精品解析：河北省邯郸市临漳县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－2x－3 C. x2－4x＋3＝0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A. ax2＋bx＋c＝0，当时是一元二次方程，不符合题意； B. x2－2x－3不是方程，不符合题意； C. x2－4x＋3＝0是一元二次方程，符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2. 方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】原方程去括号整理得：2x2﹣6x+3=0， 则二次项系数、一次项系数及常数项的和是2+（﹣6）+3=﹣1. 故选C. 3. 已知是方程的一个根，则k的值（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中， 则， ， ， 故选：D． 4. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记关系式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：D． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 【详解】解：原方程整理得， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，根据菱形的性质求出，再由等腰三角形的“等边对等角”即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 7. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法． 把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，再把方程变化为左边是完全平方的形式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 在下列条件中，能够判定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定平行四边形为菱形，只需满足一组邻边相等，或对角线相互垂直，据此分析选项． 【详解】能够判定为菱形的是，理由如下： ∵四边形是平行四边形，， ∴为菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理是解题的关键． 9. 如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. 点在的平分线上 D. 点为的中点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意； 当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意； 故选A． 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 根据平移的距离b可以判断出矩形边的长，根据a的最大值和平移的距离b可以求得矩形边的长，从而求得面积． 【详解】解：设直线移到过点B时与交于点E， 由图象得：，，， 由勾股定理得：，， ∴矩形的面积为：， 故选：D． 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，首先证明是的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即可求出的长度，最后代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵E是上的动点， ∴当点和点重合时，最大 ∴， ∴ ∴的最大值为 故选：A． 12. 如图，已知，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线，与交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据提示作法可知AG为的角平分线，根据边角边可证，然后根据平行线的性质可得四边形AEGD为菱形，然后证明四边形EBCG为平行四边形，即可得出EB=CG，再根据证明为等腰三角形即可求得结果． 【详解】解：连接GE，如图， 根据题意作图方式可知AD=AE， AG为的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴AD=AE，， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AEGD为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CG=CB， 在和中， , ∴， ∴EB=CG， ∴EB=CG=AE， ∵， ∴AB=20， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，构造全等三角形证明线段之间的等量关系是解决本题的关键． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义建立不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，理解基本定义是解题关键． 14. 三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119=0的一个实数根，则三角形的面积是_____． 【答案】60cm2 【解析】 【分析】由因式分解法求得方程的解,进而求得三角形的第三边,利用勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形,则可求得答案. 【详解】解方程x2﹣24x+119=0可得x=7或x=17， 当x=7时，该三角形的三边长为8、7、15，不能构成三角形，舍去， ∴三角形的第三边为17cm， ∵82+152=64+225=289=172， ∴该三角形为直角三角形， ∴S=×8×15=60（cm2）， 故答案为60cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 15. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 16. 如图，正方形的面积为3，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后分点F在线段上和的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ，， 根据旋转的性质可得， 在和中，， ， ， ①点F在线段上时，， ②点F在的延长线上时，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出全等三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 【答案】（1）x1＝－6，x2＝0；（2）x1＝－3，x2＝1． 【解析】 【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可； (2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可. 【详解】(1)解： (x＋3＋3)(x＋3－3)＝0． (x＋6)x＝0， x＋6＝0或x＝0， ∴x1＝－6，x2＝0． (2)解： (x＋3)(x－1)＝0， x＋3＝0或x－1＝0， ∴x1＝－3，x2＝1． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键. 18. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后利用菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 则菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 19. 某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱。经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？ 【答案】每箱矿泉水需要降价7元． 【解析】 【分析】本题可设每箱矿泉水应降价元，则每箱赢利(36−x−24)元，平均每天可售出(10+60)箱，根据“每箱的盈利×销售的箱数=盈利”列出方程，求出答案即可． 【详解】设每箱降价元，则每月可销售(10+60)箱，依题意得： (36−x−24)(10x+60)=650， 整理得：−10+60x+720=650， 即， ∴， 解得：(舍去)． 答：每箱矿泉水需要降价7元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题首先要正确理解题意，把实际问题的数量关系转化为一元二次方程求解，但应注意考虑解应符合的条件，即考虑解的取舍． 20. 如图，是直角三角形，，分别是的中点，延长到，使. （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则应为多少度. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE =BE= AB，从而得到BF=CE，根据等边对等角可得∠1=∠2，∠3=∠4，然后由三角形的中位线得出ED∥BC，由平行线的性质求出∠1=∠4=∠2=∠3，则∠5=∠6，易得CE∥BF，然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （2）根据菱形的四条边都相等可得BC=CE=AB，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：∵是直角三角形 且是中点， ∴，∴ ∵，∴， ∴； ∵是中点， ∴，∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是菱形，∴， ∵是直角三角形， ∴. 故答案为（1）见解析；（2）. 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线，熟记各性质与判定方法是解题的关键． 21. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会． （1）用含x的代数式表示：每家公司与其他_____家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了_____份合同； （2）列出方程并完成本题解答． 【答案】（1）； （2）共有10家公司参加商品交易会 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求出所有公司共签订的合同份数是解答本题的关键． （1）因为共有x家公司，所以可知每家公司与其他签订合同的公司家数；由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订的合同份数应为的一半，据此计算即可得到答案； （2）因为所有公司共签订了45份合同，所以根据（1）的结果可列方程，然后解方程，检验，作答即可． 【小问1详解】 因为共有x家公司，所以每家公司与其他家公司都签订一份合同； 由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订的合同份数为， 故答案为：；． 【小问2详解】 根据题意列方程得　， 解得 ，（舍去）， 所以 ， 答：共有10家公司参加商品交易会． 22. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）直接写出边的长为_____； （2）当四边形是矩形时，求的值； （3）在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或3或； 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． （1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； 23. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 【解析】 【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意，得10(1＋x)2＝12.1， ， (不合题意，舍去)． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)， 12.6万件＜13.31万件， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名业务员， 根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31， 解得y≥≈1183， ∵y为整数， ∴y≥2． 答：至少需要增加2名业务员． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解． 24. 如图1，已知和中，，，，点在边上，点在延长线上，将从此位置开始绕点顺时针旋转，旋转角是．操作发现： （1）如图2，当旋转角（时，连接．求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，当时，连接，，直接写出线段与关系为______； （3）解决问题：如图4，当时，连接，点，，分别是线段，，的中点，连接，，．求证：是等腰直角三角形； 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用说明，用勾股定理说明，进而可证四边形是平行四边形； （2）利用“边角边”证明与全等，说明两条线段，再根据角的关系得出 ，从而可得出； （3）证明与全等，证明，利用角间关系说明，利用中位线定理进行证明即可 【小问1详解】 如图， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形； 小问2详解】 ，， 理由：如图， ， ， ， 在和中， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴，即； 【小问3详解】 如图， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ， 分别是的中点， ， ∴， ∴ ， 是等腰直角三角形； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及旋转、三角形的中位线等相关知识，计算三角形的面积，利用勾股定理求是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－2x－3 C. x2－4x＋3＝0 D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是（ ） A B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则k的值（ ） A. 5 B. 7 C. D. 4. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在下列条件中，能够判定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. 点在的平分线上 D. 点为的中点 10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 11. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 2 12. 如图，已知，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线，与交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 14. 三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119=0的一个实数根，则三角形的面积是_____． 15. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 16. 如图，正方形的面积为3，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则的长为______． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）（x＋3）2－9＝0； （2）x2＋2x－3＝0． 18. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 19. 某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在售价为每箱36元，每月可销售60箱。经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？ 20. 如图，是直角三角形，，分别是的中点，延长到，使. （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则应为多少度. 21. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会． （1）用含x的代数式表示：每家公司与其他_____家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了_____份合同； （2）列出方程并完成本题解答． 22. 如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）直接写出边的长为_____； （2）当四边形是矩形时，求的值； （3）在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 23. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 24. 如图1，已知和中，，，，点在边上，点在延长线上，将从此位置开始绕点顺时针旋转，旋转角．操作发现： （1）如图2，当旋转角（时，连接．求证：四边形是平行四边形； （2）如图3，当时，连接，，直接写出线段与的关系为______； （3）解决问题：如图4，当时，连接，点，，分别是线段，，的中点，连接，，．求证：是等腰直角三角形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $