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微专题5:手拉手模型
第十五章 轴对称
类型一 等腰三角形的手拉手模型
1. 如图,△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,
BC,DE分别是底边,求证BD=CE.
证明:因为△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,
BC,DE是底边,
所以AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
所以∠BAD=∠CAE,
所以△BAD≌△CAE(SAS),
所以BD=CE.
点拨:本题考查的是等腰“手拉手”,熟练掌握基本图
形是本题的解题关键.
2. 如图,△ABD和△ACE都是等腰三角形,∠BAD=∠CAE
=90°,求证BE=CD.
证明:因为△ABD和△ACE是等腰直角三角形,∠BAD=
∠CAE=90°,
所以AB=AD,AC=AE,
所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
所以∠DAC=∠BAE.
在△AEB和△ACD中,
所以△AEB≌△ACD(SAS),所以BE=CD.
点拨:本题考查的是等腰“手拉手”,熟练掌握基本图
形是本题的解题关键.
类型二 等边三角形的手拉手模型
3. 如图,在Rt△AOP中,以OA为边作等边三角形OAB,以
AP为边作等边三角形APQ,连QB并延长交OP于点C.
(1)求证OP=BQ;
(1)证明:因为△OAB与△APQ都是等边三角形,
所以OA=BA,PA=AQ,∠OAB=∠PAQ=60°,
所以∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB,
所以∠OAP=∠BAQ,
在△OAP和△BAQ中,
所以△OAP≌△BAQ(SAS),所以OP=BQ;
(2)判断△COB的形状,并说明理由.
(2)解:△COB是等腰三角形,理由如下:
因为△OAP≌△BAQ,
所以∠ABQ=∠AOP=90°,
所以∠ABC=180°-∠ABQ=90°,
因为在等边△OAB中,∠AOB=∠ABO=60°,
所以∠COB=∠CBO=90°-60°=30°,
所以CO=CB,所以△COB是等腰三角形.
点拨:本题考查的是等边“手拉手”,熟练掌握基本图
形是本题的解题关键.
4. 已知:如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,AD,BE相
交于点O,点M,N分别是线段AD,BE的中点.
(1)求证AD=BE;
(1)证明:因为△ABC,
△CDE都是等边三角形,
所以AC=BC,CD=CE,
∠ACB=∠DCE=60°.
所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
所以∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(2)解:因为△ACD≌△BCE,
所以∠ADC=∠BEC.
因为△DCE是等边三角形,
所以∠CED=∠CDE=60°.
所以∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+
∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+
60°=60°+60°=120°.
所以∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°;
(3)求证△MNC是等边三角形.
(3)证明:因为△ACD≌△BCE,
所以∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC.
又因为M,N分别是线段AD,BE的中点,
所以AM= AD,BN= BE,所以AM=BN.
在△ACM和△BCN中,
所以△ACM≌△BCN(SAS).
所以CM=CN,∠ACM=∠BCN.
又因为∠ACB=60°,所以∠ACM+∠MCB=60°.
所以∠BCN+∠MCB=60°,所以∠MCN=60°.
所以△MNC是等边三角形.
点拨:本题考查的是等边“手拉手”,熟练掌握基本图形是本
题的解题关键.
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