精品解析：四川省达州市高级中学江湾城校区(初中)2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题

四川省达州市高级中学江湾城校区(初中)2025-2026学年八年级上学期入学考试 数 学 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的判断标准是解题关键． 根据轴对称图形的定义对选项依次判断． 【详解】解：选项：图案是不对称的曲线，没有对称轴； 选项：图案是旋转对称的交织结构，没有对称轴； 选项：图案是正六边形内的对称结构，有对称轴，是轴对称图形； 选项：图案是不规则的点线结构，没有对称轴． 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 在，，，，，，这六个数中，无理数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根和立方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是小数，属于有理数； 是无理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； 则无理数共有2个， 故选：B 4. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 5. 下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根，立方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离西柏坡景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到西柏坡景点的时间共用了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象和题意逐项分析即可． 【详解】由题意得， 小星家离西柏坡景点的路程为，A选项错误； 小星从家出发第1小时的平均速度为，B选项错误； 小星从家出发2小时离景点的路程为，C选项错误； ，小星从家到西柏坡景点的时间共用了，D选项正确； 故选：D． 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 8. 如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的小数部分为_________． 【答案】﹣4 【解析】 【详解】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，∴的小数部分是﹣4． 故答案为﹣4． 10. 如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中直角是解题的关键．根据正方形面积得出，，根据勾股定理得出即可得出答案． 【详解】解：由题意知，，，且， ∴． ∴以斜边为边长的正方形的面积是． 故答案为：． 11. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 12. 声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为_______时，声速达到． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用表格表示变量之间的关系．观察图表数据，气温每升高，声速增加，然后结合当气温为，音速增加，从而可得答案． 【详解】解：∵气温每升高，音速增加， 当气温为，音速增加， ∴当声音在空气中的传播速度为，气温是， 故答案为：． 13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）化简求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方和单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和立方根，再计算加减法即可得到答案； （3）先根据乘法公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 15. 如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，AD，CD为所做 因为 所以AE∥BC 因为AD=BC 所以四边形ABCD为平行四边形 所以CD∥AB． 【解析】 【分析】根据“等圆中，等弧所对的圆心角相等”作图即可；再根据“内错角相等，两直线平行”可判定两直线平行，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形的性质进行平行的证明． 【详解】略 【点睛】本题考查尺规作图；平行四边形的判定及性质． 16. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 17. 甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条道路骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）甲骑完全程用时　　　　小时；甲的速度是　　　　km/h； （2）求甲、乙相遇的时间； （3）求甲出发多长时间两人相距10千米． 【答案】（1）3，10；（2）；（3）或小时． 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图像中的数据可以求得甲骑完全程所用的时间和速度； （2）根据相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比可求出乙的速度，则可求出甲乙相遇的时间； （3）分甲、乙相遇前和相遇后两种情况列出方程即可求出答案． 【详解】（1）由图像可知，甲骑完全程用时3小时， 甲的速度是（km/h）， 故答案为：3，10； （2）由题意可知，乙到A地时，甲距离A地18千米处， 相同时间甲、乙的速度之比等于路程之比， （km/h）， 相遇时间为（h）； （3）甲、乙相遇前，， 解得； 甲、乙相遇后，且未到A地时，， 解得； 综上所述可得，当或（h）时，两人相距10千米． 【点睛】本题考查的是从函数图像获取信息，解题关键是明确题意，弄清图像的实际意义是解题关键． 18. 如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： （1）若，，．求证：． （2）如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） （3）在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； 【小问3详解】 解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分 19. 直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形的面积求高，解题关键是求出斜边长． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用利用三角形的面积求出斜边上的高． 【详解】解：设它斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长分别为5和， ∴它斜边长为， 这个直角三角形的面积为， 解得：， 故答案为：． 20. 若，则的立方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 21. 计算： ______. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，解不等式；根据二次根式被开方数的非负性，解不等式可求得x的值，再代入算式中即可求值． 【详解】解：由题意可知，所以. 故原式． 22. 有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有__________． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义、平行公理、平行线的性质、垂直的性质，根据以上性质定理进行判断即可． 【详解】解： 相等的角不一定是对顶角，①说法错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②说法错误； 在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，③说法正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，④说法错误； ⑤两直线平行，内错角相等，⑤说法错误； 故答案为：③． 23. 如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是________________． 【答案】5 【解析】 【分析】将AD顺时针旋转60°，得，连结，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD（SAS），可得BD′=CD，由BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大，BD最大=BD′+DD′=5． 【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结， 则AD=DD′=AD′， ∴△ADD′是等边三角形， 又∵等边三角形， ∴∠BAC=∠， ∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°， ∴AB=AC，AD′=AD， ∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴BD′=CD， ∴BD′+DD′≥BD， 当B、D′、D三点在一线时，BD最大， BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5． 故答案为：5． ． 【点睛】本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B、D′、D共线是解题关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】（1） 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得； （2）的值为25． 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 25. 在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． （1）如图1，若点在边上，求证：； （2）如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【小问1详解】 证明： 如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 26. 【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市高级中学江湾城校区(初中)2025-2026学年八年级上学期入学考试 数 学 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，，，这六个数中，无理数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（ ） A. 6米 B. 10米 C. 16米 D. 18米 5. 下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 今年假期，小星一家驾车前往西柏坡旅游，在行驶过程中，汽车离西柏坡景点的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 小星家离西柏坡景点的路程为 B. 小星从家出发第1小时的平均速度为 C. 小星从家出发2小时离景点的路程为 D. 小星从家到西柏坡景点的时间共用了 7. 如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 的小数部分为_________． 10. 如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是___________． 11. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 12. 声音在空气中传播的速度y（单位：）与气温x（单位：）的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 声速 331 334 337 340 343 照此规律可以发现，当气温为_______时，声速达到． 13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）化简求值：，其中． 15. 如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 16. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 17. 甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条道路骑行，图中的折线表示两人之间的距离y（km）与甲的行驶时间x（h）之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）甲骑完全程用时　　　　小时；甲的速度是　　　　km/h； （2）求甲、乙相遇的时间； （3）求甲出发多长时间两人相距10千米． 18. 如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： （1）若，，．求证：． （2）如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） （3）在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分 19. 直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为______． 20. 若，则的立方根是______． 21. 计算： ______. 22. 有下列说法：①相等的角是对顶角；②经过一点可作一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；④经过一点可作一条直线与已知直线垂直；⑤内错角相等．其中正确的有__________． 23. 如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是________________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： （1）如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； （2）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 25. 在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． （1）如图1，若点在边上，求证：； （2）如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 26. 【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $