5 .5用二次函数解决问题之抛物线型问题导学案(3) 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦用二次函数解决抛物线形实际问题，通过情境回顾抛物线性质、解析式形式等旧知，搭建学习支架，引导学生衔接建立坐标系解决实际问题的新知。 以问题链驱动实际问题转化，结合拱桥、投球等真实情境，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言建模的核心素养，习题分层设计，助力学生提升解决实际问题的能力。

学案50 —— 用二次函数解决问题（3）（抛物线形问题） 【学习目标】1、通过对抛物线形的问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形的有关实际问题； 2、掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 【教学重点 难点】掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.. 学生活动/教学内容 1、 创设情境，了解目标 情境1：函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 情境2：二次函数解析式的有： ①一般式：______________，②顶点式：_______________， ③交点式：________________. 情境3：(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置可设其函数关系式为______________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设其函数关系式为__________________________. (2)根据题意，可求出该二次函数的解析式为_________________________________. 二、构建模型，展示成果 【探究一】利用二次函数解决拱桥问题 例1、 河上有一座抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部 3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？(精确到0.1m) 问题1：如何把这个实际问题转化为数学问题？ 问题2：.怎样确定二次函数的表达式? 问题3：如何建立直角坐标系比较简单呢？ 问题4：如何解决“因降暴雨水位上升1m后，水面宽为多少”的问题？ 练习：1、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 2、 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 3、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为多少m． 能力提升：三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为 . 思考：根据例1给出的条件，一艘装满物资的小船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m(横断面如图). 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 总结： 练习：1、某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是　 　米． 2、某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示. (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； (2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道?并说明理由 【探究二】利用二次函数解决投球问题 例2、体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？ 练习：初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？ 能力提升：如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，若喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点，如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 三、检测反馈，落实目标 1、如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 2、甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $