精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 14. 已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 17. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 18. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 19. 已知函数的图象在处的切线方程为. （1）求m，n的值； （2）讨论方程解的个数； （3）证明：.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 2. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数为奇函数，由代入计算可得，由代入计算可得，计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为且， 所以函数是奇函数且， 即，所以， 又，所以，所以，即. 故选：A． 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 4. 设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的. 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种及以上，其中表示概率为的两个不同事件， 则不互为对立事件，此时，故条件不是充分的. 故选：B. 5. 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 7. 如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切． 故选：D. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可. 【详解】， 当时, ,A选项正确； ， ， , 时, 有两个根,且时 ,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误； 当时, 有两个根,且此时 ,故B选项正确. 故选：ABC． 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为方程所表示的曲线为， AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确； B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确； D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误. 故选：AD. 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用点在曲线上得出，点也在曲线上即可判断；B设，利用距离公式求出距离，再作差即可比较大小；C设，利用导函数求出切线斜率，进而求出直线，，再利用距离公式求出即可求得；D利用基本不等式求最值，得出取最值时即可求斜率. 【详解】A，若点满足方程，则点也满足方程， 则关于轴对称，故A正确； B，设，则， 则到点的距离，到直线的距离， 则， 当时，，即，所以B错误； C，设，则， 因，则， 则曲线在点处切线斜率为， 所以直线为，直线为， 所以，， 可得， ， 则 因，故存在，使得时，故C正确； D，由C选项可知，， 等号成立时，，即， 此时的斜率为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校举办运动会时，高一（2）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的同学有_________人. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分， 即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次 所以，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查集合之间的元素关系，注意每两种比赛的公共部分，属于中档题． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 14. 已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即得. 【详解】设，当时，，则， 化简得：，即； 当时，，则， 化简得，，即， 对于曲线上的任意一点，，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号， 而，当且仅当，即点时取等号， 因此，当且仅当点重合于时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】（1）， （2） 由（1）得，在上单调递减，证明如下： ，，， . ∵，∴， ∴， 在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据，可求. （2）利用单调性的定义可判断的单调性. 【小问1详解】 ∵，，∴，. ∴，. 【小问2详解】 在上单调递减，证明略》 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 连接．因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质得到即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，然后求出平面与平面的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求出二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且四边形是正方形，所以两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则，不妨令，则， 易知是平面的一个法向量， 得到，即， 故平面与平面的夹角为． 17. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由， 由题意可知：， 因为，所以点A的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，所以有直线， 设直线倾斜角为，则有， 所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为， 则有， 所以直线直线的方程为：. 18. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】（1）在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证得，即可根据线面平行的判定证得结论； （2）方法一：证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为h，由， 得， 解得，即点到平面的距离为． 19. 已知函数的图象在处的切线方程为. （1）求m，n的值； （2）讨论方程解的个数； （3）证明：.（参考数据：） 【答案】（1）， （2）无解 （3） 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，即恒成立，当时，；当时，， 于是函数在上递减，在上递增，则，即， 欲证，只需证， 而，只需证， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义列式求解. （2）将方程根的个数转化为的零点个数，再按分段讨论即可. （3）利用导数证明不等式，再结合分析法，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由的图象在处的切线方程为，得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，其定义域为， 当时，方程， 依题意，当时，方程根的个数即为函数 在上的零点个数，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 而，因此，函数在上没有零点； 当时，令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， ，因此函数在上没有零点； 当时，由，得，又函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ， 函数在上单调递增，，在上没有零点， 所以函数没有零点，即方程无解. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $