精品解析：贵州省遵义市南白中学2025-2026学年高三上学期10月质量监测数学试卷

遵义市南白中学2025-2026学年高三上学期10月质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度x（℃） 6 8 10 病毒数量y（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ） 参考公式：， A. 12 B. 10 C. 9 D. 11 7. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A B. 平面 C. 平面平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 11. 在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线关于直线对称 B. 若，则时到轴距离的最大值为 C 若，如图，则 D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则_________． 13. 我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项依次为1，3，6，10，则该数列的第10项为__________． 14. 已知直线与圆相交于A，B两点，存在点，，使得，则实数k取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，S为的面积，且满足． （1）求B； （2）若，且，，求的余弦值． 16. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，.求该几何体的体积. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 18. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货． （1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率； （2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且，求p的值及X的分布列． 19. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为3，离心率为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）经过点直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2025-2026学年高三上学期10月质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 若，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 2. 某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案. 【详解】 作出韦恩图,如图, 由题意得 ,则有, 所以,即， 因此要让最大，则需要最小， 若则不满足题意， 若则不满足题意， 若则满足题意， 所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4， 故选:B. 3. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 4. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 5. 已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出旋转体的轴截面，根据内切球的性质可求内切球的半径，从而可求其表面积. 【详解】旋转体的轴截面如图所示，其中为内切球的球心， 过作的垂线，垂足分别为，则（为内切球的半径）， 故，， 故，故，故， 故旋转体的内切球的表面积为， 故选：B 6. 高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度x（℃） 6 8 10 病毒数量y（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ） 参考公式：， A. 12 B. 10 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程，再用方程代入温度预测病毒数量即可. 【详解】y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点 由表格数据得，， ， ， 故根据最小二乘原理知， 所以， 即线性回归方程为； 将代入方程，得， 即可预测病毒数量为. 故选：C 7. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值． 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导，确定单调性，即可比较大小. 详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上单调递减. 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析出面，可判断选项A；取AD的中点，由平面几何知识可知，，从而判断出面，即平面截正方体所得的截面为梯形，从而可判断剩余的三个选项. 【详解】连接，则，又因为，, 所以面，又因为面，所以，故选项A正确； 取AD的中点，的中点，连接，，，，, 在正方形中，由平面几何知识可知，， 又因为，，所以面，所以, 又因为，所以， 又因, 所以面，即平面截正方体所得的截面为梯形， 所以显然平面，选项B正确； 平面与平面不平行，选项C错误； 在梯形中，，，,所以梯形的高为， 所以梯形的面积为，即平面截正方体所得的截面面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式，求出与，逐项判断即可. 【详解】由，又公比为整数. 解得. 对于A，，故A正确， 对于B，.所以，， 所以数列是公比为2的等比数列，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，， 所以数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：ABC 11. 在平面直角坐标系中有一点，到定点与轴距离之积为一常数，点构成的集合为曲线，已知在或分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（ ）. A. 曲线关于直线对称 B. 若，则时到轴距离的最大值为 C. 若，如图，则 D. 