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第29课时 有一个角为30°的
直角三角形的性质
第十五章 轴对称
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CONTENTS
1
新课学习
2
精讲精练
有一个角为30°的直角三角形的性质
问题:已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求
证BC= AB.
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证明:如答图,延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD.
因为∠ACB=90°,∠BAC=30°,
所以∠B=90°-∠BAC=60°,
∠ACD=180°-∠ACB=90°,
所以∠ACD=∠ACB=90°,
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又因为AC=AC,BC=DC,所以△BCA≌△DCA(SAS),
所以AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以AB=BD,
因为BC=CD= BD,所以BC= AB.
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定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么它
所对的直角边等于斜边的 .
几何语言:如图,
在Rt△ABC中, ,
.
30°
一半
∠C=90°,∠A=30°
所以BC= AB
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*(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,则
AC= ;
(2)在△ABC中,∠C=90°.若∠B=60°,BC=3,则AB
的长为 .
点拨:本题考查了含30°角的直角三角形的性质.
5
6
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如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上
一点,且∠BAP=90°,PC=4 cm,求PB的长.
解:因为AB=AC,∠BAC=120°,
所以∠B=∠C=30°,因为∠BAP=90°,
所以PB=2AP,∠PAC=30°,
所以PA=PC=4 cm,所以PB=8 cm.
点拨:本题考查了等腰三角形的性质、含30°角的直角
三角形的性质,熟练掌握这些性质是解题的关键.
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&素养拓展
本课时是等腰三角形和含30°角的直角三角形的性质综合,逻
辑严密,推理步步为营,充分体现了逻辑推理在数学解题中的
重要性.
&易错警示
在研究含30°角的直角三角形时,应特别关注与该角“相对”
的直角边.
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1. 如图,在直角三角形ACB中,∠C=90°,∠A=30°,
BC=2,则AB等于( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
点拨:本题考查的是有一个角为30°的直角三角形的性质.
熟练掌握这一性质是解题的关键.
C
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2. 如图,在△ACB中,∠C=90°,∠A=15°,点D为AC
边上一点,连接BD,∠DBC=60°,若BC=2,则AD
= .
点拨:根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是解题
的关键.
4
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3. 如图,一棵树在离地面5.5米处被折断,落在地上刚好与地
面形成30°的角,求这棵树原来的高度.
解:画出示意图如答图,∠C=90°,
AC=5.5米,∠B=30°,
所以AB=2AC=11米,
所以AC+BA=11+5.5=16.5(米),
即这棵树原来的高度是16.5米.
点拨:本题考查的是有一个角为30°的
直角三角形的性质,从实际问题中抽象
出纯数学问题是本题的解题关键.
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4. 如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过
点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,求BE的长.
解:因为D是AB的中点,所以AD= AB=1,
因为等边三角形ABC中,∠A=∠C=60°,
且DF⊥AC,
所以∠ADF=180°-90°-60°=30°,
所以在Rt△ADF中,AF= AD= ,
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因为在等边三角形ABC中AC=BC=2,
所以FC=AC-AF=2- = ,
同理,在Rt△FEC中,EC= FC= × = ,
所以BE=BC-EC=2- = .
点拨:根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”求解是
解题的关键.
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5. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,∠C=2∠B,CD=4.
(1)若∠BAC=90°,求BD的长度;
解:(1)因为∠BAC=90°,∠C=2∠B,
所以∠B+2∠B=90°,
所以∠B=30°,∠C=60°,
在△ADC中,AD⊥BC,CD=4,∠C=60°,
所以AC=2CD=8,
在Rt△BAC中,AC=8,∠B=30°,
所以BC=2AC=16,BD=BC-CD=16-4=12;
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(2)若AC=10,求BD的长度.
解:(2)如答图,在BD上截取一点E,
使得DE=DC,连接AE.
因为AD⊥BC,
所以直线AD是线段EC的垂直平分线,
所以AE=AC,所以∠AED=∠ACD.
因为∠AED=∠B+∠BAE,∠C=2∠B,
所以∠B+∠BAE=2∠B,
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所以∠B=∠BAE,
所以△AEB为等腰三角形,
所以AE=EB,
所以BE=AE=AC=10,
又因为ED=CD=4,
所以BD=BE+ED=10+4=14.
点拨:熟练掌握直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性
质,外角性质是解题的关键.
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