5.4二次函数与一元二次方程导学案（2） 2025—2026学年 苏科版（2012）九年级数学下册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容包括用图像法估算方程近似根、二次函数与不等式的联系。课堂导入通过情境问题，如已知函数图像求方程根及不等式解集、画函数图像探索方程根的范围，衔接二次函数图像性质，为用图像解决方程和不等式问题搭建学习支架。 本资料以探究活动为主线，设计情境问题、表格数据分析、变式练习及能力提升题，引导学生经历观察图像、归纳方法、解决问题的过程。注重数形结合思想渗透，培养几何直观和推理意识，通过函数模型解决不等式等问题发展模型意识，助力学生深化知识理解与应用能力。

学案47 —— 二次函数与一元二次方程（2） 【学习目标】1、通过观察二次函数图像与x轴的交点坐标，能估算一元二次方程的近似根； 2、 经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想； 3、 二次函数与一次函数不等式的关系. 【教学重点 难点】二次函数与一次函数不等式的关系. 学生活动/教学内容 1、 创设情境，了解目标 情境1：函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 ________________； 不等式ax2+bx+c＞0的解集是____________； 不等式ax2+bx+c＜0的解集是_________. 情境2：画y=x2+2x-5的图像，探索方程x2+2x-5=0的根的取值范围吗？ 二、构建模型，展示成果 【探究一】用二次函数的图像求一元二次方程的实数根. 总结： 例1、根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 变式：1、二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程根的情况是_________. 2、已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中错误的是（　　） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴 C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的正根在3与4之间 【探究二】用二次函数的图像解决问题. 例2、已知的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … (1)求这个二次函数表达式，并画出这个函数图象； (2)直接写出不等式的解集__________； (3)当时，y的取值范围是_______________． 练习：1、如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．  2、如图，y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的图像的顶点为P(1，m)，经过点A(2，1)，有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a＋2b＋c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2＋bt≤a＋b；其中正确的有___________.(填序号) 例3、如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 练习：如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 例4、已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为 ． 练习：1、已知关于x的一元二次方程 的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为： ． 2、“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是 ． 能力提升：规定形如y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的函数叫做“元宝型函数”．对于y＝|x2﹣4x+3|，给出以下结论：①图象关于直线x＝2对称；②关于x的不等式|x2﹣4x+3|＞0的解是x＜1或x＞3；③当k＜1时，关于x的方程|x2﹣4x+3|＝k有四个实数解；④当x＜1时函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0）的y值随x值的增大而减小．其中正确的是　　（填出所有正确结论的序号）． 三、检测反馈，落实目标 1、已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如右表，现给出下列说法：①该函数图像开口向下；②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线；③当x＝2时，y＝3；④方程ax2+bx+c＝－2的正根在3与4之间．其中正确的说法为________．(只需写出序号) 2、 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＞0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）；其中正确结论的是__________． 3、函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的序号是_____________． 4、一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． (1)求这个二次函数的表达式，并画出该函数的图像. (2)当时，二次函数y的取值范围是_____________________； (3)当自变量x的取值范围是_____________________时，一次函数的值大于二次函数的值． 5、有这样一个问题：探究函数的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整： （1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”） （2）下表是y与x的几组对应值： x … … y … n … 则n的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象； （4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1） 6、抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点. (1)连接、，求面积的最大值； (2)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标. 思考：如图，函数（）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接．若，则的值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $