13.1命题与证明（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“命题与证明”核心知识点，系统梳理命题的定义、组成与分类，逆命题、互逆命题及互逆定理的概念关系，证明过程的步骤（审题、画图、写已知求证等）与假命题反例法，配套思维导图辅助知识结构化，练习题涵盖逆命题判断、证明书写等类型。 资料以基础提升为导向，通过概念对比（如逆命题与互逆定理辨析）培养抽象能力，证明步骤的流程化设计强化推理意识，分层练习（选择到综合证明）提升应用意识。课中思维导图助力知识梳理，课后习题帮助查漏补缺，有效衔接教与学。

13.1命题与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、命题 1. 定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 2. 组成：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论。 3. 分类： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。 二、逆命题 1. 定义：对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。 2. 表示：若原命题为“如果( p )，那么( q )”，则其逆命题为“如果( q )，那么( p )”。 3. 说明：每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 三、互逆命题 1. 定义：见“逆命题”中的定义，即两个命题中，如果一个命题是另一个命题的逆命题，则这两个命题互为逆命题。 2. 关系：互逆命题是成对出现的，不能单独说一个命题是互逆命题。 四、互逆定理 1. 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 2. 说明： · 逆定理一定是真命题。 · 并不是所有的定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理。 五、证明过程 1. 证明的定义：根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。 2. 证明真命题的一般步骤： · 审题：分清命题的题设和结论。 · 根据题意画出图形：把文字语言转化为图形语言，有助于直观理解。 · 根据题设、结论，结合图形，写出“已知”和“求证”：“已知”是命题的题设部分，“求证”是命题的结论部分。 · 分析证明思路：从已知条件出发，运用所学的定义、公理、定理等，逐步推出求证的结论（可以从已知推向未知，也可以从结论反推已知）。 · 写出证明过程：要做到每一步推理都有依据，依据可以是已知、定义、公理、定理等，并把推理过程有条理地书写出来。 3. 证明假命题的方法：只需举出一个反例即可，即举出一个符合命题题设，但不满足命题结论的例子。 型 习 练 题 写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等． B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．如果，那么 D．对顶角相等 4．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 互逆定理 6．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 7．下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 8．下列说法正确的个数是（   ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 写出一个命题的已知、求证及证明过程 11．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 12．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 13．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 14．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 15．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 根据论断组命题并证明 16．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 19．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1命题与证明 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、命题 1. 定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 2. 组成：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论。 3. 分类： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。 · 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。 二、逆命题 1. 定义：对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。 2. 表示：若原命题为“如果( p )，那么( q )”，则其逆命题为“如果( q )，那么( p )”。 3. 说明：每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 三、互逆命题 1. 定义：见“逆命题”中的定义，即两个命题中，如果一个命题是另一个命题的逆命题，则这两个命题互为逆命题。 2. 关系：互逆命题是成对出现的，不能单独说一个命题是互逆命题。 四、互逆定理 1. 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 2. 说明： · 逆定理一定是真命题。 · 并不是所有的定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理。 五、证明过程 1. 证明的定义：根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。 2. 证明真命题的一般步骤： · 审题：分清命题的题设和结论。 · 根据题意画出图形：把文字语言转化为图形语言，有助于直观理解。 · 根据题设、结论，结合图形，写出“已知”和“求证”：“已知”是命题的题设部分，“求证”是命题的结论部分。 · 分析证明思路：从已知条件出发，运用所学的定义、公理、定理等，逐步推出求证的结论（可以从已知推向未知，也可以从结论反推已知）。 · 写出证明过程：要做到每一步推理都有依据，依据可以是已知、定义、公理、定理等，并把推理过程有条理地书写出来。 3. 证明假命题的方法：只需举出一个反例即可，即举出一个符合命题题设，但不满足命题结论的例子。 型 习 练 题 写出命题的逆命题 1．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，熟练掌握逆命题的概念是解题的关键． 逆命题是将原命题的条件和结论互换，需判断互换后的命题是否成立即可． 【详解】解：选项A：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A逆命题不成立； 选项B：原命题“直角三角形的两锐角互余”成立，逆命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”成立，根据三角形内角和是，两角互余则第三角为，故B逆命题成立； 选项C：原命题“等边三角形的三条边相等”成立，逆命题“三边相等的三角形是等边三角形”成立，符合等边三角形的定义，故C逆命题成立； 选项D：原命题“两直线平行，内错角相等”成立，逆命题“内错角相等，两直线平行”成立，为平行线判定定理，故D逆命题成立； 故选：A． 2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等． B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．如果，那么 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的真假判断，准确分析判断是解题的关键． 需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立． 【详解】、原命题两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行， 内错角相等是平行线的判定定理， 逆命题成立； 、原命题若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题为若两个数相等，则这两个数的绝对值相等； 两数相等则绝对值必相等， 逆命题成立； 、原命题如果，那么的逆命题为如果，那么， 时，平方必然相等， 逆命题成立； 、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角， 相等的角不一定是对顶角， 逆命题不成立； 故选． 4．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互逆命题，举反例．原命题的逆命题是“若，则”．要说明逆命题是假命题，需找到一组a、b的值，满足但不满足．逐项验证选项即可． 【详解】解：∵ 原命题的逆命题为“若，则”． A、，，则，，逆命题成立，不合题意； B、，则，，逆命题不成立，符合题意； C、，则，，逆命题成立，不合题意； D、，则，，逆命题成立，不合题意． 故选：B． 5．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理、有理数的平方、对顶角、平行线的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理成为解题的关键． 先写出逆命题，然后根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意． 故选：D． 互逆定理 6．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 7．下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题． 利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，原说法错误，故本选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 8．下列说法正确的个数是（   ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题，逆定理，根据定义逐个判断即可. 【详解】解：因为每个命题都有逆命题，所以①正确； 因为真命题的逆命题不一定是真命题，所以②不正确； 因为假命题的逆命题不一定是真命题，所以③不正确； 因为每个定理都有逆命题，不一定是真命题，所以④不正确，⑤正确； 因为命题“若，那么”的逆命题是“若，那么”，可举反例当，则，所以⑥不正确. 所以正确的有2个. 故选：B. 9．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 写出一个命题的已知、求证及证明过程 11．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 12．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 13．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 14．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题． 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）． （等式的性质）． 已知， （等量代换）， 是直角三角形． 15．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 根据论断组命题并证明 16．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】根据命题先设置出题目条件和所需证明的结论，再利用全等三角形的判定与性质作答即可． 【详解】已知：在中，，，分别是和的角平分线， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形两底角的角平分线相等的证明方法，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 19．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 学科网（北京）股份有限公司 $