若与轴正半轴交于，则与轴负半轴的交点横坐标在区间内 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，求出曲线的方程，利用曲线的对称性可判断A选项；当时，变形可得出，解关于的不等式，可判断B选项；分析可知，当时，直线与曲线有两个交点，数形结合可判断C选项；在曲线的方程中，令，当时，化简曲线的方程可得出，令，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】设点，则， 对于A选项，点关于直线的点为， 因为， 即点不在曲线上，所以，曲线不关于直线对称，A错； 对于B选项，当时，曲线的方程为， 当时，则，则， 所以，，可得，可得， 对于不等式，即，显然该不等式恒成立， 对于不等式，即，解得， 因为，则，此时，若，则时到轴距离的最大值为，B对； 对于C选项，点关于直线的对称点为， 因为， 即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 如下图所示，当时，直线与曲线有两个交点， 当时，在曲线的方程中，令，可得，可得， 所以，曲线与在上的图象有两个公共点，如下图所示： 显然，曲线与射线在上的图象有一个公共点， 则曲线与线段相切， 由，可得，则，可得， 且当时，方程为，解得，合乎题意， 综上所述，，C对； 对于D选项，若曲线与轴正半轴交于， 则，则有， 当时，令可得，整理可得， 即， 令，其中， 则对任意恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，，则， 所以，曲线与轴负半轴的交点横坐标在区间内，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，由已知求出轨迹方程，是难题；根据曲线的定义求出曲线方程，难点将交点问题转化为函数图象的公共点问题，数形结合，即可得出结论. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则_________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据题意，求出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，从而得解. 【详解】由，，，，成等差数列，可得公差，所以， 又由，，，，成等比数列，可得， 设等比数列的公比为，可得，所以， 所以. 故答案为：. 13. 我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项依次为1，3，6，10，则该数列的第10项为__________． 【答案】55 【解析】 【分析】根据二阶等差的定义可得，进而利用累加法即可求解. 【详解】由题意可得 故为等差数列，且公差为，首项为2，所以， 故， 因此 累加可得 所以 故答案为：55 14. 已知直线与圆相交于A，B两点，存在点，，使得，则实数k的取值范围是______. 【答案】[1，+∞) 【解析】 【分析】设，，直线方程代入圆方程，由韦达定理得，由得关系，分离变量后由可得的不等式，从而得的范围． 【详解】联立，消去y得：，① 设，， ∴，， 由已知有， ∴，即． ∵，， ∴， ∴， 即 ∴，解得：， ∴k的取值范围[1，+∞) 故答案为：[1，+∞) 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，S为的面积，且满足． （1）求B； （2）若，且，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理、辅助角公式计算可得，进而求解； （2）由题意，根据平面向量数量积定义和余弦定理计算可得，利用向量的线性运算证明A、D、C三点共线，进而得，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 由余弦定理得， 所以， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 由及得， ，化简得， 将代入上式整理得：，所以，， 所以，解得． ∵， ∴A、D、C三点共线，且． ∴， 所以． 16. 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，.求该几何体的体积. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，连接BE，CE，求出四棱锥E-ABCD与三棱锥F-BCE的体积即可得解. 【详解】如图，连接BE，CE，正方形ABCD的边长为3， 因平面平面ABCD，平面平面ABCD=BC，又平面，，于是得平面ABCD， 又，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 因此，点E到平面ABCD的距离为，而正方形ABCD的面积， 从而得四棱锥E-ABCD的体积， 显然，，，平面，于是得平面，则平面， 又，三棱锥的体积， 而几何体ABCDEF是四棱锥E-ABCD与三棱锥F-BCE构成的组合体， 所以几何体ABCDEF的体积. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）分、、时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值与单调性的关系可求出函数的极值. 【小问1详解】 解：当时，，则， 所以，，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，空. 【小问2详解】 解：因为，函数的定义域为， ， 因为，则，分以下几种情况讨论： ①当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为， 极小值为； ②当时，即当时，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，函数无极值； ③当时，即当时， 由可得，由可得或. 此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 综上所述，当时，函数的极大值为， 极小值为； 当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，极小值为. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值. 18. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货． （1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率； （2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且，求p的值及X的分布列． 【答案】（1）0.64 （2）0.4；分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率，再列出分布列即可求解. 【小问1详解】 设“第一天选择‘抖音’平台”， “第一天选择‘快手’平台”， “第二天选择‘抖音’平台”， 则， 则． 【小问2详解】 由题意得，X的取值为0，1，2，3， 且， ， ， ， 所以，解得． 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.06 0.34 0.44 0.16 19. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为3，离心率为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦点到渐近线的距离为3及求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理代入得，再根据的范围可得答案. 【小问1详解】 由题意得，其中， 由题得，所以，即， 又焦点到渐近线的距离为3，所以， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设其方程为， 联立直线与的方程，得消去得， 因为直线与的两支分别交于点，所以， 得，设，则， ， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $