精品解析：安徽省六安市金安区汇文中学2025--2026学年上学期九年级第一次开学考数学试卷

九年级（上）数学定时作业（一） 时间：70分钟 满分：120分 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、化简得，不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 2. 对于二次函数的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 的图象可由的图象向右平移1个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的图象与系数的关系，结合二次函数的性质及图象平移规则逐项判断即可． 【详解】解：A、∵二次函数中，， ∴该二次函数图象的开口向上，故该选项错误，不符合题意； B、该二次函数图象的对称轴为直线，故该选项错误，不符合题意； C、该二次函数图象的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； D、的图象可由的图象向右平移1个单位得到，该选项正确，符合题意， 故选：D． 3. 将抛物线通过平移后得到，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向右平移2个单位，向下平移1个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移1个单位 C. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，0） 抛牪线的顶点坐标为（-1，-1） ∵把点（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到（-1，-1） ∴将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位可得到． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 4. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：B． 5. 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，再利用所求抛物线与的图象开口大小相同，可确定a的值，从而得到这条抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为：， ∵所求抛物线与的图象开口大小相同， 且最大值为-5，则开口向下 ∴a=， ∴这条抛物线解析式为：． 故答案为B． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 6. 如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 7. 二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断．根据一次函数的增减性和与轴的交点位置可判断的正负；结合二次函数图象的开口和对称轴位置，即可进行判断． 【详解】解：A：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的正半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故A不正确； B：：∵一次函数的图象从左往右呈上升趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴 ∴ 故B不正确； C：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故C不正确； D：：∵一次函数的图象从左往右呈下降趋势，且交于轴的负半轴 ∴ ∵二次函数的图象开口向下，且对称轴 ∴ 故D正确； 故选：D． 8. 如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点， 当时，， 当时，， 所以，点， 由勾股定理得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 9. 已知点A(1，1) 、B(3，1) 、C(4，2) 、D(2，2)， 若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（ ） A. < a< 1 B. < a< 1 C. a>l或0< a< D. a>1或0<a< 【答案】D 【解析】 【分析】把A（1，1），B(3，1)分别代入y＝ax2求得a＝1，a=，然后根据图象即可求得答案． 【详解】解：如图所示：把A（1，1）代入y＝ax2得，a＝1， 把B（3，1）代入y＝ax2得a＝， ∵抛物线的开口越小，|a|的绝对值越大， ∴抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为：a>1或0<a< 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系，数形结合是解题的关键． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数yx2与yx2的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 12. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 13. 二次函数的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，a＞0，然后知x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，再依据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，a=1＞0， ∴x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大． ∴在内，x=3时，y有最小值，此时． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴是解题的关键． 14. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点； 将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点； …… 如此进行下去，直至得． 若在上，则m =_________． 若在第13段抛物线上，则n =_________． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】将代入即可得的值；先根据抛物线的解析式可求出，同样的方法可求出，，再根据抛物线的开口大小相同，且都向下可求出抛物线的解析式中的二次项的系数为，从而可得出抛物线的解析式，然后将点代入即可得的值． 【详解】解：由题意，将代入得：， 对于， 当时，，解得或，即， 由旋转的性质得：， ， 同理可得：，，，， 即抛物线与的两个交点坐标为，， 由旋转过程可知，抛物线的开口大小相同，且都向下， 则抛物线的解析式为， 将点代入得：， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查了二次函数的旋转问题，正确找出抛物线的旋转变化规律，并熟练掌握待定系数法是解题关键． 三、解答题（共50分） 15. 如图，已知拋物线的顶点为，矩形的顶点，在抛物线上，点，在轴上，交轴于点，且矩形的面积为8，求抛物线的表达式. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴，设抛物线表达式为，根据题意求得点，把点代入即可求解． 【详解】解：由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴， 四边形为矩形， 点，为拋物线上的对称点， 矩形的面积为8，， ， 故点的坐标为， 设抛物线表达式为，把点代入， 得，解得 抛物线的表达式为 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 16. 2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 （1）请求出y与x之间的函数表达式； （2）该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）当售价为x定为35或36时，有最大利润，最大利润是48400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数解决实际问题成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先列出每天的利润，然后根据二次函数的性质以及实际意义求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为 把代入得： ，解得：． （，且x为整数）． 【小问2详解】 解：每天的利润 ∴该函数的抛物线对称轴为：， 为整数， 当售价为x定为35或36时，有最大利润， 元． 17. 如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是正方形， ∴， ∴， 在三角形中， ∵， ∴ ； （2） 证明：过点C作， ， ， ∵是正方形， ∴， 由（1）， ∴， ． 在三角形中，， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过C点作于H点，根据已知条件可证明，所以，，又因为，所以可得，进而证明； （3）在中，分别求出即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在三角形中， ， ∴， ∴． ， ． ， ， ， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质并证明是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学定时作业（一） 时间：70分钟 满分：120分 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的性质，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 的图象可由的图象向右平移1个单位得到 3. 将抛物线通过平移后得到，则这个平移过程正确的是（ ） A. 向右平移2个单位，向下平移1个单位 B. 向左平移2个单位，向下平移1个单位 C. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 D. 向左平移2个单位，向上平移1个单位 4. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数和一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5 9. 已知点A(1，1) 、B(3，1) 、C(4，2) 、D(2，2)， 若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为（ ） A. < a< 1 B. < a< 1 C. a>l或0< a< D. a>1或0<a< 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_____． 12. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 13. 二次函数的最小值是_________． 14. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点； 将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点； …… 如此进行下去，直至得． 若在上，则m =_________． 若在第13段抛物线上，则n =_________． 三、解答题（共50分） 15. 如图，已知拋物线的顶点为，矩形的顶点，在抛物线上，点，在轴上，交轴于点，且矩形的面积为8，求抛物线的表达式. 16. 2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 （1）请求出y与x之间的函数表达式； （2）该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 17. 如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $