精品解析：内蒙古呼伦贝尔市 鄂伦春自治旗大杨树第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

九年级数学第一次月考试题 一．选择题（24分） 1. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 2. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 6. 把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（12分） 9. 把一元二次方程化成一般形式是______． 10. 已知方程的两个根为1和，则抛物线的对称轴为直线___________． 11. 若一个人感冒可传染个人，经过两轮传染后有人感冒，求，可列方程为______． 12. 若是方程的一个根，则的值为___________． 三、解答题 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 抛物线的顶点为，过点，求抛物线的解析式． 15. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 16. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克， （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）求商场的最大利润？ 17. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 18. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一次月考试题 一．选择题（24分） 1. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，总共送出的张数应该是x(x-1)张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张， ∴总共送出的张数应该是x(x-1)=2070， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 3. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每月增长率是x，则二月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长率是x， 由题意得，． 故选B． 4. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解:把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位， 得到的抛物线是． 故选：B． 7. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先确定抛物线的对称轴及开口方向，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当，取得最大值， 函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ，，，且， 点离对称轴最远，点离对称轴最近， ∴． 故选：C． 8. 抛物线的图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的开口、对称轴的位置以及抛物线与轴交点的位置，即可得出，，，进而可得出，结论①错误；②由点在抛物线上，利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，结论②正确；③由，得，结论③正确；④利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，结论④正确；由，观察图像得，结论⑤错误．综上此题得解． 【详解】解：①抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧， ，，， ， ，结论①错误； ②当时，， ，结论②正确； ③，， ， ， 结论③正确； ④当时，， ，结论④正确； ⑤观察图像，在对称轴左侧，随的增大而减小，而，故⑤错误． 故正确的有：②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题（12分） 9. 把一元二次方程化成一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，去括号、移项、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知方程的两个根为1和，则抛物线的对称轴为直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和，再利用二次函数的对称性即可求出答案． 【详解】解：方程的两个根为1和， 抛物线与x轴的交点横坐标分别为1和， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数与x轴的交点横坐标与对称轴的关系，解题的关键是知道二次函数与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根． 11. 若一个人感冒可传染个人，经过两轮传染后有人感冒，求，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求出第一轮传染后患流感的人数，再求出第二轮传染后患流感的人数，相加等于总人数即可列出方程，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后患流感的人数为，第二轮传染后患流感的人数为， 由题意可得，， 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解题关键． 根据题意得到，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴； 故答案为： ． 三、解答题 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）先化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵，， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：方程变形得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 14. 抛物线的顶点为，过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线解析式，把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为． 15. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 【答案】（1）5m；（2）m2 【解析】 【分析】（1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 16. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克， （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）求商场的最大利润？ 【答案】（1）每千克应涨价元 （2）商场的最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用． （1）设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案； （2）设每千克水果应涨价元，商场的利润为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得：， 整理，得， 解这个方程，得， 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 【小问2详解】 解：设每千克水果应涨价元，商场的利润为， 根据题意得 ． ∴当时，取得最大值为． 答：商场的最大利润为元． 17. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 18. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； （3）对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）；面积最大值为 （3）点M的坐标为，， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； 【小问3详解】 解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $