精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县城镇第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年九年级数学上学期月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：共12题，每题3分，共36分． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （1，﹣3） B. （1，3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3） 4. 抛物线，和共有的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 图象都在某条与x轴平行的直线上方 D. 抛物线呈下降趋势 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 1和 B. 5和 C. 4和 D. 5和 8. 如图，与相交于点O，且．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，当的值为多少时，（　　） A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 11. 若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　 ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题：共4题，每题3分，共12分． 13. 将二次函数化成的形式为__________． 14. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 15. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______． 16. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为______． 三、解答题：（共7题，共72分） 17. 求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象经过，，，求函数解析式； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 20. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 21. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求点E的坐标； （2）若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：共12题，每题3分，共36分． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 2. 若抛物线的开口下，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （1，﹣3） B. （1，3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（-1，-3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是知道二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k）． 4. 抛物线，和共有的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 图象都在某条与x轴平行的直线上方 D. 抛物线呈下降趋势 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：A、抛物线，开口向上，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、抛物线，和的对称轴都为直线，故本选项符合题意； C、抛物线，的图象都在某条与x轴平行的直线上方，抛物线在某条与x轴平行的直线下方，故本选项不符合题意； D、抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意； 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 6. 如图，在中，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 7. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 1和 B. 5和 C. 4和 D. 5和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 8. 如图，与相交于点O，且．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质. 证明，再根据相似三角形的对应线段成比例求解即可． 【详解】解：， , ， ，即， ， ， . 故选：B． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴于点，，则有，再结合反比例函数的图象在第二象限即可求出的值，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 10. 如图，当的值为多少时，（　　） A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 11. 若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（　　 ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断． 【详解】解： ∵， ∴反比例函数y=的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴在第三象限，在第一象限， ， 故选D. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于对反比例函数的理解. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键． 表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 二、填空题：共4题，每题3分，共12分． 13. 将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 14. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 15. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，然后根据黄金分割点的定义进行求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点和分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例． 16. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题：（共7题，共72分） 17. 求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象经过，，，求函数解析式； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式. （1）根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可； （2）先设顶点式，再把代入，解方程即可求解，即可求出函数解析式． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 18. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 【答案】（1） （2）这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大 （3）点不在这个函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题； （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数中， 即， 解得， y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 在反比例函数中，， 这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 将代入中， 可得， 点不在这个函数的图象上． 19. 如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】 证明：，，， ，， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】略 20. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】（1）； （2） 解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 略 21. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70 销售量y（千克） 70 60 50 40 （1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可； （2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可； （3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：， 整理得， 解得， 答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克； （3）设当天的销售利润为w元，则： ， ∵﹣2＜0， ∴当时，w最大值=800． 答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求点E的坐标； （2）若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； 【小问2详解】 ∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数_______； （2）若新函数y的表达式为，则_______，_______； （3）设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【答案】（1） （2）5， （3）①当时，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 【小问1详解】 解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； 【小问3详解】 解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $