精品解析：江苏省南通市如皋市搬经中学2025-2026学年高二上学期第二次质量调研数学试卷

2025－2026学年度高二年级第二次质量调研 一数学试卷 编制人 ：做题人： 审核人： 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 2. 设，直线：，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如果实数，满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则切线段长的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则 B. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为 C. 经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的实轴长为4 C. 的面积为1 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 在等差数列中，，，则______ 13. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为___________. 14. 已知圆C的圆心在y轴上，截直线所得弦长为8，且与直线相切，则圆C的方程___________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆C的切线l，求切线l的方程； （2）设过点的直线m与圆C交于AB两点，若点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m得方程. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程． 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为3的直线l与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点P. （1）若，求直线l的方程； （2）若，求弦的长. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高二年级第二次质量调研 一数学试卷 编制人 ：做题人： 审核人： 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可得出其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，所以，，， 故该抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 2. 设，直线：，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行或重合的条件列方程求，检验排除重合的情形，可得的值. 【详解】若直线：与直线平行或重合则，解方程可得或， 当时，的方程为，的方程为，直线重合，所以不满足条件， 当时，的方程为，的方程为，直线平行，所以满足条件， 故选：B． 3. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线夹角为求出，再根据必要不充分条件的概念进行判断. 【详解】双曲线的两渐近线夹角为， 所以或，所以或. “或”是“”的必要不充分条件. 故选：C 4. 如果实数，满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式，得的几何意义，画出图形，数形结合即可解决. 【详解】因为实数，满足，所以是圆上的点； 所以表示直线的斜率（为坐标原点）， 由图可知，当直线与圆相切时，斜率有最大值和最小值， 设直线方程为（直线无斜率时不符合题意），即， 由，解得或，则，即， 故选：B. 5. 过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则切线段长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到不等式，可得选项. 【详解】解：因为，， 所以，即切线段长的最大值为． 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 7. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 8. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F1，则四边形MFPF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率． 【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MFPF1为平行四边形． ∴．设，则，， ∴，得，即， ∵，∴在△MFP中，由余弦定理可得：，得， ∴，， 在△POF中，由余弦定理可得：， 整理，得，即. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则 B. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为 C. 经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，利用倾斜角的直线不存在斜率判断即可得解；对于选项B，设出，的坐标，利用中点，建立坐标的关系式，又在圆上，将代入圆的方程即可得解； 对于选项C，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定存在斜率，设此直线方程为点斜式，求出轴和轴上的截距，利用轴和轴上截距相等进行计算求解即可；对于选项D，求出直线恒过定点，求出，，直线的斜率为，由直线与线段有交点，得到或，代入，，计算求解即可. 【详解】对于选项A，当一条直线的倾斜角时，这条直线的斜率不存在，故选项A错误； 对于选项B，设，，与所连线段中点为， ，，在圆上，， ， ，，故选项B正确； 对于选项C，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定存在斜率， 设此直线方程为，当时，，则纵截距为， 当时，，则横截距为， 经过点且在轴和轴上截距都相等， ，， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为，故选项C错误； 对于选项D，如图，直线恒过定点，， ，， 直线的斜率为， 又直线与线段有交点， 或， 或， 或， 的取值范围是， 故选项D错误. 故选：B. 10. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的实轴长为4 C. 的面积为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据直线与渐近线平行求出双曲线的，关系，进而求出离心率、实轴长等，再联立直线与双曲线方程求出点坐标，从而计算的面积以及的值. 【详解】双曲线，其渐近线方程为.  已知过的直线与的一条渐近线平行，则，即.  又在直线上，所以，解得.  由，，可得，解得.  离心率，实轴长，选项正确，选项错误.   联立直线与双曲线方程，将代入双曲线方程可得： ，即，解得，则，即.  已知，，则，点到轴的距离即中边上的高.  根据三角形面积公式，可得，选项正确.   根据两点间距离公式，可得： ， .  所以，选项正确.   故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 在等差数列中，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立等式，求得等差数列的首项和公差后计算即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 故答案为：. 13. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为___________. 【答案】4或. 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由椭圆的离心率为， 当时，椭圆焦点在轴上， ，解得，所以椭圆的长轴长为4. 当时，椭圆焦点在轴上，，得，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：4或. 【点睛】本题考查椭圆的性质，解题的关键在于根据题意分椭圆焦点在轴上和在轴上两种情况求解，考查运算求解能力，是基础题. 14. 已知圆C的圆心在y轴上，截直线所得弦长为8，且与直线相切，则圆C的方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆C的圆心为，半径为，分别求出圆心到直线和的距离，利用直线与圆的位置关系列出方程组，可得圆的方程． 【详解】设圆C的圆心为，半径为 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为 则，即，解得 则圆C的方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查点线距公式，解决本题的关键点是直线与圆相交时，半径的平方与弦长一半的平方和圆心到直线的距离的平方和相等，并利用直线与相切，列出方程组，解出圆的标准方程，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）过点作圆C的切线l，求切线l的方程； （2）设过点的直线m与圆C交于AB两点，若点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线m得方程. 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径求解，注意分斜率存在与不存在两种情况； （2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 由可得， 即圆心为，半径， 显然当直线斜率不存在时，是圆的切线， 当直线斜率存在时，设直线为，即， 由圆心到直线的距离，解得， 故切线为或. 【小问2详解】 因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故, 所以，故圆心到直线的距离， 直线斜率不存在时，由知，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离，解得， 故直线方程为或. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据焦距以及椭圆的定义，列式子即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及面积公式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． 【小问2详解】 设， 联立，可得，， 设，，所以，， 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． 17. 已知抛物线的焦点为，斜率为3的直线l与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点P. （1）若，求直线l的方程； （2）若，求弦的长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果； （2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）由焦点为知，， 所以抛物线方程为， 设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则 ， ， 则 【点睛】关键点点睛：根据题意，合理设直线方程的形式，利用抛物线的定义，联立抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，对计算要求较高，属于中档题. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $