精品解析：河南省延津县第一高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度高一数学第一次月考测试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（ ） A. “是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B. “是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C. “是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D. “是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 4. 已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 10. 已知，，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为4 D. 的最小值为 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ） A. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 B. 若是集，则 C. 若集合是集，集合，则为集 D. 且，使得集 第II卷（非选择题） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12. 若，则_______. 13. 不等式解集为______． 14. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值与最小值； （2）若在上的最大值为4，求实数的值． 17. 当a≤0时，解关于x的不等式． 18. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）当时，解关于x的不等式． 19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 （1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一数学第一次月考测试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：B. 3. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（ ） A. “是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B. “是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C. “是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D. “是既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 4. 已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】 如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 5. 已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意要使四面体的体积最大，则在底面的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心，则外接球的球心在上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得的值，进而求出外接球的表面积． 【详解】 因为，作于， 则为的中点，且， 若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为， 设外接球的半径为，连接，则， 当且仅当，即时取等号， 因为三棱锥的最大体积为， 所以，可得， 所以外接球的表面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是几何体的体积和表面积公式及利用基本不等式求最值，属于较难题. 6. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可. 【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确； 故选：D. 7. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ACD选项；利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】对于A，C，取，，，，则，A，C均错误； 对于B，由不等式的基本性质可得B正确； 对于D，取，，则，D错误． 故选：B 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式性质，求得，即，进而求得实数的取值范围. 【详解】设，， 则，，， 则 ， 同理可得：， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 即，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据，结合基本不等式即可求解；对于B，根据将化简为即可求解；对于C，进行、变换，再结合及基本不等式即可求解；对于D，根据化简为，对结合基本不等式放缩，原式可放缩为，再结合基本不等式放缩一次即可求解． 【详解】对于A，， 根据基本不等式可得，当且仅当成立，联立可得， 所以，即的最小值为，并非最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，因为，， 所以，代入并化简可得， 所以当时，取得最大值，此时，故B正确； 对于C，，，令，， 则，且，，那么， 根据基本不等式，，当且仅当，即， 联立，可得时成立，所以， 即的最小值为，故C正确； 对于D，，由， 可得，则， 根据基本不等式，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 令，则，， 根据基本不等式，当且仅当，即， 也即时取等号，所以， 综上所述，当且仅当且时，等号成立， 所以的最小值为，并非，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，化简再结合基本不等式即可判断选项D． 【详解】A：由，且，为正实数， 则，即，解得， 则，当且仅当，即，时取等号，故A正确； B：由，且，为正实数，则， 即， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确； C：由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D：由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，，即时取等号，故D正确. 故选：ABD. 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ） A. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 B. 若是集，则 C. 若集合是集，集合，则为集 D. 且，使得是集 【答案】AB 【解析】 【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断. 【详解】选项，若取，则，显然不符合集定义，A错误； B选项，由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），B错误； C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于2，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，C正确； D选项，设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，，D正确. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12 若，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由集合相等求得参数值，然后计算差. 【详解】由题意，，则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2. 13. 不等式解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】不等式化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值与最小值； （2）若在上的最大值为4，求实数的值． 【答案】（1）最小值为0，最大值为9 （2）或﹣1 【解析】 【分析】（1）得到的单调性，从而确定最小值为0，最大值为9； （2）是开口向上的抛物线，分与两种情况，根据最大值列出方程，求出的值. 【小问1详解】 当时，，对称轴为， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又，故的最大值为9； 【小问2详解】 因为是开口向上的抛物线，， 对称轴为， ①当，即时， ，解得：，满足要求， ②当，即时， ，解得：,满足要求， 综上：或. 17. 当a≤0时，解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】不等式化简为（ax＋1）（x－2）≥0，分类讨论a＝0，，及，求出不等式的解集，即可求出答案. 【详解】解：由可得（ax＋1）（x－2）≥0 ①当a＝0时，原不等式即x－2≥0﹐解得x≥2﹔ ②当a<0时，（ax＋1）（x－2）≥0， 方程（ax＋1）（x－2）＝0的两根为， 当时，原不等式解为：x＝2﹔ 当时，，原不等式的解为；， 当时，，原不等式的解为：， 综上，当a＝0时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解为：． 18. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）a＝2，b＝1； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值； （2）b＝1时不等式可化为，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集． 【小问1详解】 由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2， 由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1； 【小问2详解】 b＝1时不等式，可化为 即； 当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a； 当a＝1时，解不等式得x≠1； 当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1． 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； a＝1时，不等式解集为{x|x≠1}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 19. 已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质 （1）已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由; （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明. 【答案】（1）集合不具有性质；集合具有性质，对应集合，； （2）2047276； （3）充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 ①集合，不符合定义故不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集所以不具有性质. 【小问2详解】 由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个， ∵，∴ 又∵时，，∴时候，， ∴集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 故中元素的个数最多. 故答案为：2047276 【小问3详解】 1）当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：，又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，于是，中至少有一个不成立，故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $