精品解析：浙江省义乌市义乌市赤岸镇赤岸初级中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

九年级期中考试试卷（数学学科） 2025.10 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，和的相似比为，若，则的对应边的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一个不透明的口袋中装有3个红球和1个白球，小球除颜色不同外其它都相同，摇匀后摸出一个小球，记下颜色后放入口袋摇匀后继续摸出小球，前五次摸出的小球都是红球，则第六次摸出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 6. 对于，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标 7. 华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知二次函数，当时，y取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 已知线段，，则它们比例中项为______． 11. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是___________． 12. 一个口袋中有红球、黄球共10个，这些球除颜色外其余相同． 将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸一个球，记下它的颜色之后再放回口袋． 不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球，则这个口袋中大约有___________个红球． 13. 已知线段，，是线段的两个黄金分割点，则______． 14. 如图，在中，，，四边形的面积为，则四边形的面积为______． 15. 已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为______． 三、解答题（共72分） 16. 已知，求的值． 17. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，在上画点，使； （3）在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标； （2）求一次函数和二次函数的解析式； （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 20. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，同时商场规定销售单价不少于36元． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 21. 如图，在中，，平分，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 已知二次函数． （1）若它的图像过点，求此二次函数解析式． （2）当时，随的增大而增大，求的范围． （3）如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在中线上时，求的长． （3）在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试试卷（数学学科） 2025.10 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，一一判断即可． 【详解】解：A．本选项是关于的三次函数，故本选项不符合题意； B．本选项是关于的反比例函数，故本选项不符合题意； C．当时，本选项是关于的二次函数，故本选项不符合题意； D．本选项是关于的二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直角坐标系内左右平移，对自变量“左加右减”，上下平移对函数值“上加下减”． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线解析式为； 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的平移，掌握平移规则是解题的关键． 4. 已知，和的相似比为，若，则的对应边的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质得出的长． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键． 5. 一个不透明的口袋中装有3个红球和1个白球，小球除颜色不同外其它都相同，摇匀后摸出一个小球，记下颜色后放入口袋摇匀后继续摸出小球，前五次摸出的小球都是红球，则第六次摸出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查概率公式求概率，可以直接应用求概率的公式计算即可． 【详解】解：因为每次只摸出一个小球，不透明的口袋中共有小球个，其中红球个， 所以第六次摸出红球的概率为， 故选：C． 6. 对于，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 先将原函数化为顶点式，再由函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确，符合题意；D不正确，不符合题意； ∵， ∴开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，故C不正确，不符合题意， 故选：B． 7. 华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 设，，然后表示出各边的长度，再利用矩形的相似列出比例式，解比例式即可． 【详解】解：设，，则 ∵折叠， ∴， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一般式化为顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质求得y的取值范围． 【详解】解：将二次函数化为顶点式，有， 可知该二次函数在顶点处有最小值，即时，有最小值， 当时，函数取得最小值的在此范围内， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 则当时，函数值最大，最大值为2， 故y的取值范围为． 故选：B． 9. 如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，动点问题，瓜豆原理，平行线间的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据瓜豆原理可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形正方形，， ∴， 当点E在点A时，点F在点B，如图 当点E在的中点时，点F在点C，如图 由瓜豆原理，可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长， 如图，连接， ∴，， ∴， 即， ∴的值不变． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 已知线段，，则它们的比例中项为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的比，根据比例的性质列方程求解即可；设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设它们的比例中项为， ∵是长度分别为的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴(负数舍去)， ∴它们的比例中项线段长为． 故答案为：． 11. 已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 故答案为：． 12. 一个口袋中有红球、黄球共10个，这些球除颜色外其余相同． 将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸一个球，记下它的颜色之后再放回口袋． 不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球，则这个口袋中大约有___________个红球． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率求数量．根据题意可知摸到红球概率为约为，再利用已知数值作乘法即可得到本题答案． 【详解】解：∵共摸了100次球，发现有59次都是摸到红球， ∴摸到红球概率约为， ∴这个口袋中红球大约有：（个）， 故答案为：6． 13. 已知线段，，是线段的两个黄金分割点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割的知识点，理解定义、牢记黄金分割比是解题的关键． 根据题意作图，借助黄金分割的定义找到比例关系求解即可． 【详解】解：如图所示，由于，是线段的两个黄金分割点， 根据黄金分割的定义，有，， 则， ， 解得，， ， ， 解得，， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，四边形的面积为，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，推出，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积 故答案为：． 15. 已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为______． 【答案】675 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，轴对称的性质，正确理解二次函数的轴对称是解题的关键．先根据抛物线是轴对称图形，结合两点确定该抛物线对称轴方程为，然后根据抛物线与直线只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1，写出抛物线顶点式为，将点的坐标代入顶点式求出，最后代入所求代入式即可求解． 【详解】解：二次函数过点，， 抛物线的对称轴方程为， 抛物线与直线只有一个交点， 抛物线顶点纵坐标为1，即抛物线顶点坐标为， 该抛物线的顶点式为， 将点代入顶点式，得， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 16. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可． 【详解】解：∵，设每份为k， 则，，． ∴． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键． 17. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】（1）随机 （2）这个游戏对双方不公平．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平， （1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平； 解题的关键是掌握：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． 【小问1详解】 解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜是随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出的中点； （2）在图2中，在上画点，使； （3）在图3中，点在上，将线段沿方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再在上画点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点D即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点E即为所求； （3）首先根据平移的性质画出线段，然后取格点D，连接并延长交于点Q即为所求． 【小问1详解】 如图所示，点即为所求； 由网格得，四边形是矩形，，是矩形的对角线 ∴点D是的中点； 【小问2详解】 如图所示，点即为所求； ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，点即为所求； ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平移作图，格点作图，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标； （2）求一次函数和二次函数的解析式； （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于和两点，确定抛物线的对称轴，根据对称性即可得到D点的坐标； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）找到直线在抛物线上方的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴对称轴为：， ∵C、D是二次函数图象上的一对对称点， ∴； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为：，将，代入得： ，解得， ∴； 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 由图象可知：当或时，直线在抛物线的上方， ∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用．解题的关键是：正确的求出函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想解决相关问题． 20. 某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，同时商场规定销售单价不少于36元． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）销售单价应定为40元； （2）当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答． （1）设销售单价为x元，可列方程为，解方程即可解决问题． （2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设销售单价为x元，根据题意列方程得， ， 解得（不合题意，舍去），， 答：销售单价应定为40元； 【小问2详解】 解：设销售单价为x元，每天的销售利润w元， 可列函数解析式为： ． ∵，， ∴函数图象开口向下，当时，w随的增大而减少， 又销售单价不低于36元， ∴当时，w有最大值，最大值为元， 答：当销售单价为36元时，该文具每天的最大利润为2240元． 21. 如图，在中，，平分，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直以及角度运算得到，再通过角平分线得到，进而可证； （2）先通过等面积法得到，求出，，再通过勾股定理求出，然后通过相似三角形的比例式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离等于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴． 22. 已知二次函数． （1）若它的图像过点，求此二次函数解析式． （2）当时，随的增大而增大，求的范围． （3）如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图形的性质，运用待定系数法，二次函数的单调性，及二次函数的对称性推导参数的取值范围． （）已知二次函数图像过点，将点的坐标代入函数解析式即可求出a的值，进而得到二次函数解析式； （）根据二次函数的对称轴公式，结合函数在时的单调性，随的增大而增大，确定的取值范围； （）依据二次函数的对称性(纵坐标相同的点关于对称轴对称)，先求出对称轴，再结合点的坐标关系以及的条件，确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入中，可得：， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的对称轴为， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，且对称轴， ∴； 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为， ∵，，都在这个二次函数上，且和的纵坐标相同， ∴和关于对称轴对称， ∴，即， 因此距离对称轴均为2个单位， ∵，且， ∴点的横坐标与对称轴的距离为， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大， 等价于点比点离对称轴更近，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 解得； 当时，开口向下，函数值随离对称轴距离增大而减小， 等价于点比点离对称轴更远，即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得， 综上，的范围为或． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线上时，求的长． （3）在纸片绕点旋转过程中，连接，，试探究当与一个内角相等时，求的长． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）由旋转知，求得，根据，证明，利用相似比求解即可； （2）借助旋转所得的全等三角形证明，借助辅助线的垂直性质证得，进而借助相似比求解； （3）将固定绕点旋转问题转化为，将固定，绕点旋转，分别讨论于的三个内角相等时的情况，借助相似三角形研究． 小问1详解】 解：在中，， ， ， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ． 【小问2详解】 如图所示，连接，过点作， 由题意知，， ， 即， ， 又， ， ， 又为的中线，， ， ， ， 即， 又， 四边形为矩形， ， ， ， 由可得， ， ， ． 【小问3详解】 在纸片绕点旋转过程中研究，相当于将固定，绕点旋转． ①如图所示，当时， 过点作，， ， ， 又， ， ， 又， ， 为矩形， ， 故， ， 为等腰直角三角形， ，， ②当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， ，为等腰直角三角形， ，， 由于，， ． ③当时， 过点作于，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 由于，，， 四边形为矩形， 设，，则，， ，， ， ， ， ，，， 在和中， ，， ， 解得， 中，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $