新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期 2026届高三年级第二次月考 数学试卷 (请将答案写在答题纸上) 命题人：LF 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若(-1)i=i-2,则z=() A.-2i B.2-2i C.2i D.2+2i 2.若集合A={2x<6,B={x2x2-x>0},则AnB=() A.(0,3) B.(←0行 c 3.若数列{a}是等差数列，且4+a,+a,=6,则ta 3as A.1 B.-1 C.5 D. 3 4.对于非零向量a,b,“a/1b”是“a+b=0”的（). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知1BC中，3AB=24C,D为边BC上一点，满足sim∠C4D=2s∠B4D,则2-() DC 3 B.月 D.3 6.己知∫(x)是定义在R上的函数，满足∫(x-4)=f(-x),且满足∫(3x-1)为奇函数，则下列说法一定正确的是() A.f(2025)=0 B.函数f(x)的周期为2 C.函数f(x)图象关于点 行0]中心对称 D.函数f(x)图象关于直线x=1对称 第1页，共4页 7.己知数列{an}满足a=4,对，n∈N,都有am+w=am·a.,.为数列{a}的前n项乘积，若T<T,则Tio1=() A.-2101 B.25050 C.-25151 D.25151 满足a2C+a+2血a,-,25a≤e+1(e为自然对数的 e2 A.an+1≤an B.a>2a C.a4 D.an1≥3 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，全对得6分，部分选对按个数计分，多选错选不得分） 9.若l,m,是互不相同的空间直线，a,B是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是() A.若l⊥x,l∥B,则a⊥B B.若a/1B,l11a,n/IB,则1/n C.若a1B,lc&,则1⊥B D.若l⊥，⊥n,则l∥m 10.(多选)下列结论正确的是() A.已知a是非零向量，b≠c,若a.b=a.c,则a⊥(b-c) B.向量a6满足d-1,同=2，a与5的夹角为60°，则a在5上的投影向量为上五 C.点0在VABC所在的平面内，满足40A亚_40Ac,Co.C☑co.C IAB||ACI’CAlCB1 ,则点0是VABC的外心 D.1,1),(2,3),(5,-1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形 11.己知函数f(x)=ln(4-x)-hx+a,当且仅当1<x<3时，导函数f(x)>0成立，则下列说法正确的是（) A.a=3 4 B.f(e-1)+f(2/2)<g cfe-+f回)号 2025 D. =5400 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分) 12.已知a,b为正实数，函数f()=x-在P1,f)处的切线斜率为2，则二+3的最小值为 1 a b 13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有 限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.（又称角谷猜想等）如取正整数m=6, 根据上述运算法则得出6一3→10→5→16一8一4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”).现给出冰雹 第2页，共4页 猜想的递推关系如下：已知数列{a,}满足：4=m(m为正整数)，a1= a,当a为偶数时 3 ,若a=1,记数列{an} 3an+1,当a,为奇数时 的前n项和为S,则So26= 14.已知平面向量a,6的夹角为O,b-a与a的夹角为30，同=1，a和b-a在6上的投影为x,,则x(y+sin)的 取值范围是· 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,E是PD的中点，F是AC的中 点. D B (1)证明：EF/平面PAB; (2)证明：BDI平面PAC. 16.(15分)设t、k∈R,已知向量a=(1,2),向量b=(-2,1),向量m=a+(t+2)b,向量=ka+tb. (1)若t=1,且m/n,求k的值； (2)若mn=5,求证：k≤2. 17.(15分)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3sinB=5sinC,V3sinA-cosA=2. ()求a: G (2)已知c=3,EF分别为边AB,AC上一点，D在线段EF上，若AD=1,AD⊥AC,求四边形FCB面积的最大值. 第3页，共4页 18.(17分)设{an}是等差数列，{b}是各项都为正整数的等比数列，且a=b,=1,ab=50,a+b=4+a,+5,n∈N*. (1)求{a},b}的通项公式： (2)若数列{d}满足ddn+1= 1 -8+log2 ,n∈N*,且d=l6,试求{dn}的通项公式： (a.+1)dn,n为奇数 3b. (3)在(2)的条件下，若cn= ,n为偶数，求数列{cn}的前2n项和S2m· b.- bn+2 2 19.(17分)若二元代数式f(a,b)满足f(a,b)=f(亿，a),则称代数式f(a,b)为二元轮换式，记∑a=a+b:若三元 代数式∫(a,b,c)满足f(a,b,c)=f(b,ca,则称代数式f(ab,c)为三元轮换式，记∑a=a+b+c,∑ab2-ab2+bc2+ca2. n=1 =1 ①)若正实数x,y满足x>y,且公x=2x,求的最大值： `x-y+1 ②)若代数式f(,)=血(x幸)为二元轮换式，比较y与e的大小： )若对在意的正实数五为名均有它空w>叫三w-立习 求整数m的最大值。 i=1 第4页，共4页乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期 2026届高三年级第二次月考 数学试卷 (请将答案写在答题纸上) 命题人：LF 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若(-1)i=i-2,则z=() A.-2i B.2-2i C.2i D.2+2i 【答案】D 【难度】0.94【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法与加法化简可得结果。【详解】因为2-1=+2 -=1+2i,所以z=2+2i.故选：D. 2.若集合A={2x<6,B={x2x2-x>0},则A∩B=() A.(0,3) B.(-,0) 【答案】B 【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别求解集合A和集合B,再求交集即可 所以 【详解】由2x<6,可得x<3,所以A={<头，由2-=0可得x=0或x方所以B=x<0或x> 1 1nB=<0或号xs3, 故选：B 3.若数列{a}是等差数列，且a+a,+a,=6,则ta =() 3a5 A.1 B.-1 C.5 D.3 第1页，共4页 【答案】D 【难度】0.94【知识点】特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质得到a,=2,从而代入求值即可. 【详解】因为{a}是等差数列，所以a+a,=2a,故3a=6,解得a,=2,故tn T=3.故选：D 3as 3 4.对于非零向量a,6,“a/16”是“a+b=0”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】O.85【知识点】判断命题的充分不必要条件、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解。 【详解】对于非零向量a,6,因为a+b=0,所以a=-b,则a/b,即“a+b=0”能推出a/1b,但当a/1b时， a=b(2≠0)，显然a+b=0不一定成立，所以“a/1乃”是“a+b=0”的必要不充分条件.故选：B. 5.己知VABC中，3AB=2AC,D为边BC上一点，满足sin∠CAD=2sim∠BAD,则 3 A. 2 B. C.3 D.3 【答案】C 【难度】0.85【知识点】三角形面积公式及其应用 【分行1利用C,结合兰角形积公式求解即可 AB:ADsin∠BAD 【详解】 BD S.ABD= DC S.AcD 1 AB sin∠BAD-2×-故选：C ,AC·ADsin∠CAD AC sin∠CAD3231 第2页，共4页 6.已知f(x)是定义在R上的函数，满足∫(x-4)=∫(-x),且满足f(3x-1)为奇函数，则下列说法一定正确的是() A.f(2025)=0 B.函数∫(x)的周期为2 C.函数f(x)图象关于 0 中心对称 D.函数f(x)图象关于直线x=1对称 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值 【分析】由f(x-4)=f(-x)易得f(x)图象关于直线x=-2对称，再由f(3x-1)为奇函数，得到f(x)图象关于(-1,0) 对称，进而结合得到f(-2+x)=-∫(c),有函数f(x)的周期为4判断. 【详解】解：因为f(y)满足f(x-4)=f(-x),所以f[-2+(x-2)]=f[-2-(x-）, 所以函数∫()图象关于直线x=-2对称，因为f(3x-1)为奇函数，所以∫(-3x-1)=-f(3x-1),即 f(3x-1)+f3x-1)=0,则函数f(x)图象关于(-1,0)对称，则f(-2+x)=-∫()，令x=0得f(-1)=0,由 f(-2+x)=-∫(x),得f(-4+x)=f(x),所以函数∫(x)的周期为4，所以f(2023)=f(505×4+3)=∫6)）=f（1=0, 故选：A 7.己知数列{an}满足a2=4,对，neN,都有atm=am·a,In为数列{a,}的前n项乘积，若T,<T,则To1=( A.-2101 B.25050 C.-25151 D.25151 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、由定义判定等比数列、求等比数列前项和 【分析】依题意，先令m=1,可得=a,再令m=n=1,结合T,<I,可得4=-2，进而判断出数列{a,}是以首 a. 项为4=-2，公比为q=-2的等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值 【详解】因为对，neN,都有am+n=am·a,所以令m=1,有a+1=aan，则有 4=a4, a. 令m=n=1,有4=44=42，又因为a2=4,所以4=±2，因为 第3页，共4页 T3=aa24a4a=4a2(a2a)(a2a2)(a44)=4.cG,T,=4a243a4=4a2(a2a)(a242)=44.a42,且 工<7，所以4d<4a,即4<京，所以4=2，则2。=4=-2，所以数列a}是以首项为4=2，公比为q=2 a 的等比数列，所以Za1=44,4…41=4-(4q小-(49）(4g)=41=（2×(2)=-211,故 1+H00)×100 选：C 8.已知数列a,}满足ai=2c+a,+2h(a,-1),2≤a≤e+1(e为自然对数的底数)，则( A.an+1≤am B.ai>2d C.an≤4 D.aH≥3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、递推数列的实际应用 【分析】根据条件中的递推关系，判断选项4B的正误；令y=x2+x+2n(x-1),求导知函数单增，根据2≤a≤e+1, 2 从而判断a的取值范围. 【详解】对于选项Aa女+a+2ha-).2sa≤e+1, a-a=d+2ha-0,故A错误：对于选项，a女+a+2h(a-)≥女，放B销误：对于选项C 1 设函数y+42h,2≤≤e+1,所以)-+1名0，所以函数y号4+2()为单 x-1x-1 7 函数，数列a+0,+2血a-)为单调递增数列，故(2)=4≤0≤e+1)=e+2 2 兮++子号，收D正确，G错茨：版途」 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较数的大小；将数列的最值问题转化为函数问题，借助单调性求得. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，全对得6分，部分选对按个数计分，多选错选不得分) 9.若l,,n是互不相同的空间直线，α，B是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是(） A.若1⊥x,1∥B,则&⊥B B.若a/IB,l/1a,n/IB,则l1/n C.若a1P,1ca,则1⊥B D.若1⊥n,⊥n,则l∥m 【答案】BCD 第4页，共4页 【详解】对于A中，由l//B,则在平面B内必存在一条直线a,使得a/l, 又由l⊥，可得a⊥a,且aCB,所以&⊥B,所以A正确. 对于B中，由lB,1la,n/IB,则l与n可能是异面直线，所以A错误： 对于C中，由&⊥B,1c,只有I垂直两平面的交线时，才有1⊥P,所以B错误； 对于D中，由l⊥n,m⊥n,则l与可能平行、相交或异面，所以C错误； 故选：BCD 10.（多选)下列结论正确的是() A.己知a是非零向量，b≠c,若ab=a.c,则aL(d-c) B.向量a,5满足d=l,6=2,a与5的夹角为60°，则a在6上的投影向量为上五 C.点0在VABC所在的平面内，满足40西_40AC,Co.cCO.c5 则点O是VABC的外心 |AB ACI’CACB D.1,1),(2,3),(5,-1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】向量减法法则的几何应用、垂直关系的向量表示、根据向量关系判断三角形的心、求投影向量 【分析】对选项A,根据(b-c)=0,即可判断A正确；对选项B,根据向量投影定义即可判断B正确；对选项C,根 据已知条件得到O为VABC的内心，即可判断C错误，对选项D,A(L,1),B(2,3),C(6,1),D(5,-),得到AB+AD=AC, ABBC=0,即可判断D正确， 【详解】对选项A,因为a是非零向量，i≠c,若a.i=ac,a.-c)=a.i-a.c=0,所以a1石-0)，故A正确 对选项B,ā在5上的投影向量cos60。 b ×万=五，故B正确 =1× 224 对选项C,因为10AB_40.4C AB ,所以AO AC =0,所以O点在∠BAC的平分线上， ABI ACI AB AC 第5页，共4页 因为o.c4co.c6 所以CO CA CB 0,所以O点在∠ACB的平分线上，则O为VABC的内心，故C错 CA CBI CA CBI 误.对选项D,设A(1,1),B(2,3),C(6,1),D(5,-1),因为AB=(1,2),AD=(4,-2),AC=(5,0), AB+AD=(5,0)=AC,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为BC=(4,-2),AB.BC=4-4=0,所以AB⊥BC, 所以四边形ABCD为矩形，故D正确.故选：ABD 11.已知函数f(x)=lh(4-x)-x+ac,当且仅当1<x<3时，导函数f(x)>0成立，则下列说法正确的是() A.a 3 Bf(e-+f(22)< 。fe-1+f) 5400 -1 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、倒序相加法求和 【分析】A先求∫(x),再将问题转化为m2-4m+4<0的解集为(1,3)，利用韦达定理即可；先研究∫(x)的单调性， 得出了(=了Q)-专即可断0选项：D先求证了)+了(4-)、再利用倒序相加法即可求得 【详解】由 任0得，0<r<4,则f出的定义城为0，又当且仅当1<x<3时，导函数/>0成边 则了)，a=4兰，0的解来为03.即m+40的解安为L3.则a0.包三1+3. x(4-x) a 手1x3,则a-手放A正编：了国=3 - 3x(4-)34-) -f以“见s国-号红94--》. 3 [r(4-x)] [x(4-x] 则g(x)>0得0<x<2;g(x)<0得2<x<4,则g(x)=f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，则 (.=了(2)-则了e-+f2)s2f(2)-子故B正确：c错误：因J()=h(4-)-+号，则 第6页，共4页 f(4-x)=hx-n(4-x)+ 4,则*-)=华记s-空)=品)9 3 则S=/2026 +/2025) 2 507 507J +.+f 507 ,同式相m得2520250(】-3025100,则8-40。 2025 记∑f i+1 1=1 507 =5400,故D正确.故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分) 12.已知a,b为正实数，函数f(x)=-b在P1f0)处的切线斜率为2，则二+2的最小值为 a b 【答案】2+√5/√5+2【分析】先求导，根据在点处的切线斜率，找到α+b=2,利用基本不等式代“1”法求解. 【详解】由题J()=a+会，则f0=a+b=2,因为a,b为正实数，则 君动以合片25.当银当名普时等号故谷为：2-店。 a b 13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有 限次步骤后，必进入循环圈1→42→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.（又称角谷猜想等）如取正整数m=6, 根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程"）.现给出冰雹 猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：4-m(m为正整数)，a1=了2 ,当a为偶数时 ,若a=1,记数列{a} 3an+l,当a,为奇数时 的前n项和为Sm,则S2o26= 答案：4727或4748 【详解】由a=1,可得a4=2,43=4,a2=8或1,41=16或2，则数列{an}的前2025项为16,8,4,2,1,4,2,1,4,2，…， 或2,1,4,2,1,4,2，…，可得它们从第5项起以1,4,2不断重复出现，可得S026=16+8+4+2+674×7=4748 或S2026=2+675×7=4727 14.已知平面向量a,b的夹角为0，b-a与a的夹角为30，园=1，a和-a在b上的投影为x,乃，则x(y+sin0)的 取值范围是 【答案】 3-12 4’2 【分折】根据题意可知6-a与6的夹角为20，从而根据正弦定理可符5-d20。再根据投影的定义表示出， 第7页，共4页 最后对x(y+sinθ)化简变形通过正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为平面向量ā，6的夹角为0，b-ā与d的夹角为30，所以b-ā与b的夹角为20，所以根据正弦定理可得 0≤0<π B-a 园 同=1，所以5-d园 1 sine sin 20 sine sin 20 2sin cose 所以6-司 1 2cose 因为{0≤20<元，所以0≤0<3， 0≤38<π 所以a在6上的投影为x=同cos0=c0s0,i-a在5上的投影为y=|5-dcos20=cos20 ,所以 2cos日 0+m0=cos90i28m0-cs20-320-5。 2cose 29-争因为0s0号所以0s29:子，所以 异9导告片以5n0升产兰所以wm康预前国为 5-12 故答案为： 5-12 412 4,2 4,2 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关 键是根据向量投影的概念表示出x,y,考查计算能力，属于难题 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分) 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面ABCD,E是PD的中点，F是AC的中 点 D B (1)证明：EF/平面PAB: (2)证明：BDL平面PAC. 【难度】0.94【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】(1)利用线面平行判定定理进行证明；(2)利用线面垂直的判定定理进行证明： 【详解】(1)如图，连BD,PE=DE,BF=DF,EF/IPB, :PBC平面PAB,EF4平面PAB,EFII平面PAB; 第8页，共4页 B (2):PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.PA⊥BD,菱形ABCD,AC,BD为菱形的对角线，AC⊥BD, :AP∩AC=AAP,ACC平面PAC,PA⊥BD,AC⊥BD,.BDL平面PAC. 16.(15分)设t、k∈R,己知向量a=(1,2),向量b=(-2,1),向量m=a+(t+2)b,向量=ka+tb (1)若t=1,且m/n,求k的值； (2)若m·n=5,求证：k≤2. 【难度】0.65【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用数量积求参数 【分析】(1)计算出平面向量m、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数k的等式，进而可求得实数 k的值： (2)计算出a==5,a.b=0,由已知条件可得出k=-t2-2t+1,利用二次函数的基本性质可证得k≤2. 【详解】(1)当t=1时，m=a+36=(55),n=kā+6=(k-2,2k+),mim,5k-2)=-5(2k+1),解得k= 3 (2)因为向量a=(1,2),向量b=(-2,1),则a=2=5,ab=1×(-2)+2×1=0, m-n=a+t+2)b-(ka+tb)=ka+t(t+2)b=5k+5t(t+2)=5,所以，k=-t-2t+1=-(t+1)+2≤2. 17.(15分)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3sinB=5sinC,√3sinA-cosA=2. (1)求 (②)已知c=3,E,F分别为边AB,AC上一点，D在线段EF上，若AD=1,AD⊥AC,求四边形EFCB面积的最大值. 【分析】(1)由V3sinA-cosA=2,化简得simA- 1，A=行，又38=5nC,由正弦定理可得动=50，再由 6 余弦定理求？： 第9页，共4页 ②)设4B=x,AF三y,由SX=Ss+风M结合基本不等式w≥，由△AB歌面积的最小值，可求得四边形8 面积的最大值， 【详解】(1)由V5sim4-cosA=2y5 VABC中，Ac0,,所以4-石，即A因为3siB=5前C,由正弦定理可得36=c, 由杂孩定理可得e4+,教后-等心膏，可阳只子 c3 (2)c=3时，由(1)可知b=5,a=7,设AE=x,AF=y,x∈[0,3]，y∈[0,5]， 由s,er=5s+Sa,有m7 3=×x×1xsin石+3×yx1xs☑ 2 化简得3。 20w=2+y≥2W 所以w号当且仅当子 ,即v3,x=3时，等号成立 3 -，X= 3 故5，号wm439.雨8e35血4-15自 1 2 4 当△4BF的面积最小时，四边形8的面积最大，最大值为15√5_25_3W5 4312 18.(17分)设{a}是等差数列，{b}是各项都为正整数的等比数列，且4=b,=1,4b=50,a+b=4+a+5,n∈N*. (1)求{a},b}的通项公式： (2)若数列{an满足d,d= 1）8+og:44 2 ,neN*,且d1=l6,试求{dn}的通项公式： (a.+1)dn,n为奇数 3b. (3)在(2)的条件下，若cn= ,n为偶数，求数列{cm}的前2n项和S2m 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、数列综合 【分析】(1)通过已知条件运用基本量法求得{a}，b}的通项公式即可； 1 (2)通过已知条件求得 d d2:讨论”为奇数和为偶数两种情况下{}的通项公式： 第10页，共4页