精品解析：贵州省遵义市南白中学2025-2026学年高一上学期10月质量监测数学试卷

遵义市南白中学2025-2026学年高一上学期10月质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ） A. c＞a＞b B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. a＞b＞c 4. 下列函数中，是指数函数的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数为奇函数，则实数． A. B. C. D. 7. 已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 函数在上为增函数 B. 存在，使得 C. 函数的值域为 D. 方程只有一个实数根 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知函数，则关于x的不等式的解集为______． 13. 已知且，则的最小值为___________. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 求值：（1）＋＋； （2） 16. （1）作出该函数的图象， （2）求的值； （3）若，求实数的值. 17. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； （2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求的值；并求当时，的解析式； （2）若函数，，求函数的最小值． 19. 一元二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的定义如下：平面上定直线及直线外的定点，到点与直线距离相等的动点的轨迹称为抛物线，其中定点称为抛物线的焦点，直线称为抛物线的准线.例如：抛物线的焦点为，准线为. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设点是焦点为的抛物线上的点，求证：以线段为直径的圆与轴相切； （3）设抛物线与轴相交于点、两点，且其顶点总在以线段为直径的圆内，求满足的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2025-2026学年高一上学期10月质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定是改变量词，同时否定结论可得. 【详解】由特称命题的否定可得命题“”的否定为. 故选：C. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出，根据指数函数的性质求出，再根据交集运算求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 3. 已知，，，，则a，b，c的大小关系正确的为（ ） A. c＞a＞b B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. a＞b＞c 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合，的单调性可判断. 【详解】由题意，故， 由指数函数的单调性，单调递减，故， 由幂函数的单调性，在单调递增，故， 综上：. 故选：B 4. 下列函数中，是指数函数的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的定义进行一一分析，即可判断得出答案. 【详解】解：①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数； ③中底数，只有规定且时，才是指数函数； ④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数. 故选：D. 5. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B. 【详解】因为，定义域为R，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD； 又，故排除B. 故选：C. 6. 设函数为奇函数，则实数． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵函数为奇函数， ∴， 化为， ∴，解得． 故选：． 7. 已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解得到，结合，分和两种情况，结合不等式的解集得到不等式，求出满足的关系式，得到答案. 【详解】， ，故， ABD选项，若，此时，， ，显然， 要想中有且仅有两个整数，则， 解得且， A选项，，不合要求，错误； B选项，，不合要求，舍去， D选项，，满足要求，D正确； C选项，若，此时，， 或，不满足中有且仅有两个整数，舍去. 故选：D 8. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数， 可得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求不等式对任意恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可. 【详解】当不等式对任意恒成立时，有， 解得，记. 由题知，集合A的真子集即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件. 故选：AC． 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可. 【详解】对于A，由题意，所以，故A正确； 对于B，，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列正确的有（ ） A. 函数在上为增函数 B. 存在，使得 C. 函数的值域为 D. 方程只有一个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先去绝对值，依次判断函数的单调性和值域，再求解的方程，再利用数形结合判断D. 【详解】A.当时，，函数在上为增函数，故A正确； B.当时，，若，则， 即 ，其中，所以方程存在实数根，故B正确； C.当时，，函数在上为增函数，此时， 当且时，，此时函数在和单调递减，此时或，所以函数的值域是，故C错误； D.由以上求值域的过程可知，和时，，当时，，即， 如图画出和，当的图象， 两函数图象在区间只有1个交点，所以方程只有一个实数根，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知函数，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果. 【详解】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 故答案为：. 13. 已知且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】解：令，，因为，所以， 则，，所以, 所以 ， 当且仅当，即，，即时取“”， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】由，得， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 求值：（1）＋＋； （2） 【答案】（1）2；（2）32. 【解析】 【分析】根据幂的运算性质以及根式与分数指数幂的互化即可求出． 【详解】（1）＋＋＝＝． （2）＝ ＝． 【点睛】本题主要考查幂的运算性质的应用，以及根式与分数指数幂的互化，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 16. （1）作出该函数的图象， （2）求的值； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，分段画出函数的图象； （2）先求，再求； （3）根据分段函数每段的值域，代入求自变量的值. 【小问1详解】 根据分段函数的解析式，画出分段函数的图象， 【小问2详解】 ，； 【小问3详解】 当时，， 当，， 当时，， 所以，即，得. 17. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． （1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式； （2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【答案】（1）；（2）39万. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得分段函数的表达式； （2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，可得，从而得到方程，解方程即可得答案； 【详解】解：(1)由题意，得 (2)∵当时，， 又， ∴，解得. 答：老张的销售利润是39万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求的值；并求当时，的解析式； （2）若函数，，求函数的最小值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的性质将代入解析式即可求得的值；当时，满足时的解析式，代入其中，再由偶函数的性质即可求得当时的解析式. （2）由题意可知时函数的解析式，代入中，求得的解析式为含有参数的二次函数，在对二次函数的对称轴分别在区间的左边，右边，中间三种情况分类讨论，即可求得函数的最值. 【小问1详解】 ； 设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，； 【小问2详解】 当时，， 所以，对称轴为， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述 19. 一元二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的定义如下：平面上定直线及直线外的定点，到点与直线距离相等的动点的轨迹称为抛物线，其中定点称为抛物线的焦点，直线称为抛物线的准线.例如：抛物线的焦点为，准线为. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设点是焦点为的抛物线上的点，求证：以线段为直径的圆与轴相切； （3）设抛物线与轴相交于点、两点，且其顶点总在以线段为直径的圆内，求满足的关系. 【答案】（1） （2）证明:点是焦点为的抛物线上的点， 先说明的焦点为，准线方程为； 设抛物线上任一点为，设, 则 ， 而到直线的距离为， 故抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等， 则的焦点为，准线方程为； 不妨假设，则， 如图，设的中点为N，作垂直于x轴，垂足为， 则，而， 即，故以线段为直径的圆与轴相切； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给抛物线定义，即可求得答案； （2）证明线段的中点到x轴的距离等于，即可证明结论； （3）确定线段为直径的圆的圆心坐标以及半径，确定抛物线顶点坐标，由题意知顶点到圆心的距离小于，列出不等关系，化简即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 由题意我们证明抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等； 设抛物线上任一点为，设, 则 ， 而到直线的距离为， 故抛物线上的点到的距离和到直线的距离相等； 所以抛物线的焦点的坐标为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 抛物线与轴相交于点、两点，设， 则是的两个实数根，则， 且，即； 而的顶点为， 以线段为直径的圆，圆心为，即， 半径为， 因为抛物线顶点总在以线段为直径的圆内， 所以顶点到圆心的距离小于，即， 结合，即得，则，即， 故满足的关系是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $