精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

重庆八中2026届高三10月联考 数学试卷 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 在试题卷上作答无效 ． 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长公式计算即可得. 【详解】， 则. 故选：C. 2. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，化简集合，根据补集的定义求，结合交集定义求即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，， 又， 所以 故选：D 3. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 4. 已知 ，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 又， 所以， 所以， 故选：A. 5. 已知直线与圆交于两点，若钝角三角形的面积为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，再由点到直线距离公式得圆心到的距离，根据三角形面积公式及已知得，进而得，最后由弦长的几何求法列方程求参数. 【详解】圆化成标准方程为，则圆心，半径， 圆心到的距离， 由，又为钝角三角形， 所以，则，故， 综上，可得，则. 故选：C 6. 已知等差数列 的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 7. 的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的对称性，作出图形，结合对称性与三角形的面积公式可求得所求区域的面积. 【详解】由得，解得，即函数的定义域为， 因为， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 因为，，记点、， 如下图所示： 结合对称性质可知，的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积等于的面积， 所求区域的面积等于. 故选：D. 8. 已知 ，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求导可得函数的单调性，已知可变形，，可得结论. 【详解】令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 由，可得，所以， 又因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故BD错误； 又， 又因为在上单调递增，所以，所以， 所以，故C错误，A正确. 故选：A. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的． 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D. 若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可求解. 【详解】这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种，故A错误； 根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种 ， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 安排 和 负责语文、数学工作，共有种安排， 其余三人中任选两人负责英语、 物理工作，共有种安排， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数 ，对任意的 ，都存在 ，使得 ， 则 可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意化简可知，要使条件成立，的值域需要满足，逐项代入求解. 【详解】由题意得： 由，， 可知， 整理得：， ，，所以， 记函数，函数的值域为集合A 对任意的，都存在，使得成立 当时，，，函数的值域为，满足，故A正确； 当时，，，函数的值域为，不满足，故B错误； 当时，，，函数的值域为，满足，故C正确； 当时，，，函数的值域为，满足，故D正确； 故选：ACD 11. 数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，数列 单调递减 C. ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D. 若 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，即可判断；对于B，作差计算即可判断；对于C，假设等差数列得出或即可分类判断，先化简再结合等比数列求和计算即可判断 D. 【详解】对于A，， 又 ，所以，A正确； 对于B，时，有， 所以，数列 单调递减，B正确； 对于C，因为，， 若数列  为公差不为 0 的等差数列，则，所以或； 当时公差为0，不合题意； 当时公差为3，， 不符合，舍去， 所以不存在 ，使得数列为公差不为0的等差数列，C错误； 对于D：由于，故， 所以， 所以， ， 故 ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 12. 在等比数列 中，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式可得，，化简可得，再结合关系可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 故， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，根据已知条件得出各点坐标，设点得出，利用建立方程求出点，进而得出，最后求． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示平面直角坐标系， ， 则， 设点，则， ， ，即，解得， ，， ． 故答案为：． 14. 已知奇函数满足，当时， ，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的对称性，求出其周期，结合题意作出其图象，将原问题转化为直线和函数图象的交点问题，数形结合，结合直线和圆相切的性质，即可求得答案. 【详解】由题意知满足，即函数图象关于点对称， 即，结合函数为奇函数，即， 可得，即，则8为函数的一个周期； 又当时，，即， 由此可作出的图象，如图示： 函数有且仅有3个零点，即的图象与直线有且仅有3个交点， 直线恒过定点， 结合函数图象的对称性可知，当时，仅当直线与上的图象即半圆相切时， 的图象与直线有且仅有3个交点，此时直线即为图中， 此时不妨取上的半圆的圆心，则，解得； 当时，如图中直线，与上的图象即半圆相切， 此时直线与的图象有5个交点，不妨取上的半圆的圆心， 则，解得， 此时要想满足的图象与直线有且仅有3个交点，需， 综合上述可知实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题(共 77 分． ) 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）若是边上的一点，且满足，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列方程组求出，再由余弦定理求出，利用正弦定理求出，得解； （2）由，求得，再由求得，由三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，得为锐角， 所以，解得，， 由余弦定理可得，解得， 由正弦定理，，解得，又，为锐角， 所以. 【小问2详解】 由，，得， ， 由，得， 即，解得， . 16. 已知数列的前项和为，当时，，且 ． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而得，化为，结合等差数列定义，即可求得答案； （2）求出的表达式，利用错位相减法求和，即得答案. 【小问1详解】 当时，，即， 则，即得， 即，而当时，， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 故，则； 【小问2详解】 由题意得， 故， 则， 故 ， 则. 17. 如图，在矩形中， ，．沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上． （1）证明：； （2）若在边上， ，平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） 由点在平面的射影落在边上，得平面， 又平面，所以， 又，，且平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面，， 所以平面，平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明，再可证明平面，得证； （2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），在中，，，则， 所以，， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 由，得， 可得， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，得， 所以， 由（1），平面，则， 所以， 化简得，解得或（舍）， . 18. 已知函数，其中 ． （1）若 ，且的最小值为 0，求的值； （2）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围； （3）设 ，是否存在，使得且 ？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不存在. 【解析】 【分析】（1）分离参数得，设，求导得其最值即可； （2）分离参数得，设，求导得其最值，则有，且，结合的范围即可得到答案； （3）等价转化为在至少有两个根，再对分范围讨论即可. 【小问1详解】 由最小值定义：只需恒成立，且等号可取，即，且等号可取． 令则， 则当时，，当时，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 故． 【小问2详解】 ，即，即． 令，则， 当时，，当时，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 故． 又，且时，，故， 故只需①，且，即②， 因，由①可得，则；由②可得， 故的取值范围为. 【小问3详解】 假设存在有，即． 令，只需， 因为只需在至少有两个根． 注意到，所以下面对和讨论的零点情况. 对：当时，， 则， 设，，则， 因为，且，则在上恒成立， 则在上单调递增， 因为，则恒成立， 故在上单调递增，，无零点； 当时，只需存在零点，， 设，，因为，且， 则在上恒成立， 则在上单调递增，且． 则存在，有， 则当时，，当时，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 因为，，故当时，； 综上可知，恰有一个根，即这样的不存在． 19. 已知椭圆 的离心率为 为 的右焦点，过 的直线 (不与 轴重合) 与 交于 两点，过 分别作平行于 轴的直线与直线 分别交于 两点，直线 与 轴的交点为 ，设直线 与直线 的交点为 ． 记 的面积为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： ． 【答案】（1）； （2）证明： 由对称性可知，直线也恒过定点， 故两直线与的交点为． 所以 ， 所以，而， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 且为单调递减数列，所以的所有项的最大值为． 令，则， 故， 当且仅当，即时，取最大值， 所以数列的所有项的最大值的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式得，再设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，再求证得直线恒过点．从而有，最后结合等比数列通项公式即可得到答案； （2）由对称性分析得直线也恒过定点，计算出的表达式，再利用三角形面积公式得到面积表达式，最后结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 因为， 所以，椭圆，焦点． 设直线的方程为，代入椭圆， 可得：． 设点， 由韦达定理，可得． 直线的斜率，其方程为， 令，可得 ， 所以直线恒过点． 又直线与轴的交点为，所以， 即，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2026届高三10月联考 数学试卷 注意事项： 1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 在试题卷上作答无效 ． 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知 ，满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，若钝角三角形的面积为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列 的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 的图象与轴和直线围成的封闭区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的． 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 某班要举办一次学科交流活动，现安排 这五名同学负责语文，数学，英语，物理学科相关工作． 则下列说法中正确的是（ ） A. 若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有 种 B. 若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有 240 种不同的方案 C. 若数学学科必须安排两人， 其余学科安排一人， 则有 60 种不同的方案 D. 若每人至多安排一门学科，其中安排 和 负责语文、数学工作，其余三人中任选两人负责英语、 物理工作， 则有 12 种不同的方案 10. 已知函数 ，对任意的 ，都存在 ，使得 ， 则 可能的值是（ ） A. B. C. D. 11. 数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，数列 单调递减 C. ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D. 若 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 12. 在等比数列 中，，则 ______． 13. 已知在梯形 中， ，且，点 满足 ，则 ______． 14. 已知奇函数满足，当时， ，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题(共 77 分． ) 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）若是边上的一点，且满足，求的面积． 16. 已知数列的前项和为，当时，，且 ． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在矩形中， ，．沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上． （1）证明：； （2）若在边上， ，平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 18. 已知函数，其中 ． （1）若 ，且的最小值为 0，求的值； （2）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围； （3）设 ，是否存在，使得且 ？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆 的离心率为 为 的右焦点，过 的直线 (不与 轴重合) 与 交于 两点，过 分别作平行于 轴的直线与直线 分别交于 两点，直线 与 轴的交点为 ，设直线 与直线 的交点为 ． 记 的面积为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $