 当N为线段中点时，平面，证明如下： ∵M、N分别为、的中点，∴且， 又三棱台中，，且， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面； 【小问3详解】 由（1）知为二面角的平面角，即， 在平面内作，以M为坐标原点，以，，， 分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，，，， ，， 故，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，设直线与平面所成角为， ∴， ∴， 故直线与平面所成角的余弦值为. 19. 已知圆. （1）若过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，当切线的斜率不存在，易求的方程为；当切线的斜率存在时，设出直线方程，然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可； （2）求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【小问1详解】 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为半径3， 若切线的斜率不存在，则的方程为； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 则，解得， 所以切线的方程为，即， 综上，切线的方程为或； 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 则， 当且仅当四点共线（点在两点之间）时，取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市第一中学2025至2026学年第一学期高二第一次段考 数学试题 出题人：江明 审题人：张小勇 考试时间：2025年10月24日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直， 则（ ） A B. C. D. 3. 经过两点直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 已知直线始终平分圆的周长，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面内有四点，，，，且为空间中一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 线段的最小值为 C. 当，时，点D到直线的距离为 D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 存在使得直与直线垂直 C. 对于任意，直线与圆相交 D. 若直线过第一象限，则 11. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 13. 已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数是__________ 14. 如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）． 四、解答题：本题共5小题，每题分别为13，15，15，17，17分，共77分． 15. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 16. 如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. （1）以为一组基底，表示，； （2）线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 17. 如图，四边形 为梯形， ，四边形 为矩形， 平面 为 中点， ， （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，D，M分别为，的中点. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点N，使得平面?说明理由. （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值. 19 已知圆. （1）若过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线上的动点，是圆上的动点，定点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $