13.1　命题与证明 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学上册

13.1　命题与证明 第十三章　全等三角形 1.了解互逆命题、证明、互逆定理的概念. 2.能正确写出一个命题的逆命题，并会判断它是否正确.(重点) 3.初步了解证明的格式、方法和步骤，体会证明步骤的严谨性.(重点) 4.能运用基本事实和相关定理进行简单的证明.(难点) 学习目标 情境引入 对于平行线，我们知道： 在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？ 一、逆命题 知识梳理 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为 .在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为_____ ，那么另一个命题就是这个原命题的 . 互逆命题 原命 题 逆命题 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假. (1)内错角相等； 例1 解　相等的两个角是内错角，原命题和逆命题都是假命题. (2)如果两个角相加等于180°，那么这两个角互为邻补角. 解　如果两个角互为邻补角，那么这两个角相加等于180°，原命题是假命题，逆命题是真命题. 反思感悟 写一个命题的逆命题时需要明确原命题的条件和结论，然后进行互换，判断一个命题为假命题可以用举反例的方法. (1)对于命题：“如果a>0，b>0，那么a+b>0.”下列判断正确的是 A.该命题及其逆命题都是真命题 B.该命题是真命题而其逆命题是假命题 C.该命题及其逆命题都是假命题 D.该命题是假命题而其逆命题是真命题 跟踪训练1 √ 解析　“如果a>0，b>0，那么a+b>0”是真命题，其逆命题为“如果a+b>0，那么a>0，b>0，是一个假命题，如-3+4=1>0，就不成立. (2)下列命题的逆命题是真命题的是 A.如果a>b，那么ac>bc B.如果a=b=0，那么ab=0 C.如果a>b，那么a2>b2 D.如果|a|=|b|，那么a=b √ 解析　A选项，逆命题为“如果ac>bc，那么a>b”是假命题，不符合题意； B选项，逆命题为“如果ab=0，那么a=b=0”是假命题，不符合题意； C选项，逆命题为“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，不符合题意； D选项，逆命题为“如果a=b，那么|a|=|b|”是真命题，符合题意. (3)命题“若mn<0，则m，n异号”的逆命题是　　　　　 .  若m，n异号，则mn<0 二、证明 知识梳理 要判断一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理，这种 叫作证明. 推理的过程 (课本P37例题)证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图，直线a，b，c，a∥c，b∥c. 求证：a∥b. 例2 证明　如图，作直线d，分别与直线a，b，c相交. ∵a∥c(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等). ∵b∥c(已知)， ∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)， 即平行于同一条直线的两条直线平行. 反思感悟 用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行： 第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号(或图形)语言. 第二步，根据图形写出已知、求证. 第三步，根据基本事实、已有定理、性质、定义等进行证明. 注意：“因为(∵)”后面写“因”，它一般是命题中的已知条件或特殊的图形关系；“所以(∴)”后面写“果”，它一般是由已知条件直接推出的结论；后面括号内写“因”或“果”的依据，也就是我们所说的理由. (1)如图，已知∠A=∠C，若AB∥CD，则BC∥AD.请说明理由. 理由如下： ∵AB∥CD(已知)， ∴∠ABE=∠　　(　　　　 ).  ∵∠A=∠C(已知)， ∴　 　　　(　　　 ).  ∴BC∥AD(　　　　　 ).  跟踪训练2 C 两直线平行，同位角相等 ∠ABE=∠A 等量代换 内错角相等，两直线平行 (2)命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差(n+1)2-n2等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 解　正确，理由如下： (n+1)2-n2=n2+2n+1-n2 =2n+1=(n+1)+n. 故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差(n+1)2-n2等于这两个连续整数的和”正确. (3)命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明. 解　已知：如图，a⊥b，a⊥c， 求证：b∥c. 证明：∵a⊥b，∴∠1=90°. ∵a⊥c，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2，∴b∥c. 三、逆定理 问题　每一个命题的逆命题都是真命题吗？ 提示　不一定. 知识梳理 如果一个定理的逆命题是 ，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是 . 互逆定理 真命题 下列定理中，有逆定理的是 A.等边三角形的三边相等 B.平角都相等 C.若三角形中有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角是锐角 D.互为相反数的两个数的绝对值相等 例3 解析　A项的逆命题是“三边相等的三角形是等边三角形”，是真命题；B项的逆命题是“相等的角是平角”，是假命题； C项的逆命题是“若三角形中有两个内角是锐角，则另外一个内角是钝角”，是假命题； D项的逆命题是“若两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数”，是假命题. √ 反思感悟 每一个命题都有逆命题，并不是每一个定理都有逆定理，只有该定理的逆命题是真命题时，原定理才有逆定理. (1)下列说法正确的有 ①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 跟踪训练3 √ 解析　每个命题都有逆命题，但是逆命题的真假和原命题的真假不一定一致，每个定理不一定都有逆定理，所以只有①正确. (2)下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是 A.同旁内角不互补，两直线平行 B.同旁内角不互补，两直线不平行 C.两直线平行，同旁内角互补 D.两直线不平行，同旁内角不互补 √ (3)举例说明下列定理没有逆定理. ①对顶角相等； 解　逆命题是“相等的角是对顶角”，这个命题是假命题，举反例，如图所示， ∠1和∠2相等，但是它们不是对顶角， 所以原定理没有逆定理. ②如果a，b都是正数，那么ab是正数. 解　逆命题是“如果ab是正数，那么a，b都是正数”， 这个命题是假命题，举反例， 当ab=4，a=-1，b=-4，a，b不是正数，所以原定理没有逆定理. 用文字叙述命题的证明步骤： (1)画图；(2)写已知、求证；(3)证明. 课堂小结 1.下列命题的逆命题是真命题的是 A.如果两个角是直角，那么这两个角相等 B.如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C.若a>b，则a≥b D.两直线平行，内错角相等 √ 随堂演练 解析　“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，是假命题，A项不符合题意； “如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”，逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”，是假命题，B项不符合题意； “若a>b，则a≥b”，逆命题是“若a≥b，则a>b”，是假命题，C项不符合题意； “两直线平行，内错角相等”，逆命题是“内错角相等，两直线平行”，是真命题，D项符合题意. 随堂演练 2.命题“若-3a>-3b，则a<b”的逆命题是　　　　 ；该逆命题是　　　　.(填“真命题”或“假命题”)  若a<b，则-3a>-3b 真命题 随堂演练 3.写出下列命题的逆命题，并判断真假. (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 解　逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线. 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的.若其中一夹角等于90°，则另一夹角也等于90°，即这两条平行线与第三条直线都垂直.满足条件.因此，逆命题是真命题. 随堂演练 (2)末位数是0或5的整数能被5整除. 解　逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5. 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题. 随堂演练 4.(1)完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD. 求证：AB∥CD.证明：∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD(已知)， ∴∠1=∠　　　，  ∠2=∠　　　(　　　　　　　　).  ∵BE∥CF(已知)， ∴∠1=∠2(　　　　　　　　 )，  ∴∠ABC=∠BCD(　　　　　　)，  ∴∠ABC=∠BCD(等式的性质)，∴AB∥CD(　 　　　　　)；  ABC BCD 角平分线的定义 两直线平行，内错角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 随堂演练 (2)指出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题. 解　两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行. 随堂演练 本课结束 $